편광의 표현

존스 벡터(Jones vector)는 1941년 존스(R. C. Jones)에 의해 고안되었다. 이 표현은 다음과 같이 전기장 $E_x, E_y$의 복소 진폭을 2개의 요소를 갖는 열 벡터로 표현한다. \[ \mathbf{J} = \left[\array{ E_{0x}e^{i \phi_x} \\ E_{0y}e^{i \phi_y} } \right] \] 여기서 두 요소는 복소수의 값을 가지기 때문에 $\mathbf{J}$가 물리적인 공간에서의 벡터는 아니나 편광상태를 간결하게 표현할 수 있어서 널리 쓰인다. 이를 부분적으로 편광된 상태 등 통계적인 처리가 필요한 경우에는 적용할 수 없으나 편광상태가 조합될 때는 단순히 벡터의 합으로 계산할 수 있고, 아울러 편광을 조작하는 기구들을 $2 \times 2$의 행렬로 표현할 수 있다.

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존스 벡터의 예_존스 벡터로 편광상태를 표시하는 몇 가지 예이다. 아래위의 쌍은 서로 직교하는 벡터가 되어 임의의 편광상태는 쌍을 결합해서 나타낼 수 있다. 여기서 벡터에 $\sqrt{2}$ 등을 나누어 크기를 1로 하였다.

위 그림에서 맨 오른쪽의 아래위 두 편광은 기울어진 타원편광이다. 둘 중에서 위의 것, 즉 반시계방향으로 회전하는 타원편광의 장반경을 $a$, 단반경을 $b$, 그리고 장축이 $x$ 축과 기울어진 각을 $\phi$라 한다면 이의 존스 벡터는 \[ \begin{equation} \label{eq2} \mathbf{J} = \left[\array{ a \cos \phi + ib \sin \phi \\ a \sin \phi - ib \cos \phi } \right] \end{equation} \] 이고, 이에 쌍인 아래의 편광은 장축과 단축이 서로 바뀌고 회전방향이 반대가 되어 \[ \begin{equation} \label{eq3} \mathbf{J} = \left[\array{ b \cos \phi - ia \sin \phi \\ b \sin \phi + ia \cos \phi } \right] \end{equation} \] 이다.

존스 벡터의 기저 벡터의 쌍으로 임의의 벡터를 나타낼 수 있다.

위 존스 벡터의 예로서 보인 그림에서 아래위 쌍의 편광 각각은 다음 식을 만족한다. \[ \mathbf{J_1}^* \cdot \mathbf{J_2} = 0 \] 여기서 $^*$는 켤레(공액)을 취한다는 의미로 이 관계를 만족하면 두 벡터는 서로 직교한다고 한다. 직교하면서 각각 $\mathbf{J}^* \cdot \mathbf{J} = 1$을 만족한다면 두 벡터 $\{\mathbf{J_1}, \mathbf{J_2}\}$는 마치 2차원 공간에서의 $\{\hat{\mathbf{x}}, \hat{\mathbf{y}}\}$처럼 기저(basis)를 이룬다. 따라서 임의의 편광상태를 이들을 조합해서 나타낼 수 있다. 그러나 실제의 공간에서와는 달리 이들 벡터는 복소수를 그 성분값으로 가질 수 있기 때문에 4차원 공간에 상당한다. 4차원이라 하더라도 절대위상은 간섭이 개입될 때만 의미가 있고, 또한 진폭은 절대광량과 관련되므로 알짜의 편광상태는 다시 2차원으로 환원된다.

x와 y의 선편광이 합성되어 타원편광이 되는 것은 '빛의 편광' 단원에서 이미 살펴보았다. 다른 기저로 의미가 있는 것은 왼원편광과 오른원편광의 쌍이다. 실제로 입자로서의 빛인 광자는 두 가지의 스핀을 가지고 있는 데 이것이 왼과 오른원편광에 해당하므로 원편광을 기저로 삼는 것이 실체에 더 가깝다고도 할 수 있다.

다음 그림은 직교하는 두 선편광과 두 원편광이 조합되어 다양한 편광상태가 만들어지는 것을 보여준다.

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직교하는 두 편광상태의 결합_ 직교규격화 된 두 편광상태를 선형결합해서 임의의 편광상태가 만들어지는 것을 보여준다. 왼쪽은 x선편광과 y선편광을, 오른쪽은 왼원편광과 오른원편광을 기저로 택한 것이다. 아래의 슬라이더로 각각의 진폭과 둘의 위상차를 변경할 수 있어 이들이 합성되었을 때 나타나는 여러 형태의 편광상태를 살펴볼 수 있다.

위 프로그램이 실행될 때 오른쪽 그림은 왼원편광과 오른원편광이 1:1로 위상차 없이 결합하여 x선편광을 만드는 것을 보여주고 있다. 즉, \[ \left[\array{ 1 \\ 0 } \right] = \frac{1}{2} \left[\array{ 1 \\ i } \right] + \frac{1}{2} \left[\array{ 1 \\ -i } \right] \] 그리고 원편광 둘의 크기 가 같으면서 위상이 차이를 $\theta$로 주면 $\theta/2$만큼 기울어진 선편광이 되는 것을 확인할 수 있다.

존스 벡터는 일반 벡터처럼 회전변환한다.

존스 벡터는 좌표의 회전에 대해 다음과 같이 변환된다. \[ \left[\array{ J_x' \\ J_y'} \right] = \left[\array{ \cos\psi & \sin\psi \\ -\sin\psi & \cos\psi } \right] \left[\array{ J_x \\ J_y } \right] = \mathbf{R}(\psi) \left[\array{ J_x \\ J_y } \right] \] 이 식은 $(x, y)$ 좌표계가 이에 대해 반시계방향으로 $\psi$만큼 회전한 좌표 $(x', y')$에서 존스 벡터가 변환되는 관계를 나타낸다. (반시계방향은 $z$축을 회전축으로해서 $x\to y$로 회전하는 것을 말한다) 여기서 \[ \mathbf{R}(\psi) = \left[\array{ \cos\psi & \sin\psi \\ -\sin\psi & \cos\psi } \right] \] 는 회전행렬로서 바로 일반적인 벡터의 변환행렬이다. 이 회전행렬은 광학기구가 임의의 각도 기울어져 있을 때의 표현을 알아내는 데 유용하게 쓰인다.

[질문1] 다음 벡터의 크기를 1로 규격화 하고, 또한 이 벡터와 직교하면서 크기가 1인 짝 벡터를 구하라. \[ \mathbf{J} = \left[\array{ 1 \\ 5i } \right] \]

[질문2] 기울어진 타원편광의 존스 벡터가 \eqref{eq2} 식으로 표현되는 것을 밝히고, 이와 \eqref{eq3} 식의 존스 벡터가 서로 직교하는 것을 증명하라. 그리고 이들을 규격화해서 기저벡터의 쌍을 구성하라.

[질문3] 왼원편광과 오른원편광을 결합해서 (a) y선편광, (b) x축에서 y축 방향으로 45도 기울어진 선편광, (c) 장반경과 단반경이 3:1로 장축이 x축인 왼타원편광을 만들어 보라.

[질문4] 편광에 대한 복소표현과 비교해서 존스 벡터 표현이 가지는 장점은 무엇인가? 둘을 비교해서 설명하라.