전자의 스핀

원자의 구성요소로서의 전자는 오직 질량과 전하량만이 그것이 가진 의미있는 물리량으로 알았다. 이 두 요소만으로 원자의 구조나 스펙트럼이 거의 설명이 된다. 그러나 원자에 의한 빛의 스펙트럼을 더욱 정교하게 측정할 수 있게 되면서 기존의 스펙트럼 선이 보다 복잡한 구조, 즉 미세구조( fine structure)를 갖는다는 것을 알게 되었고, 이로부터 전자의 자전이라는 개념이 필요해지게 되었다.

이 미세구조는 하나의 선으로 나타나는 스펙트럼을 정교하게 분해했을 때 대체로 두 개의 선으로 이루어져 있는 것을 말한다. 한 예로 수소원자의 발머계열의 첫 번째 선인 파장 656.3nm의 스펙트럼은 0.14nm 떨어진 두 선으로 되어 있다. 한편, 자기장에 의해 한 스펙트럼 선이 세 개로 분리되는 제이만 효과가 실제로는 더 많은 수로 분리되거나 그 간격이 기대한 것과 달라지는 비정상 제이만 효과(anomalous Zeeman effect)도 전자의 자전이 필요해지게 된 동기가 된다.

스펙트럼의 미세구조나 비정상 제이만 효과를 설명하기 위해서 네덜란드의 두 대학원생인 호우트스미트(S. Goudsmit)와 윌렌베크(G. Uhlenbeck)는 스핀(spin)이라는 새로운 개념을 도입하였다. 이 스핀은 마치 팽이나 지구가 중심축을 중심으로 도는 자전과 유사한 개념이다.

아래 그림은 구형의 입자가 중심을 통과하는 축으로 회전하는 자전을 보여주고 있다. 이는 각운동량을 가지고 있으며 만일 전하가 구형에 분포하고 있다면 회전운동에 의한 자기쌍극자모멘트도 가질 것이다.

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입자의 자전_ 구형의 입자가 중심축에 대해 자전하고 있다. 가운데 자른면에 색채를 입혀서 회전하는 효과를 볼 수 있도록 하였고, 회전방향에 따라 각운동량 $S$의 방향이 서로 반대가 된다.

전자가 고유의 스핀을 가지고 있다는 것은 고전론에서의 자전에 대한 양자역학적인 개념으로 도입되었지만 이들을 이어주는 연결고리가 없다. 아직까지 전자는 공간적인 구조를 가지지 않은 점의 입자로 이해되고 있고, 따라서 고전적인 자전이란 있을 수 없다. 실제로 전자의 스핀은 양자역학에 상대성이론을 결합한 상대론적양자역학의 결과로서 자연이 가지고 있는 보다 근본적인 실체이다.

그러나 스핀이 양자화 된 관계는 궤도각운동량 $L$의 양자화와 비슷하다. 단 수소원자의 궤도양자수 $l$이 0을 포함한 자연수인 것과는 달리 전자의 경우 스핀 양자수 $s$는 단지 $\frac{1}{2}$ 만 가질 수 있는 것이 다른 점이다. 따라서 \[ S = \sqrt{s(s+1)}\hbar = \frac{\sqrt{3}}{2}\hbar \] 이다. $m_l$과 마찬가지로 스핀의 공간 양자화 형태는 $m_s$에 의해 나타내어지고 이는 $-s, -s+1, ... , s-1, s$의 값을 가져서 $s=\frac{1}{2}$에 대해서는 $\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{2}$의 두 양자수를 갖는다. 즉, \[ S_z = m_s \hbar = \pm \frac{1}{2}\hbar \]

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스핀의 양자화_ 화면이 처음 나타났을 때는 $s=\frac{1}{2}$인 경우에 해당하고, 이는 전자의 고유 스핀에 대응된다. 입자에 따라 스핀 양자수가 정수나 반정수를 가질 수 있는 데 예를 들어 광자는 $s=1$이다. $s$ 값은 아래 왼편 슬라이더로, 각각의 $s$에 대한 $m_s$는 오른편 슬라이더로 조절할 수 있다.

한편 전자의 궤도운동에 대한 자기회전비율이 $-\frac{e}{2m}$인 것과 달리 스핀의 경우에는 $\frac{e}{2m}$ 특정한 배수의 값을 가져서 스핀자기쌍극자모멘트는 \[ \vec{\mu}_s = g_e \frac{e}{2m} \vec{S} \] 이다. 이 식에서의 배수 $g_e$는 차원 없는 양으로 g-인자(g-factor)라 한다. 전자의 스핀에 대한 이 값은 거의 -2인 \[ g_e = -2.002~319~304 \] 이다. 이제 자기모멘트의 $z$ 성분은 스핀의 가능한 두 가지 공간양자화에 따라 다음과 같이 주어진다. \[ \mu_{sz} = \pm \frac{g_e}{2} \left( \frac{e\hbar}{2m} \right) \approx \mp \mu_B \] 여기서 ( )의 값 $\mu_B$는 전자의 자기모멘트의 기본단위로 쓰는 보어 마그네톤(Bohr magneton)이다. \[ \mu_B = \frac{e\hbar}{2m} = 9.274 \times 10^{-24} ~ \mathrm{J/T} = 5.788 \times 10^{-5} ~ \mathrm{eV/T} \]

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전자의 자기쌍극자_ 전자의 두 방향으로의 회전에 대한 자기쌍극자모멘트를 고전적인 모형으로 나타낸 상징적인 그림이다. 쌍극자모멘트의 방향은 회전에 따른 각운동량 방향과 반대로 주어진다.

이제 원자에 소속된 전자의 상태는 전자의 궤도운동에 관련된 $n, l, m_l$과 더불어 스핀에 관련된 $s, m_s$가 보태진다. 그러나 전자의 스핀양자수는 $s=\frac{1}{2}$로 고정되어 있으므로 실제로 4개의 양자수로 그 상태가 결정된다.

오른편 그림은 전자를 구형의 입자로 보고 회전방향과 쌍극자모멘트의 방향과의 관계를 나타낸 것이다. 회전에 의한 각운동량의 방향과 쌍극자모멘트의 방향은 반대로 주어지게 되며, 아울러 자기장이 걸린 방향 등 공간의 특정방향에 대한 성분이 보어 마그네톤을 단위로 하여 $\pm$의 값을 가진다. (그러나 이는 원자의 궤도를 그림으로 나타낼 수 없는 것과 같이 단지 상징적인 그림에 불과하다)

[질문1] 전자의 스핀각운동량이 $z$ 축과 기울어진 각도의 가능한 값은 각각 얼마인가?

[질문2] 스핀과 달리 전자의 궤도운동에서의 기인한 g-인자는 1로 이를 궤도 g-인자(orbit g-factor)라고 한다. 이것을 확인하라. 한편 핵의 질량이 유한할 때에는 이 g-인자가 1에서 조금 줄어든다. 이 관계를 밝혀라. ('수소원자의 양자론' 절의 '제이만 효과' 항을 참고할 수 있다)