슈뢰딩거 파동방정식

양자역학

물질의 운동에 대한 새로운 해석이다.

입자의 운동을 기술하는 양식은 20세기에 들어와서 큰 변화를 겪었다. 그 이전에는 입자는 공간의 한 점을 점유하고 그 것이 시간에 따라 변화하는 양상을 운동의 법칙으로 묘사된다고 보았다. 뉴턴으로부터 비롯된 이러한 관점이 200년 이상 물리학을 지배하여 왔으나 19세기 말부터 관측된 몇 가지 물리현상들은 이것으로는 설명할 수 없었다. 이에 따라 새롭게 제시된 이론은 기존의 물리체계를 근본부터 뒤흔드는 것으로, 입자의 존재는 확률로 기술되고 그 확률은 파동처럼 행동한다는 것이다. 즉 입자이지만 근본은 파동이다.

물질의 존재형태는 파동으로 기술된다.

입자의 존재 자체를 완벽하게 기술하는 존재 확률은 시간에 따라 변화하며, 변화하는 양상은 파동의 그것과 비슷하여 그것을 기술하는 양식이 슈뢰딩거 방정식이다. 한편 그 슈뢰딩거 방정식으로부터 알 수 있는 입자의 여러 가지 물리량이 보통 뉴턴역학(고전역학)과 다르게 띄엄띄엄한 값을 갖고 있는 경우가 많아 이러한 이론체계를 양자역학(quantum mechanics)이라 부른다. 여기서 양자는 덩어리 지어진 것을 말한다. 대상이 우리 일상 생활에서 접할 수 있는 정도의 크기가 되면 그러한 양자역학적인 효과는 거의 나타나지 않아 고전역학으로도 충분히 기술될 수 있다. 거시적인 현상을 잘 설명할 수 있었던 기존의 고전역학은 양자역학의 한 근사형태로 볼 수 있어 고전역학의 이론체계는 양자역학을 새로이 구성하는 출발이 되기도 한다.

_ 파동_ 양자

슈뢰딩거 파동방정식

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슈뢰딩거(E. Schrodinger: 1887~1961)_ 오스트리아의 물리학자인 슈뢰딩거의 초상화이다. 슈뢰딩거는 물질파의 파동방정식을 만들어 양자역학의 성립에 큰 공헌을 하였다.

물질파를 묘사하는 파동함수가 어떤 규칙에 따라 공간에 펼쳐지고 변화된다.

앞서 '물질파' 단원의 '보어의 가설 재해석'과 '물질파의 정상파 상태'에서는 수소원자나 1차원 상자를 물질파의 정상파로 해석해서 띄엄띄엄하게 주어지는 에너지 준위를 계산할 수 있었다. 그러나 닫혀지지 않은 운동을 하는 경우나 보다 복잡한 퍼텐셜에 놓인 상황에는 이렇게 정상파로 해석하는 것이 어렵거나 불가능해진다. 물질파동이 만족하는 보다 근본적인 원리가 있는 것이 확실하고, 이는 음파나 빛 등 기존의 파동이 각각의 파동방정식으로 기술된 것처럼 하나의 파동방정식의 형식이 될 것이다. 이는 뉴턴의 운동방정식이 힘이 작용하는 공간에 놓인 질점으로서의 입자의 행동을 완벽하게 설명하는 것처럼 이 파동방정식은 물질파동의 행동을 완벽하게 표현할 것이다.

물질파의 파동방정식은 1926년 슈뢰딩거(E. Schrodinger)에 의해 만들어졌다. 이에 따라 이를 슈뢰딩거 파동방정식(Schrodinger wave equation) 또는 슈뢰딩거 방정식(Schrodinger equation)이라 한다. 슈뢰딩거는 보어의 대응원리에 따라서 이 방정식으로 기술되는 물체의 운동이 다음의 고전역학에서의 에너지 관계식을 따를 것으로 생각하여 이로부터 적합한 파동방정식을 만들 수 있었다.

물체의 에너지 = 운동에너지 + 퍼텐셜에너지 $$E = \frac{p^2}{2m} + U(x)$$ '물질파의 파동방정식' 단원에서 자유입자에 대해 분산관계식을 유도했던 절차와 비슷하게 이에 대한 관계를 유도해 보면 $$\hbar \omega = \frac{(\hbar k)^2}{2m} + U(x)$$ 이 식에 평면파의 파동함수를 적용하면 다음의 슈뢰딩거 방정식이 나온다. $$i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)= -\frac{ \hbar ^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t) + U(x)\Psi(x,t)$$ 이 방정식으로 물체가 어떠한 상황에 놓여 있건 물리적으로 가능한 상태에 놓여 있다면 시간이 경과되거나 과거로 거슬러 갈 때에 대한 파동함수는 존재하게 되고 원칙적으로는 구해낼 수도 있다. 그러나 해석적으로 이 방정식을 풀이할 수 있는 경우는 계가 단순하고 이상적으로 주어진 몇몇 예에 불과하다. 거의 대부분의 경우에는 이와는 달리 물리적인 계가 복잡하여 컴퓨터를 이용한 수치해석으로 구하게 되고, 오늘날의 컴퓨터의 수치 처리능력의 향상, 수치해석 기법의 발달에 힘입어 많은 성과를 거두고 있다.

이렇게 고전역학의 토대 위에 물질파, 대응원리 등 혁신적인 발상을 가지고 간단하게 시작한 이 파동방정식은 실제의 시공간의 입자들에 대한 3차원의 방정식으로, 빛의 속도에 가깝게 진행할 때의 효과를 가미한 디랙(P. A. M. Dirac)의 상대론적양자역학으로 발전하여 자연을 보는 안목을 바꾸어 놓았다. 아울러 양자역학이라 하는 새로운 학문이 시작되어 물리나 화학 등의 자연과학 전반적인 영역에 지대한 영향을 미치게 되었다.

비록 위와 같이 고전역학에 바탕을 두어 슈뢰딩거 방정식을 유도한 것이 그럴듯하게 보이긴 하지만 논리적인 유도가 아니라 일종의 가설이다. 양자역학은 고전역학에 기반을 두긴 하지만 새로운 이론체계이고 이 가설이 타당하다고 하는 것은 실험으로 뒷받침 되었기 때문이다.

2, 3차원으로의 확장

'2차원 자유공간의 물질파의 행동'에서 2차원 자유입자의 파동방정식을 유도했던 절차와 같이 2차원 슈뢰딩거 방정식을 유도하면 다음과 같다. $$i \hbar \frac{\partial \Psi(\vec{r},t)}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2 \Psi(\vec{r},t)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Psi(\vec{r},t)}{\partial y^2} \right) + U(\vec{r}) \Psi(\vec{r},t)$$

3차원의 경우에는 $x$나 $y$에 대한 편미분 항에 $z$에 대한 편미분이 추가된다. $$i \hbar \frac{\partial \Psi(\vec{r},t)}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi(\vec{r},t) + U(\vec{r}) \Psi(\vec{r},t)$$ 여기서 $\nabla^2$는 라플라스 연산자로서 $(x, y, z)$의 직교좌표계에서 표현하면 다음과 같다. $$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$$

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