전자의 스핀

전자의 스핀

파동함수의 대칭성

여러 입자의 파동함수

하나의 입자가 있는 경우라면 파동함수 $\psi(x)$ 로 양자상태가 완벽하게 표현된다. 그렇다면 동일한 종류의 입자가 여럿 있는 경우 이를 어떻게 다루어야 할까?

우선 두 개의 입자가 각각 $\psi_a, \psi_b$ 의 두 상태에 있다고 하자. 한 입자의 좌표를 $x_1$ , 다른 입자를 $x_2$ 로 명명하고, 입자 1 이 $\psi_a$ , 입자 2 가 $\psi_b$ 의 상태로 있을 경우 두 입자를 동시에 파동함수로 표현하면

ψ_{a b} (x_{1}, x_{2}) = ψ_{a} (x_{1}) ψ_{b} (x_{2})

$\psi_{ab}(x_1, x_2) = \psi_a (x_1) \psi_b (x_2)$ 이 될 것이다. 이는 두 입자를

x_{1}

$x_1$ 와

x_{2}

$x_2$ 에서 발견할 확률이 각각의 확률의 곱으로 표현므로 파동함수도 각각의 파동함수의 곱으로 표현할 수 있다고 본 것이다.

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두 입자의 상태_ 서로 다른 두 입자를 하나의 파동함수로 표현하는 경우, 두 파동함수를 곱한다. 두 입자를 구분할 수 없을 때에는 두 입자를 교환하는 경우에도 같은 상태를 나타내어 확률밀도함수는 동일해야 한다. 따라서 파동함수는 입자의 교환에 대해 ±의 부호를 가질 수 있다.

동등한 두 입자의 경우

여기서 두 입자가 완전히 동일한 입자로서 둘을 구분할 수 없다고 생각하자. 실제로 전자 등 기본입자들은 각각을 식별할 수 있는 방법은 없어서 동일입자로 간주해야 한다. 이때는 위와 같이 $\psi_a, \psi_b$ 상태에 한 입자씩 놓여있다면 위의 $\psi_{ab}(x_1, x_2)$ 상태뿐만 아니라 다음 상태도 대등하다.

ψ_{a b} (x_{2}, x_{1}) = ψ_{a} (x_{2}) ψ_{b} (x_{1})

$\psi_{ab}(x_2, x_1) = \psi_a (x_2) \psi_b (x_1)$

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동등한 두 입자_ 서로 다른 두 입자를 하나의 파동함수로 표현하는 경우, 두 파동함수를 곱한다. 두 입자를 구분할 수 없을 때에는 두 입자를 교환하는 경우에도 같은 상태를 나타내어 확률밀도함수는 동일해야 한다. 따라서 파동함수는 입자의 교환에 대해 ±의 부호를 가질 수 있다.

$\psi_{ab}(x_1, x_2)$ 과 $\psi_{ab}(x_2, x_1)$ 는 서로 대등하므로 둘을 같은 비율로 기여시켜야 한다. 이 방법은 둘을 동등하게 더하거나 빼는 두 가지가 있는 데 이를 각각 대칭적인 결합과 반대칭적인 결합이라 한다. 대칭적인 결합은 위 그림에서 $\psi_{ab}(x_1, x_2) = +\psi_{ab}(x_2, x_1)$ , 즉 $+$ 를 택한 경우로,

ψ_{a b}^{S} = \frac{1}{\sqrt{2}} [ψ_{a} (x_{1}) ψ_{b} (x_{2}) + ψ_{a} (x_{2}) ψ_{b} (x_{1})]

$\psi^S_{ab} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \psi_a (x_1) \psi_b (x_2) + \psi_a (x_2) \psi_b (x_1) \right]$ 이다. 한편 반대칭적인 결합은 위 그림에서

ψ_{a b} (x_{1}, x_{2}) = - ψ_{a b} (x_{2}, x_{1})

$\psi_{ab}(x_1, x_2) = -\psi_{ab}(x_2, x_1)$ , 즉

-

$-$ 를 택한 경우로,

ψ_{a b}^{A} = \frac{1}{\sqrt{2}} [ψ_{a} (x_{1}) ψ_{b} (x_{2}) - ψ_{a} (x_{2}) ψ_{b} (x_{1})]

$\psi^A_{ab} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \psi_a (x_1) \psi_b (x_2) - \psi_a (x_2) \psi_b (x_1) \right]$ 이다.

실제로 어떤 입자가 대칭적인 결합으로 표현되느냐, 반대칭적인 결합으로 표현되느냐는 입자의 고유 성질로서 전자의 경우는 반대칭적인 결합을 하는 대표적인 입자이다. 만일 한 상태 $a~$ 에 반대칭적인 결합을 하는 두 입자가 있는 경우라면

ψ_{a a}^{A} = \frac{1}{\sqrt{2}} [ψ_{a} (x_{1}) ψ_{a} (x_{2}) - ψ_{a} (x_{2}) ψ_{a} (x_{1})] = 0

$\psi^A_{aa} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \psi_a (x_1) \psi_a (x_2) - \psi_a (x_2) \psi_a (x_1) \right] = 0$ 으로 그 확률이

0

$0~$ 이 되어 이러한 양자상태는 있을 수 없다. 이로써 전자가 배타원리의 적용을 받는 것이 설명된다.

_ 확률밀도함수_ 파동함수_ 양자

페르미온과 보손

스핀이 반정수의 입자는 페르미온으로 배타원리를 따른다.

애초에 물질을 구성하는 궁극의 입자로 생각되었던 원자에서 전자가 나오는 것이 발견되고 이로부터 원자모형이 성공적으로 확립된 후, 원자의 다른 구성요소인 핵 속의 양성자와 중성자, 그리고 핵의 형성과 변환과정에서 도입된 중간자, 중성미자 등 기본입자라고 생각되는 입자의 수도 점차 늘어나게 되었다. 이러한 기본입자는 질량이나 전하량 등을 그 속성으로 가지고 있지만 스핀도 이들이 가지는 기본 속성의 하나이다. 이 스핀은 전자의 경우와 마찬가지로 팽이처럼 공간에서 회전하는 자전의 의미로서가 아니라 내부적인 본성이다. 따라서 기본입자의 스핀은 결코 멈추지거나 없어지지 않는다. 그런데 묘하게도 이 스핀양자수는 각 입자의 종류에 따라 특정한 값으로 정해져 있고, 또한 이 값에 따라 파동함수의 대칭성에서 결정적인 차이를 가진다. 예를 들어 전자는 배타원리를 따르는 데 이는 전자가 근본적으로 반대칭적인 파동함수를 하기 때문이다. 이는 모두 스핀양자수가 1/2, 3/2 등의 입자가 가진 공통의 특성으로 양성자나 중성자 등도 마찬가지로 배타원리를 따르게 될 것이다.

페르미온과 보손: 자연을 구성하는 두 종류의 입자

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페르미온과 보손_페르미온의 경우 한 상태에 하나의 입자만 허용되지만 보손의 경우에는 제한이 없다. 페르미온의 경우 스핀이 달라질 경우 서로 다른 상태로 본다,

모든 입자는 정수나 반정수의 스핀을 가지게 되는 데 이 중에서 1/2, 3/2, 5/2 등 반정수의 스핀양자수를 가지는 입자는 반대칭의 파동함수로 기술되고, 0, 1, 2, 3 등 정수의 스핀양자수를 가지는 입자는 대칭의 파동함수로 기술된다. 이런 성질은 양자역학과 특수상대론을 결합한 이론으로부터 설명된다. 즉 스핀 1/2은 두 이론이 결합된 새로운 이론체계인 상대론적양자역학(relativistic quantum mechanics)으로, 보다 일반적인 스핀의 경우에는 양자장론(quantum field theory)에서 설명되는 것으로 보통의 양자역학으로 이를 완전하게 설명하는 것은 불가능하다.

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보스(S. N. Bose: 1894~1974)_ 인도 캘커타 태생의 물리학자로 서로 1924년 분간할 수 없고, 점유수에 제한이 없는 입자에 대한 새로운 통계를 제안하였다. 이 내용의 논문은 처음에 거부되었으나 이 논문의 의미를 알아챈 아인슈타인에 의해 번역되고 다시 투고되어 출판되었다. 이러한 부류의 입자를 그의 이름을 따서 보손(boson)이라 하게 되었으며, 이 입자가 따르는 양자통계는 그와 아인슈타인의 이름을 따서 보스-아인슈타인 통계로 불리게 되었다.

반정수의 스핀을 가지는 입자들을 페르미온(fermion), 정수의 스핀을 가지는 입자들을 보손(boson)이라 하며, 자연을 구성하는 기본입자는 모두 이 둘 중 하나의 부류에 속한다. 이러한 이름은 상대론적양자역학을 발견한 디랙이 이들이 집합되었을 때의 각각에 대한 통계적인 성질을 알아낸 페르미와 보스(S. N. Bose)의 이름을 따서 명명하였다. 파동함수의 대칭성이나 반대칭성 때문에 보손의 경우에는 한 상태에 들어갈 수 있는 입자의 수에 제한이 없지만 페르미온의 경우에는 하나의 상태에 단 하나의 입자만 들어갈 수 있다. 이에 따라 많은 수의 입자로 구성된 열역학적 계의 성질이 확연하게 차이나게 된다.

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