섭동이론

시간의존 섭동이론

상자 속의 입자에 어떤 순간부터 섭동이 걸릴 때의 예

다음 프로그램은 정상상태에 약간의 퍼텐셜의 변화가 주어질 때 상태가 변화하는 한 예를 보여준다. 처음에는 1차원 상자에 있는 입자가 단일상태로 있으나 오른쪽 영역에 약간의 퍼텐셜을 걸어줄 수 있고, 이 영향으로 단일상태는 여러 상태로 갈라지게 된다. 'run' 버튼을 누르면 그 시각부터 섭동이 걸리게 되고, 시시각각 파동함수가 변하는 것을 계산하여 파동함수, 중첩된 상태를 그림으로 보여준다.

상태 사이를 전이할 확률을 기술한다.

앞의 모의실험은 어떤 순간부터 섭동이 걸리는 상황이다. 앞서 지속적으로 같은 섭동이 걸리는 경우와 달리 퍼텐셜이 시간에 따라 변하고 있으므로 처음에는 정상상태로 있었다고 하더라도 섭동이 걸리는 순간부터 그 상태는 지속적으로 변화된다. 이와 같은 것을 근사적으로 해석하는 기법이 시간의존 섭동이론(time dependent perturbation)인 데, 이는 원자에서나 원자핵에서 광자가 흡수와 방출되는 과정을 이해하는 데 필수적이다. 이 이론이 입자의 생성과 소멸을 포괄해서 다루는 양자장론(quantum field theory)으로 체계화된다.

해밀토니안에 $H_0$ 대해서 완전한 해를 알고 있다고 하자. 이에 대한 시간의존 슈뢰딩거 방정식은 \[ \begin{equation} \label{eq1} i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Phi = H_0 \Phi \end{equation} \] 이다. 이에 대한 해의 집합이 $\{\Phi_1, \Phi_2, \cdots, \Phi_n, \cdots \}$이고, 에너지 고윳값을 $\{E_1, E_2, \cdots, E_n, \cdots \}$이라고 하자. \[ \Phi_n(x, t) = \phi_n(x) e^{-iE_n t/\hbar} \] 이들 해의 집합은 완전계를 이루고 있다. 또 이를 직교규격화 된 것으로 보자. 임의의 함수는 이제 이들의 조합으로 나타낼 수 있다. 즉, \[ \begin{equation} \label{eq3} \Psi(x, t) = \sum_n c_n(t) \Phi_n(x, t) = \sum_n c_n(t) \phi_n(x) e^{-iE_n t/\hbar} \end{equation} \] 이다.

위의 해밀토니안 $H_0$에서 약간의 변동된 해밀토니안이 다음과 같이 주어진다고 하자. \[ \begin{equation} \label{eq4} H= H_0 + H_I(t) = H_0 + \lambda H_i(t) \end{equation} \] 여기서 $\lambda$은 작은 값이기 때문에 이 해밀토니안에 대한 해는 $H_I(t)$이 없는 것에서 약간의 변동이 있을 것이다. $H_I(t)$은 잘 이해되어 있는 원래의 물리적인 상황에 주어진 약간의 건드림으로 이를 섭동항(perturbation term)이라 하자. $H_0$에 대한 고유함수들은 $H$에 대해서는 고유함수가 아니다.

여기서 $H$의 고유함수 $\Psi(x, t)$라 하고 이를 \eqref{eq3} 식과 같이 $\Phi$들이 중접된 것으로 나타내어 함수에 $H$를 걸어주면, \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi = H \Psi = [H_0 + H_I(t)] \Psi \] 이다. 이를 전개하면, \[ i\hbar \sum_n \left[ \frac{d}{d t} c_n(t) \right] \Phi_n(x, t) + \sum_n c_n(t) \left[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Phi_n(x, t) \right] = \sum_n c_n (t) H_0 \Phi_n(x,t) + \sum_n c_n (t) H_I \Phi_n(x,t) \] 이다. 이 식의 왼쪽의 둘째항과 오른쪽의 첫항은 \eqref{eq1}에 의해 같은 값으로 없어진다. 따라서 \[ i\hbar \sum_n \left[ \frac{d}{d t} c_n(t) \right] \Phi_n(x, t) = \sum_n c_n (t) H_I \Phi_n(x,t) \] 이다. 여기서 $\{c_n\}$의 특정 값을 추출하기 위해서 양변에 $\Phi^*_m(x,t)$를 곱해서 $x$에 대해 적분하자. $\int \Phi^*_m(x,t)\Phi_n(x,t)dx = \delta_{mn}$에 의해 \[ i\hbar \frac{d}{d t} c_m(t) = \sum_n \left[ \int \Phi^*_m(x,t) H_I(t) \Phi_n(x,t) dx \right] c_n(t) \] 으로 된다. 여기서 $[\cdots]$ 항을 $T_{mn}(t)$로 놓고 더 정리하면, \[ \begin{equation} \label{eq5} i \hbar \frac{d}{dt} c_m(t) = \sum_n T_{mn}(t) c_n(t) e^{i\omega_{mn}t} \end{equation} \] 으로 된다. 여기서 \[ \omega_n = \frac{E_n}{\hbar}, \qquad \omega_{mn} = \frac{E_m-E_n}{\hbar} = \omega_m - \omega_n \] 로의 축약된 기호로 썼다. 또 \[ \begin{equation*} \begin{split} T_{mn}(t) & = & \int \phi^*_m(x) [H_I (t)] \phi_n (x) dx \\ & \Rightarrow & \langle \phi_m | H_I | \phi_n \rangle \\ & \Rightarrow & \langle m | H_I | n \rangle = \lambda \langle m | H_i | n \rangle \end{split} \end{equation*} \] 은 전이행렬(transition matrix)로 연산자 $H_I$를 $\{\phi_n\}$을 기저로 해서 행렬로 나타냈을 때의 각 요소들이다. 기본적으로 \eqref{eq5} 식은 연립미분방정식으로 풀이가능한 형태로 정리되어 있지만 실제로는 각기 다른 $n$의 $c_n(t)$들이 서로 얽혀 있어서 해석적으로 풀이 하는 것은 거의 불가능하다. 그러나 섭동 퍼텐셜이 작다면 $\{c_n(t)\}$를 $\lambda$에 대한 급수로 나타내어서 근사해로는 구할 수는 있다. 즉, \[ c_m(t) = c_m^{(0)}(t) + \lambda c_m^{(1)}(t) + \lambda^2 c_m^{(2)}(t) + \cdots \] 이제 이를 \eqref{eq5}에 대입해서 $\lambda$에 대한 차수별로 정리하면, \[ \begin{equation} \label{eq6} i\hbar \frac{dc_m^{(0)} (t)}{dt} = 0 \end{equation} \] \[ \begin{equation} \label{eq7} i\hbar \frac{dc_m^{(1)} (t)}{dt} = \sum_n \langle m | H_i | n \rangle e^{i \omega_{mn} t} c_n^{(0)}(t) \end{equation} \] \[ \begin{equation} \label{eq8} i\hbar \frac{dc_m^{(2)} (t)}{dt} = \sum_n \langle m | H_i | n \rangle e^{i \omega_{mn} t} c_n^{(1)}(t) \end{equation} \] 여기서 $\lambda = 0$인 경우는 첫 식만 나타나며, 당연히 $\{c_m^{(0)} (t)\}$는 상수이므로 \eqref{eq6} 식은 무의미하고, 그 다음 식부터 의미가 있다. 처음에 주어진 $\{c_n^{(0)}\}$으로부터 $\{c_n^{(1)} (t)\}$를 구하고, 또 이로부터 순차적으로 $\{c_n^{(2)} (t)\}$를 구하면 원하는 정밀도로 해를 구성할 수 있다.

정상상태의 양자계에 어떤 순간부터 섭동이 걸린다.

실제 이 과정을 적용하는 물리적인 상황은 작은 섭동항이 걸려 있는 경우이다. 즉 $\lambda$가 매우 작다. 이에 다음과 같이 몇 가지 조건이 추가되었다고 보자.

1. $\lambda$가 작다. 따라서 $c_n(t)$에서 $\lambda$에 대한 1차항만 고려하면 되므로 \eqref{eq7} 식으로 충분하다.

2. 초기에는 섭동이 가해지지 않은 상태로부터 출발한다. 초기에 주어진 상태는 $n$의 단일상태로 오직 $c_n^{(0)}$만 있다. 즉 $c_j^{(0)} = \delta_{jn}$이다.

3. 특정 시간 $t=0$부터 섭동항이 추가되어 이의 영향으로 원래의 $H_0$에 대한 단일상태는 이제 여러 상태로 전이할 수 있고, $t$에서 $m$ 상태로 전이하는 확률은 $c_m(t)$에 의존한다.

4. 전이 가능한 여러 상태들 중에서 특정상태 $m$으로 될 확률을 계산한다.

이에 따라 \[ \lambda c_m^{(1)}(t) = \frac{1}{i\hbar} \int^{t}_0 e^{i\omega_{mn}t'} T_{mn}(t') dt' \] 이고, \[ \begin{equation} \label{eq9} c_m(t) \cong \delta_{mn} + \frac{1}{i\hbar} \int^{t}_0 e^{i\omega_{mn}t'} T_{mn}(t') dt' \end{equation} \] 이다. 이제 초기상태 $\Phi_n$에서 $\Phi_m$으로 전이할 확률은 \[ P_{nm} = |c_m(t)|^2 \] 이 된다.

2차 섭동과 고차의 섭동

1차 근사의 결과를 \eqref{eq8} 식에 대입하면 2차 근사의 계수 $c^{(2)}_m$를 구할 수 있다. 즉, \[ \begin{equation} \label{eq10} \lambda^2 c_m^{(2)}(t) = \left( \frac{1}{i\hbar} \right)^2 \sum_{j_1} \int^{t}_0 dt_2 \int^{t_2}_0 dt_1 V(m, j_1; t_2) V(j_1, n; t_1) \end{equation} \] 이다. 여기서 간결을 위해서 \[ V(j, i; t) = e^{i\omega_{ji}t} T_{ji}(t) = e^{i\omega_{ji}t} \langle j | H_I(t) | i \rangle \] 의 축약된 기호를 썼다. 동일한 과정을 반복하여 일반적인 $l$차에 대해 표현하면 다음과 같다. \[ \begin{multline} \label{eq11} \lambda^l c_m^{(l)}(t) = \\ \left( \frac{1}{i\hbar} \right)^l \sum_{j_{l-1}}\sum_{j_{l-2}} \cdots \sum_{j_1} \int^{t}_0 dt_l \int^{t_l}_0 dt_{l-1} \cdots \int^{t_2}_0 dt_1 V(m, j_{l-1}; t_l) V(j_{l-1}, j_{l-2}; t_{l-1}) \cdots V(j_1, n; t_1) \end{multline} \]

_ 슈뢰딩거 방정식_ 파동함수_ 고유함수_ 정상상태_ 연산자_ 고윳값_ 전이