정상상태

물질파의 정상파

슈뢰딩거 방정식은 물질파동의 시시각각의 행동을 결정한다!

슈뢰딩거 방정식은 여느 파동방정식과 다를 바 없이 시공간에 펼쳐진 파동함수의 행동양식을 결정한다. 이 파동함수가 입자를 발견할 확률을 정할 뿐 입자에 대해 확정적인 정보는 주지 않기 때문에 양자역학이 애매모호하다는 인상을 주긴 하지만 파동으로서 시시각각 행동하는 양상은 매우 정확하게 예측이 된다. 이는 물질파의 파동함수가 슈뢰딩거 방정식을 엄밀하게 따르기 때문이다. 특정시간에 어떠한 파동함수로 놓여 있는지를 알게 된다면 슈뢰딩거 방정식은 그 다음 순간순간의 파동함수의 행동을 결정하는 것이다. 이 특정시간의 정보는 방정식의 초기조건이 되고, 이로부터 그 이후의 모든 시간에 대한 파동함수는 하나로 결정된다. 그런데 이 초기조건에서 파동함수가 공간적으로 어떤 분포를 해야한다는 제약은 없다. 따라서 아무 형태의 파동이거나 상관없이 있을 수 있으며 그 분포가 달라지면 다음 순간의 파동함수의 행동이 달라질 따름이다.

이런 의미에서 슈뢰딩거 방정식은 고전역학의 운동방정식을 대신하는 것이라고 볼 수 있다. 고전론에서는 입자의 위치가 시시각각 변하는 데 이 변화는 초기시간에서의 입자의 위치, 속도가 정해지면 매 순간의 입자의 위치가 정해진다고 본다. 양자론에서는 입자의 파동함수가 시시각각 변하는 데 초기시간의 파동함수의 분포를 알면 매 순간 입자의 파동함수가 정해지는 것이다. 굳이 초기 시간 이후의 행동만 결정될 수 있는 것은 아니고, 과거의 행적도 결정된다. 따라서 슈뢰딩거 방정식은 역동적인 물질파의 행동을 계산 가능하게 하므로 고전역학의 모든 문제들이 새로운 방식으로 다루어질 수 있을 것이다.

물질파의 정상파

양쪽 끝이 고정된 줄처럼 제한된 공간에 형성되는 파동은 그 운동양상이 단순하여 마치 제자리에 멈추어져 있는 듯이 보이는 경우가 있다. 어떤 부위는 아무런 진동을 하지 않고 있으며 전체적으로 위상이 일치된 단진동을 한다. 또한 여느 파동처럼 주변으로 운동양상이 전파되지 않는것 처럼 보인다. 이것이 바로 정상파이다. 보통 파동의 경우 정상파는 악기의 원리가 되는 정도이겠지만 물질파의 정상파는 그보다 훨씬 중요하고 근본적이다.

물질파의 정상파도 보통의 파동과 마찬가지로 시간에 대해 고정된 상태를 유지하는 것을 말한다. 마디와 배가 고정되어 있고, 특정한 진동수로 진동을 한다. 그러나 물질파의 경우, 물리적으로 의미가 큰 확률밀도 $P(x)$는 시간이 흘러도 변하지 않는다. 이런 의미에서 정상상태(stationary state)라 한다. 보통의 원자는 주로 정상상태에 있는 데, 전자의 확률분포가 시간에 따라 변동되면 광자(전자기파)를 발생하여 낮은 에너지를 가진 정상상태로 곧 떨어지기 때문이다. 이는 보통의 악기에서 정상파가 아닌 파동들이 뛰놀 수 있지만 곧 기본진동의 정상파만 나타나는 것과 비교할 수 있지만 악기의 경우 감쇠의 정도가 진동수에 따라 다르게 일어나기 때문으로 파동의 근본현상이라고 할 수 없다. 반면에 물질파가 정상상태로 존재하는 것은 광자와 연관된 보다 근본적인 이유가 있다.

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시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식

슈뢰딩거 방정식은 2계 편미분 방정식으로서 바로 풀이를 하기는 곤란하여 하나의 방안으로서 다음과 같이 변수분리의 방법을 쓴다. 즉, 물질파의 파동함수 $\Psi(x,t)$가 다음처럼 공간 $x$와 시간 $t$의 함수의 곱으로 되어 있다고 가정하자. \[ \Psi(x, t) = \psi(x) T(t) \]

이를 슈뢰딩거 방정식에 대입하면, \[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(x)T(t)= -\frac{ \hbar ^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x)T(t) + U(x)\psi(x)T(t) \] 이 된다. 이제 식의 양변을 $\psi(x) T(t)$로 나누면 $t$와 $x$의 두 부분으로 나뉜다. \[ \frac{1}{T(t)} \left[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t}T(t) \right] = \frac{1}{\psi(x)}\left[ -\frac{ \hbar ^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x) + U(x)\psi(x) \right] \] 식의 좌변과 우변은 각각 $t$와 $x$에 의존하고 있다. 임의의 $t$와 $x$에 대해 이들이 항상 같은 값을 가지기 위해서는 상수함수이어야 한다. 이 상숫값을 우선 $E$라고 하자. 그러면 \[ i\hbar \frac{dT(t)}{dt} = ET(t) \] 이고, \[ - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + U(x) \psi(x) = E\psi(x) \] 이다. 둘 중에서 시간에 대한 방정식인 첫째 것은 퍼텐셜의 형태와 관계없이 쉽게 풀리고, 둘째 것은 공간에 대한 것으로 퍼텐셜에 따라 다르게 풀어야 하여 양자역학은 주로 이 방정식을 풀이하는 문제가 된다. 이를 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식(time independent Schrodinger equation)이라 한다.

우선 시간에 대한 방정식을 풀이하면, \[ T(t) = e^{-i \frac{E}{\hbar}t} \] 이는 다음 그림에서 보는 것처럼 복소평면 위를 $E/\hbar$의 각속도로 회전하는 것을 나타낸다. 보다 일반적으로 이 해에 복소상수 $c$를 곱해도 되지만 이는 $\psi(x)$에 흡수시켰다고 생각하자.

한편 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 퍼텐셜에너지 함수 $U(x)$ 때문에 계에 따라 다르게 풀릴 것이다. 특히 여기서의 $E$는 시간에 대한 함수와 연결된 것으로서 이 값이 특정한 값이어야 한다. 어떤 $E$ 값에 대한 공간 부분의 해를 $\psi_E(x)$라고 하자.

공간에 의존하는 방정식을 운동량연산자를 써서 다음과 같이 다시 표시할 수 있다., \[ \left[ \frac{\hat{p}^2}{2m} + U(x) \right] \psi_E(x) = E\psi_E(x) \] 이 되어 \[ \hat{H} \psi_E(x) = E \psi_E(x) \] 이 된다. 여기서 $\hat{H}$는 에너지 연산자이다. ($\hat{E}$라고 표기할 수 있으나 $H$가 고전역학에서의 해밀토니안이어서 관례상 $\hat{H}$로 표기하도록 한다) 이처럼 어떤 물리량에 해당하는 연산자가 파동함수에 걸려서 그 함수에 상수배로 되는 특별한 함수를 고유함수(eigenfunction)라 하고, 이러한 방정식을 고유방정식(eigen equation)이라 한다. 그리고 $E$와 같이 결과의 함수 앞에 붙는 상수를 고윳값(eigenvalue)이라 한다. 파동함수가 어떤 연산자의 고유함수일 때 이 연산자의 물리량에 대한 기대치는 고윳값이 된다. 따라서 앞에서의 임의의 상수로 도입했던 $E$가 바로 에너지의 기댓값이라는 것을 알 수 있다. (이 때문에 에너지의 표기 $E$를 미리 사용하였다)

한편 이제 해를 완전히 표시하면, \[ \Psi_E(x,t) = \psi_E(x) e^{-i \frac{E}{\hbar}t} \] 이 된다. 여기서 $\Psi$에 아래첨자 $E$를 붙인 것은 에너지의 기대치가 $E$인 특별한 해를 나타내기 위함이다. 이렇게 구한 해는 일반적으로 미분방정식이 가질 수 있는 수 많은 해의 하나로 이를 특수해라고 한다. 이에 대한 확률밀도는 \[ P_E(x,t) = |\Psi_E(x, t)|^2 = \psi_E^*(x) e^{i \frac{E}{\hbar}t} \psi_E(x) e^{-i \frac{E}{\hbar}t} = |\psi_E(x)|^2 \] 이 되어 시간에 무관하다. 즉, 특정한 에너지의 고윳값을 가진 고유상태(eigenstate)는 확률밀도가 시간에 대해서 변하지 않고 정적인 상태로 있다는 보다 일반적인 관계가 성립한다고 할 수 있다. 이런 의미에서 정상상태라 하는 것이다.

한편 일반해는 중첩의 원리에 의해 이들 특수해의 선형결합으로 구해진다. 즉, \[ \Psi(x,t) = \sum c_E \psi_E(x) e^{-i \frac{E}{\hbar}t} \] 여기서 $\sum$은 모든 가능한 $E$에 대한 것이고, 아울러 $c_E$는 임의의 복소수 상수이다.

[질문1] 1차원에서 마음대로 움직이는, 즉 $U(x)=0$인 자유입자에 대해서 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식의 적절한 파동함수를 구하라 또 해가 있기 위한 조건으로 $E$에 가해지는 제한은 무엇인지 설명하라? (이 결과를 '물질파의 운동'에서 알아본 파동함수의 행동과 비교해 보자)

[질문2] 질문1의 해는 특정한 에너지를 가지고 있어서 운동량 불확정도(momentum uncertainty)는 $0~$이다. 위치 불확정도(position uncertainty)는 얼마가 되어야 할까? 이 해는 위치 불확정도를 그 조건을 충족하는가?

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