정상상태

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상자의 퍼텐셜_ 입자가 길이 $L$인 퍼탠셜 장벽에서 느끼는 퍼텐셜 도표이다.

드브로이의 물질파 개념만으로 '물질파의 정상파 상태' 에서 상자 속에 갇혀 있는 입자의 상태를 보통의 파동의 정상파의 개념을 적용하여 다루었다. 그러한 방법으로 고유에너지를 계산할 수 있었지만 슈뢰딩거 방정식을 통해야 파동함수에 대한 보다 정교한 이해가 가능해진다.

길이 $L$인 1차원 상자 속에 갇혀 있는 입자는 양단에서 무한히 높은 퍼텐셜장벽이 설치되어 있는 것으로 이해할 수 있다. 이 퍼텐셜에 의해서 상자의 영역 바깥으로는 입자가 나갈 수 없으므로 파동함수가 0 으로 강제되지 않으면 안된다. 이러한 사정은 그 경계지점에서도 마찬가지고, 아울러 파동함수가 불연속이 되지 않는다는 연속의 조건이 문제를 풀 수 있는 열쇠가 된다.

상자 내부에서는 퍼텐셜에너지가 0 이므로 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 \[ \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + \frac{2m}{\hbar^2} E \psi(x) = 0 \] 이 방정식을 만족하면서 $x=0$와 $x=L$에서 $\psi=0$이라는 조건에 걸맞는 파동함수를 찾는 문제가 된다. 따라서 이의 해는 다음과 같은 꼴이 된다. \[ \psi(x) = C \sin \left( \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x \right) \] 이는 $\psi(0) =0$의 조건은 만족하나 $\psi(L)=0$은 $E$가 특별한 값을 가질 때만 가능하다. 따라서 \[ \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}L=n\pi, \quad n=1, 2, 3, ... \] 이 되어야 하여 $E$의 값이 다음과 같이 제한된다. \[ E_n = \frac{n^2 \pi^2\hbar^2}{2mL^2} \] 이는 바로 에너지의 고윳값이 띄엄띄엄한 값을 가진다는 것을 말하고, 또한 '물질파의 정상파 상태' 절에서의 결과와 일치한다.

한편 각각의 에너지 고윳값 $E_n$에 대한 파동함수는 \[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \frac{n\pi x}{L} \] 이다. 여기서 $C$를 $\sqrt{\frac{2}{L}}$로 놓은 것은 $x=0$와 $x=L$ 사이에서 입자를 발견할 확률이 1 이되어야 한다는 규격화의 조건을 부과한 것이다. 이제 $T(t)$를 포함하여 완전한 형태로 표현하면 \[ \Psi_n(x,t) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \frac{n\pi x}{L}e^{-i \frac{n^2 \pi^2\hbar}{2mL^2} t} \] 가 된다.

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상자 속의 입자의 정상상태_ 상자에 있는 입자의 정상상태의 파동함수로 $n=1 \sim 6$인 고유상태를 선택하여 볼 수 있다. 맨 위 그래프는 파동함수의 실수와 허수부를, 그 다음의 붉은 화살 그래프는 각 지점의 복소파동량을 복소평면 위에 나타내었다. 다음의 색채 그림은 복소파동함수를 HSV 색모형으로 표현한 것이다. 마지막은 확률밀도함수 그래프로 시간이 흘러도 입자를 발견할 확률이 변하지 않는다는 것을 알 수 있다. 이러한 이유로 정상상태라 하는 것이다. 그림이 처음 나타날 때에는 $n=2$의 상태가 보여지며 화면 아래의 체크박스로 다른 정상상태를 선택해 볼 수 있다.

위 그림은 $n=1$부터 $n=6$까지에 대해서 시시각각으로 변하는 파동함수의 모양을 보여주고 있는 데 '물질파의 정상파 상태' 절에서 줄의 고유진동과 유사하게 취급한 것과 비슷해 보이기는 하다. 그러나 양자역학의 파동함수의 경우 복소수의 값을 가지고 있어 주어진 에너지 고윳값 $E_n/\hbar$의 각속도로 복소평면을 회전하지만 결코 진폭(복소파동함수의 크기)이 변하지는 않는다. 따라서 입자를 발견할 확률은 시간에 따라 변하지 않고 일정한 값을 그대로 유지하는 정상상태이다.

확률밀도함수는 \[ P(x) = \frac{2}{L} \sin^2 \frac{n\pi x}{L} \] 으로 다음 그림에서 이 함수와 함께 주어진 구간에서 입자를 발견할 확률을 나타내고 있다.

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상자 속의 입자의 확률분포_상자 속의 입자의 $n=1 \sim 6$ 상태에 대해 어떤 구간에서 입자를 발견할 확률을 보여준다. 화면 아래의 ■ 표식을 끌어서 구간을 변경할 수 있다.

[질문1] 상자 속의 입자에 대한 양자화 조건에서 $n=0$이 배제되는 이유는 무엇인가?

[질문2] 상자 속의 입자에 대한 양자역학적인 풀이를 앞에서와 달리 상자의 왼쪽을 $x=-\frac{L}{2}$, 오른쪽을 $x=\frac{L}{2}$로 해서 풀이하고, 이 결과가 본질적으로 앞의 해석과 동일함을 검증하라.

[질문3] 불확정성원리로 길이 $L$인 상자 속의 입자가 가지는 최소 에너지를 추정해서 앞에서의 바닥상태의 에너지와 비교해 보자.

[질문4] 상자 속의 입자의 위치 기댓값 $\langle x \rangle$가 $L/2$, 운동량 측정의 기댓값 $\langle p \rangle$가 $0$인 것을 보이고, 이를 정성적으로 설명하라.

[질문5] 어떤 물리량 $G(x)$의 불확정도는 엄밀하게 \[ \Delta G = \sqrt{\langle (G - \langle G \rangle)^2 \rangle } \] 으로 정의하는 데 이는 분산(variation)의 제곱근이다. 이로부터 위치 불확정도가 다음과 같이 계산되는 것을 보여라. \[ \Delta x = \frac{L}{\sqrt{12}} \sqrt{1-\frac{6}{n^2 \pi^2}} \]

[질문6] 앞 질문에서 보인 것처럼 위치 불확정도는 $L$보다 작은 유한한 값을 가진 것은 당연하다. 한편 $n$의 고유상태의 에너지가 확정되어 있으므로 운동량도 확정된 것처럼 보인다. 이는 불확정성원리에 어긋나 보이는 데 여기서 무엇을 잘못 설명하고 있는가?