정상상태

비정상상태

입자는 정상상태가 중첩된 상태로 있을 수 있다.

슈뢰딩거 방정식의 일반해는 특수해인 정상상태를 선형결합하는 것을 구성된다. 입자는 슈뢰딩거 방정식을 만족하는 어떤 상태로도 있을 수 있으므로 모든 일반해가 다 입자의 행동을 적합하게 기술한다. 즉, 입자가 언제나 정상상태로만 있는 것이 아니라 이들이 더해진 상태로도 있을 수 있는 것이다. 따라서 앞에서 다루었던 상자 속의 입자에 대해 정상상태가 여럿 중첩된 새로운 상태의 행동이 어떤지 알아본다.

정상상태가 여럿 중첩된 상태는 일반적으로 정상상태가 아니다.

다음 그림은 앞에서 다루었던 상자 속의 입자에 대한 두 정상파의 파동함수를 1:1로 중첩시킨 것이다. 처음에는 $n=2$와 $n=3$의 상태가 선택되어 있으며 '운동'을 누르면 파동의 움직임을 볼 수 있다. 그림에서 확률밀도는 복소평면에서 화살표로 표현한 복소수 값의 크기의 제곱이므로 한 지점에서의 값이 계속 변하고 있음을 알 수 있다. 이처럼 정상상태가 포개져서(중첩되어) 시간에 따라 변화되는 상태를 비정상상태(non-stationary state)라 하고, 이것이 가장 일반적인 양자역학적인 상태라고 할 수 있다.

_ 슈뢰딩거 방정식_ HSV 색모형_ 복소파동함수_ 확률밀도함수_ 복소평면_ 양자역학_ 선형결합_ 정상파_ 복소수

복사전이의 규칙

중첩된 상태에서는 전자들이 춤춘다.

둘 이상 무수히 많이 중첩될 수 있지만 여기서는 에너지 고윳값이 각각 $E_m, E_n$인 두 상태를 1:1로 중첩시킨 상황을 고려하자. (이는 각 상태로 입자가 있을 확률이 각각 1/2 이라는 것을 뜻한다) $$\Psi(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \psi_m(x) e^{-i\frac{E_m}{\hbar}t} + \psi_n(x) e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t} \right)$$ 이에 대한 확률밀도함수는 $$P(x, t) = \frac{1}{2}P_m(x) + \frac{1}{2}P_n(x) + \psi_m^*(x)\psi_n(x) \cos \left(\frac{E_n-E_m}{\hbar}t \right)$$ 이다. 여기서 $P_m(x)$와 $P_n(x)$는 각각 정상상태의 확률밀도며, 시간에 무관하다. 그러나 마지막 항은 시간에 따라 $$\omega = \frac{E_n-E_m}{\hbar}$$ 의 진동수로 진동하게 된다. 따라서 에너지가 서로 다른 두 상태의 조합된 상태는 계속해서 각 지점의 확률밀도가 변하게 되므로 정상상태가 아닌 것이다! 그러나 위 식에서 확인되듯이 에너지 고윳값이 같은 축퇴 상태의 조합이라면 여전히 정상상태이다.

확률밀도가 진동을 하므로 입자의 위치에 대한 기댓값도 진동을 할 가능성이 크다. 이 논의를 상자 속의 입자인 경우에 적용하면, $$\langle x \rangle = \int_0^L xP(x, t) dx = \frac{L}{2} + \left[ \int_0^L \psi_{m}^*(x) ~ x ~ \psi_{n}(x) dx \right] \cos \left(\frac{E_{n}-E_{m}}{\hbar}t \right)$$ 맨 오른쪽 $[\cdots ]$의 적분 부분은 두 상태 $\Delta n = n - m$이 홀수일 때에는 0 이 아니다. 따라서 이 경우에는 기댓값이 상자의 중앙을 중심으로 하여 조화진동을 하게 된다. 고전 전자기 이론에 의하면 전하를 가진 입자가 조화진동을 하면 같은 진동수의 전자기파를 발생시킨다. 양자역학에서는 이 같은 고전론적인 해석을 재고해야 할 것이지만 이 때문에 $n\gt m$이라면 $\omega = (E_{n} - E_{m})/\hbar$의 광자가 발생되는 것을 예상할 수 있다. 이 광자가 가진 에너지는 광양자설에 의해 $E_{n} - E_{m}$이고 이는 입자의 두 상태에 대한 에너지 차이와 같아서 광자를 발생시킨 후 입자의 상태는 $E_{n}$에서 $E_{m}$이 될 것 이라는 해석이 가능하다.

앞의 예에서 다음 항 $$\int \psi_{m}^*(x) ~ x ~ \psi_{n}(x) dx$$ 이 전이가 일어나는지 여부를 결정하는 중요한 요인이 되는 것을 알았다. 이것은 1차원의 경우이지만 일반적으로 3차원인 경우에는 $x$뿐만 아니라 $y, z$에 대한 각 인자가 복사가 일어나는 것을 결정하게 된다. 즉 전이행렬 $$T_{mn} = A \int \psi_m^*(x, y, z) ~ \vec{r} ~ \psi_n(x, y, z) dxdydz$$ 는 두 파동함수 $\psi_n$과 $\psi_m$의 복합상태가 진동하는 방향과 크기를 결정하게 되고, 이 값이 0 이 아니라면 그 방향으로 입자가 진동을 한다. 양자역학에서 다루는 입자는 전하를 가지고 있기 때문에 전하가 진동을 하는 것이 되어 쌍극자의 진동에 의해 전자기파, 즉 광자가 발생되는 것이다. (이에 대해서는 '섭동이론' 단원에서 자세히 다룬다)

선택규칙에 의해 선택된 전이만 일어난다.

상자 속의 결과에서는 이 인자가 $\Delta n = n - m$이 홀수일 때에는 0 이 아니었다. 이렇게 복사전이가 일어나는 조건이 되는 것을 허용전이(allowed transition)이라 하고 그렇지 못한 경우를 금지전이(forbidden transition)이라 한다. 그리고 허용된 전이의 조건을 선택규칙(selection rule)이라 한다.

_ 확률밀도함수_ 섭동이론_ 조화진동_ 전이행렬_ 양자역학_ 파동함수_ 전자기파_ 광양자설_ 진동수_ 기댓값_ 축퇴_ 전하