Àß ¾Ë·ÁÁø °è¿¡¼ ¾à°£ÀÇ ¿äµ¿ÀÌ ÀÖ´Â °è¿¡´ëÇØ Çؼ®ÇÑ´Ù.
Àß ¾Ë·ÁÁø ¾çÀÚ°è¿¡¼ ÆÛÅټȿ¡ ¾à°£ÀÇ º¯È°¡ ÁÖ¾îÁö´Â °ÍÀ» ¼·µ¿À̶ó ÇÑ´Ù. ¼·µ¿ÀÌ °É¸° »õ·Î¿î °è´Â ÀϹÝÀûÀ¸·Î Çؼ®ÀûÀ¸·Î Ç®ÀÌ°¡ ¾ÈµÇ´Â °æ¿ì°¡ ¸¹À¸¹Ç·Î ¼·µ¿ÀÌ ¾ø´Â °èÀÇ Çظ¦ ¹ÙÅÁÀ¸·Î Çؼ®ÇÏ´Â µ¥, À̸¦ ¼·µ¿¹ý(perturbation method)À̶ó ÇÑ´Ù.
´ÙÀ½°ú °°ÀÌ ¾î¶² °èÀÇ ÇعÐÅä´Ï¾ÈÀÌ Àß ¾Ë·ÁÁø $H_0$¿¡ ¾à°£ÀÇ ¼·µ¿ ÆÛÅÙ¼ÈÀÌ °É·Á ÀÖ´Â °æ¿ì¸¦ »ý°¢ÇÏÀÚ. \[ \begin{equation} \label{eq1} H=H_0 + H_I = H_0 + \lambda H_i. \end{equation} \] ¿©±â¼ $H_I = \lambda H_i$´Â ¼·µ¿ ÆÛÅټȷΠ$\lambda$°¡ ÀÛÀº °ªÀÌ¾î¼ ÀÌÀÇ ¿µÇâÀº ¹Ì¹ÌÇÏ°í, ¶ÇÇÑ ½Ã°£¿¡ µû¶ó º¯ÇÏÁö ¾Ê´Â´Ù°í ÇÏÀÚ. $H_0$¿¡ ´ëÇÑ °íÀ¯»óÅ°¡ $\{\phi_1, \phi_2, \cdots, \phi_n, \cdots \}$ÀÌ°í °¢°¢¿¡ ´ëÇÑ ¿¡³ÊÁö °íÀµ°ªÀº $\{E^{(0)}_1, E^{(0)}_2, \cdots, E^{(0)}_n, \cdots \}$À̶ó°í Çϸé \[ H_0 \phi_n = E^{(0)}_n \phi_n \] ÀÌ´Ù.
ÀÌÁ¦ \eqref{eq1}¿¡ ´ëÇÑ °íÀ¯ÇÔ¼ö°¡ $\psi$¶ó ÇÑ´Ù¸é, \[ \begin{equation} \label{eq3} H(\lambda) \psi = E(\lambda) \psi \end{equation} \] ÀÌ°í, $\psi$ ¿ª½Ã $\lambda$ÀÇ ÇÔ¼öÀÌ´Ù. µû¶ó¼ ´ÙÀ½°ú °°ÀÌ $E$¿Í $\psi$¸ðµÎ¸¦ $\lambda$ÀÇ ±Þ¼ö·Î Àü°³ÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù°í º¸ÀÚ. \[ E(\lambda) = E^{(0)} + \lambda E^{(1)}+ \lambda^2 E^{(2)} + \cdots = \sum_{q=0}^\infty \lambda^q E^{(q)} \] \[ \psi(\lambda) = \psi^{(0)} + \lambda \psi^{(1)}+ \lambda^2 \psi^{(2)} + \cdots = \sum_{q=0}^\infty \lambda^q \psi^{(q)} \] À̸¦ \eqref{eq3}¿¡ ´ëÀÔÇÏ¿© $\lambda$ÀÇ Â÷¼öº°·Î Á¤¸®Çϵµ·Ï ÇÑ´Ù. \[ (H_0 + \lambda H_i) (\psi^{(0)} + \lambda \psi^{(1)}+ \lambda^2 \psi^{(2)} + \cdots) = (E^{(0)} + \lambda E^{(1)}+ \lambda^2 E^{(2)} + \cdots)(\psi^{(0)} + \lambda \psi^{(1)}+ \lambda^2 \psi^{(2)} + \cdots) \] ¿¡¼ $\lambda$ÀÇ $0$Â÷ Ç×Àº, \[ H_0 \psi^{(0)} = E^{(0)}\psi^{(0)} \] À¸·Î $\psi^{(0)}$Àº ¼·µ¿ÀÌ ¾ø´Â ¿©·¯ ÇØ Áß¿¡ Çϳª¶ó´Â °ÍÀ» ¶æÇÑ´Ù. À̸¦ $\phi_n$À¸·Î µÎ¸é $E^{(0)}=E^{(0)}_n$ÀÌ µÇ°í ÀÌ »óÅ·κÎÅÍ ¾à°£ º¯µ¿µÈ »óÅ°¡ °è»êµÉ °ÍÀÌ´Ù. ÀÌÁ¦ºÎÅÍ $n$ ¹ø° »óÅ¿¡¼ ¾à°£ÀÇ º¯µ¿ÀÌ °¡ÇØÁø $\psi$¸¦ $\psi_n$À¸·Î¿Í $E^{(q)}$¸¦ $E^{(q)}_n$À¸·Î Ç¥±âÇÏÀÚ. $\lambda$ÀÇ $1$Â÷, $2$Â÷ Ç׵鿡 ´ëÇØ Â÷·Ê·Î Á¤¸®Çϸé, \[ \begin{equation} \label{eq8} (H_0 - E^{(0)}_n) \psi_n^{(1)} + (H_i - E^{(1)}_n) \phi_n = 0 \end{equation} \] \[ \begin{equation} \label{eq9} (H_0 - E^{(0)}_n) \psi_n^{(2)} + (H_i - E^{(1)}_n) \psi_n^{(1)} - E^{(2)}_n \phi_n = 0 \end{equation} \] ÀÌ´Ù. ¸¸ÀÏ 1Â÷ ¼·µ¿, Áï $\lambda$¿¡ ´ëÇÑ 1Â÷±îÁö¸¸ °í·ÁÇÑ´Ù¸é \eqref{eq8} ½ÄÀ» Ç®ÀÌÇØ¾ß ÇÑ´Ù. ÀÌ °æ¿ì \[ \psi_n^{(1)} = \sum_m c_m \phi_m \] ó·³ $\{\phi_m\}$ÀÇ Á¶ÇÕÀ¸·Î µÎÀÚ. \eqref{eq8} ½ÄÀº, \[ H_0 \sum_m c_m \phi_m + H_i \phi_n= E^{(0)}_n \sum_m c_m \phi_m + E^{(1)}_n \phi_n \] ÀÌ´Ù. ¿©±â¼ ¾çº¯¿¡ $\phi^*_m$À» °öÇؼ Àü°ø°£¿¡ ´ëÇØ ÀûºÐÇϸé, \[ \begin{equation} \label{eq11} c_m E^{(0)}_m + \int \phi^*_m(x) H_i\phi_n (x) dx = c_m E^{(0)}_n + E^{(1)}_n \delta_{nm} \end{equation} \] ¿©±â¼ \[ \langle m | H_i | n \rangle = \int \phi^*_m(x) H_i \phi_n (x) dx \] À¸·Î Ç¥ÇöÇÏÀÚ. \eqref{eq11} ½Ä¿¡¼ $m=n$ÀÎ °æ¿ì¿¡´Â \[ c_n E^{(0)}_n + \langle n | H_i | n \rangle = c_n E^{(0)}_n + E^{(1)}_n \] ÀÌ µÇ¾î, $E^{(1)}_n = \langle n | H_i | n \rangle$ÀÌ´Ù. µû¶ó¼ $n$ »óÅ¿¡ ´ëÇÑ 1Â÷ ¼·µ¿¿¡¼ÀÇ ¿¡³ÊÁö °íÀµ°ªÀº \[ \begin{equation} \label{eq14} {\large \boxed{ E = E^{(0)}_n + \lambda \langle n | H_i | n \rangle = E^{(0)}_n + \langle n | H_I | n \rangle }} \end{equation} \] À¸·Î ¿ÀÁ÷ ¿¡³ÊÁö °íÀµ°ª¸¸ °ü½ÉÀÌ ÀÖ´Ù¸é ÀÌ°ÍÀ¸·Î ³¡ÀÌ´Ù. ±×·¯³ª º¯°æµÈ »óŸ¦ °è»êÇϱâ À§Çؼ´Â $c_m$À» ¸ðµÎ ¾Ë¾Æ¾ß ÇÏ´Â µ¥ À̸¦ À§ÇØ \eqref{eq11} ½Ä¿¡¼ $m\neq n$ÀÎ °æ¿ì¸¦ Á¤¸®ÇÑ´Ù. \[ c_m E^{(0)}_m + \langle m | H_i | n \rangle = c_m E^{(0)}_n \] À¸·Î \[ \begin{equation} \label{eq16} c_m = \frac{\langle m | H_i | n \rangle}{E^{(0)}_n - E^{(0)}_m} \end{equation} \] ÀÌ´Ù. ÀÌÁ¦ $c_n$À» °í·ÁÇÏÀÚ. $\lambda$¿¡ ´ëÇØ 1Â÷Ç×±îÁö °í·ÁÇÏ°í, Æĵ¿ÇÔ¼ö \[ \psi_n = \phi_n + \lambda \sum_m c_m \phi_m \] °¡ Á÷±³±Ô°ÝÈ µÇ¾î ÀÖ´Ù´Â °ÍÀ» ÀÌ¿ëÇϸé, \[ 1 = \langle \psi_n| \psi_n \rangle = 1 + \lambda (c^*_n + c_n) \] ÀÌ µÈ´Ù. µû¶ó¼ $c_n$Àº Çã¼öÀ̾î¾ß ÇÑ´Ù. $c_n = i \delta$·Î µÎ¾î ´Ù½Ã Á¤¸®Çϸé \[ \psi_n = (1+ i \lambda\delta) \phi_n + \lambda \sum_{m\neq n} \frac{\langle m | H_i | n \rangle}{E^{(0)}_n - E^{(0)}_m} \phi_m \] ÀÌ°í, ¾çº¯¿¡ $(1- i \lambda\delta)$¸¦ °öÇϸé \[ (1- i \lambda\delta) \psi_n = \phi_n + (1- i \lambda\delta) \lambda \sum_{m\neq n} \frac{\langle m | H_i| n \rangle}{E^{(0)}_n - E^{(0)}_m} \phi_m \] ÀÌ µÈ´Ù. ÀÌ °è»ê°úÁ¤¿¡¼µµ $\lambda$ÀÇ 1Â÷Ç׸¸ ¹Ý¿µÇÏ¿´´Ù. ÀÌ ½ÄÀÇ $(1- i \lambda\delta) \psi_n$¸¦ $\psi_n$À¸·Î ÃàôÀ» ¹Ù²Ù´Â °ÍÀº ¹®Á¦°¡ ¾ø°í, ¶ÇÇÑ ¿À¸¥ÂÊ Ç׿¡¼µµ $\lambda$ÀÇ 1Â÷Ç׸¸ ¹Ý¿µÇϸé ÃÖÁ¾ÀûÀ¸·Î ´ÙÀ½ °ü°è¸¦ ¾òÀ» ¼ö ÀÖ´Ù. \[ \begin{equation} \label{eq19} {\large\boxed{ \psi_n = \phi_n + \sum_{m\neq n} \frac{\langle m | H_I | n \rangle}{E^{(0)}_n - E^{(0)}_m} \phi_m }} \end{equation} \]
À§¿Í °°Àº ¼·µ¿Ç®ÀÌ´Â $E^{(0)}_n - E^{(0)}_{m} = 0$ÀÎ $m$ÀÌ Çϳª¶óµµ ÀÖÀ¸¸é ¼º¸³µÇÁö ¾Ê´Â´Ù. ÀÌ °æ¿ì \eqref{eq16}°ú \eqref{eq19} ½Ä¿¡¼ ºÐ¸ð°¡ 0ÀÌ µÇ±â ¶§¹®ÀÌ´Ù. Áï, $n$ »óÅ°¡ ÃàÅð°¡ ÀÖ´Â °æ¿ì¿¡´Â ´Ù¸¥ Ç®ÀÌ°¡ ÇÊ¿äÇÏ°Ô µÈ´Ù. ¾Æ¿ï·¯ Á¾Á¾ \eqref{eq14}¿¡¼ ¼·µ¿ÀÇ ±â¿©°¡ 0 ÀÌ µÇ´Â °æ¿ìµµ ÀÖ´Â µ¥ À̶§¿¡´Â 2Â÷ ¼·µ¿ÀÌ ÇÊ¿äÇϸç \eqref{eq9}¸¦ ´õ Àü°³ÇØ¾ß ÇÑ´Ù. ´ÙÀ½¿¡ 2Â÷ ¼·µ¿ÀÇ ¿¡³ÊÁö °ü°è¸¸ Á¤¸®ÇÑ´Ù. \[ \begin{equation} \label{eq20} {\large \boxed{ E = E^{(0)}_n + \langle n | H_I | n \rangle + \sum_{m\neq n} \frac{|\langle m | H_I | n \rangle|^2}{E^{(0)}_n - E^{(0)}_m} }} \end{equation} \]
[Áú¹®1]
±æÀÌ $L$ÀÎ 1Â÷¿ø »óÀÚÀÇ ¾çÀÚ»óÅ·κÎÅÍ »óÀÚÀÇ Áß¾ÓÁ¡ ¿À¸¥ÂÊ¿¡ $\lambda$·Î ÀÏÁ¤ÇÑ ÆÛÅÙ¼ÈÀÌ ÁÖ¾îÁø °æ¿ì¿¡ ´ëÇØ 1Â÷ ¼·µ¿À» °è»êÇ϶ó.
[Áú¹®2] Á¶ÈÁøµ¿ÀÚ¿¡ $\lambda x^3$ÀÌ ´õÇØÁø °æ¿ì¿¡ ´ëÇØ 1Â÷ ¼·µ¿À¸·Î ¿¡³ÊÁö ÁØÀ§ÀÇ À̵¿À» °è»êÇ϶ó. ¶ÇÇÑ $\lambda x^4$ÀÌ ´õÇØÁø °æ¿ì¿¡ ´ëÇؼµµ °°Àº °è»êÀ» ¼öÇàÇ϶ó. °¢°¢ÀÇ »óÅ¿¡ ´ëÇØ 1Â÷ ¼·µ¿ÀÌ 0À̶ó¸é 2Â÷ ¼·µ¿À» ±¸ÇØ¾ß ÇÑ´Ù.
[Áú¹®3]
\eqref{eq20} ½ÄÀ» Áõ¸íÇ϶ó. (ÈùÆ®) \eqref{eq9} ½Ä¿¡ ¿ª½Ã $\phi^*_m$¸¦ °öÇؼ ÀûºÐÇÏ¿© $E^{(2)}_n$¸¦ ±¸ÇÑ´Ù.
[Áú¹®4]
$\omega$ÀÇ °íÀ¯Áøµ¿¼ö¸¦ °¡Áø Á¶ÈÁøµ¿ÀÚ¿¡ $\lambda x^2$ÀÌ ´õÇØÁø °æ¿ìµµ ¿ª½Ã °íÀ¯Áøµ¿¼ö°¡ ´Þ¶óÁø Á¶ÈÁøµ¿Àڷμ ÀÌÀÇ ¿ÏÀüÇÑ ÇØ´Â °è»êµÈ´Ù. À̸¦ 2Â÷ ¼·µ¿À̷бîÁö °è»êÇؼ ¿ÏÀüÇÑ ÇØ¿Í ºñ±³Ç϶ó.
_ ¿¡³ÊÁö ÁØÀ§_ Á¶ÈÁøµ¿ÀÚ_ °íÀ¯Áøµ¿¼ö_ Æĵ¿ÇÔ¼ö_ °íÀ¯ÇÔ¼ö_ °íÀµ°ª_ ÃàÅð_ ¾çÀÚ
|