섭동이론

시간독립 섭동이론

잘 알려진 계에서 약간의 요동이 있는 계에대해 해석한다.

잘 알려진 양자계에서 퍼텐셜에 약간의 변화가 주어지는 것을 섭동이라 한다. 섭동이 걸린 새로운 계는 일반적으로 해석적으로 풀이가 안되는 경우가 많으므로 섭동이 없는 계의 해를 바탕으로 해석하는 데, 이를 섭동법(perturbation method)이라 한다.

다음과 같이 어떤 계의 해밀토니안이 잘 알려진 $H_0$에 약간의 섭동 퍼텐셜이 걸려 있는 경우를 생각하자. $$\begin{equation} \label{eq1} H=H_0 + H_I = H_0 + \lambda H_i. \end{equation}$$ 여기서 $H_I = \lambda H_i$는 섭동 퍼텐셜로 $\lambda$가 작은 값이어서 이의 영향은 미미하고, 또한 시간에 따라 변하지 않는다고 하자. $H_0$에 대한 고유상태가 $\{\phi_1, \phi_2, \cdots, \phi_n, \cdots \}$이고 각각에 대한 에너지 고윳값은 $\{E^{(0)}_1, E^{(0)}_2, \cdots, E^{(0)}_n, \cdots \}$이라고 하면 $$H_0 \phi_n = E^{(0)}_n \phi_n$$ 이다.

이제 $\eqref{eq1}$에 대한 고유함수가 $\psi$라 한다면, $$\begin{equation} \label{eq3} H(\lambda) \psi = E(\lambda) \psi \end{equation}$$ 이고, $\psi$ 역시 $\lambda$의 함수이다. 따라서 다음과 같이 $E$와 $\psi$모두를 $\lambda$의 급수로 전개할 수 있다고 보자. $$E(\lambda) = E^{(0)} + \lambda E^{(1)}+ \lambda^2 E^{(2)} + \cdots = \sum_{q=0}^\infty \lambda^q E^{(q)}$$ $$\psi(\lambda) = \psi^{(0)} + \lambda \psi^{(1)}+ \lambda^2 \psi^{(2)} + \cdots = \sum_{q=0}^\infty \lambda^q \psi^{(q)}$$ 이를 $\eqref{eq3}$에 대입하여 $\lambda$의 차수별로 정리하도록 한다. $$(H_0 + \lambda H_i) (\psi^{(0)} + \lambda \psi^{(1)}+ \lambda^2 \psi^{(2)} + \cdots) = (E^{(0)} + \lambda E^{(1)}+ \lambda^2 E^{(2)} + \cdots)(\psi^{(0)} + \lambda \psi^{(1)}+ \lambda^2 \psi^{(2)} + \cdots)$$ 에서 $\lambda$의 $0$차 항은, $$H_0 \psi^{(0)} = E^{(0)}\psi^{(0)}$$ 으로 $\psi^{(0)}$은 섭동이 없는 여러 해 중에 하나라는 것을 뜻한다. 이를 $\phi_n$으로 두면 $E^{(0)}=E^{(0)}_n$이 되고 이 상태로부터 약간 변동된 상태가 계산될 것이다. 이제부터 $n$ 번째 상태에서 약간의 변동이 가해진 $\psi$를 $\psi_n$으로와 $E^{(q)}$를 $E^{(q)}_n$으로 표기하자. $\lambda$의 $1$차, $2$차 항들에 대해 차례로 정리하면, $$\begin{equation} \label{eq8} (H_0 - E^{(0)}_n) \psi_n^{(1)} + (H_i - E^{(1)}_n) \phi_n = 0 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \label{eq9} (H_0 - E^{(0)}_n) \psi_n^{(2)} + (H_i - E^{(1)}_n) \psi_n^{(1)} - E^{(2)}_n \phi_n = 0 \end{equation}$$ 이다. 만일 1차 섭동, 즉 $\lambda$에 대한 1차까지만 고려한다면 $\eqref{eq8}$ 식을 풀이해야 한다. 이 경우 $$\psi_n^{(1)} = \sum_m c_m \phi_m$$ 처럼 $\{\phi_m\}$의 조합으로 두자. $\eqref{eq8}$ 식은, $$H_0 \sum_m c_m \phi_m + H_i \phi_n= E^{(0)}_n \sum_m c_m \phi_m + E^{(1)}_n \phi_n$$ 이다. 여기서 양변에 $\phi^*_m$을 곱해서 전공간에 대해 적분하면, $$\begin{equation} \label{eq11} c_m E^{(0)}_m + \int \phi^*_m(x) H_i\phi_n (x) dx = c_m E^{(0)}_n + E^{(1)}_n \delta_{nm} \end{equation}$$ 여기서 $$\langle m | H_i | n \rangle = \int \phi^*_m(x) H_i \phi_n (x) dx$$ 으로 표현하자. $\eqref{eq11}$ 식에서 $m=n$인 경우에는 $$c_n E^{(0)}_n + \langle n | H_i | n \rangle = c_n E^{(0)}_n + E^{(1)}_n$$ 이 되어, $E^{(1)}_n = \langle n | H_i | n \rangle$이다. 따라서 $n$ 상태에 대한 1차 섭동에서의 에너지 고윳값은 $$\begin{equation} \label{eq14} {\large \boxed{ E = E^{(0)}_n + \lambda \langle n | H_i | n \rangle = E^{(0)}_n + \langle n | H_I | n \rangle }} \end{equation}$$ 으로 오직 에너지 고윳값만 관심이 있다면 이것으로 끝이다. 그러나 변경된 상태를 계산하기 위해서는 $c_m$을 모두 알아야 하는 데 이를 위해 $\eqref{eq11}$ 식에서 $m\neq n$인 경우를 정리한다. $$c_m E^{(0)}_m + \langle m | H_i | n \rangle = c_m E^{(0)}_n$$ 으로 $$\begin{equation} \label{eq16} c_m = \frac{\langle m | H_i | n \rangle}{E^{(0)}_n - E^{(0)}_m} \end{equation}$$ 이다. 이제 $c_n$을 고려하자. $\lambda$에 대해 1차항까지 고려하고, 파동함수 $$\psi_n = \phi_n + \lambda \sum_m c_m \phi_m$$ 가 직교규격화 되어 있다는 것을 이용하면, $$1 = \langle \psi_n| \psi_n \rangle = 1 + \lambda (c^*_n + c_n)$$ 이 된다. 따라서 $c_n$은 허수이어야 한다. $c_n = i \delta$로 두어 다시 정리하면 $$\psi_n = (1+ i \lambda\delta) \phi_n + \lambda \sum_{m\neq n} \frac{\langle m | H_i | n \rangle}{E^{(0)}_n - E^{(0)}_m} \phi_m$$ 이고, 양변에 $(1- i \lambda\delta)$를 곱하면 $$(1- i \lambda\delta) \psi_n = \phi_n + (1- i \lambda\delta) \lambda \sum_{m\neq n} \frac{\langle m | H_i| n \rangle}{E^{(0)}_n - E^{(0)}_m} \phi_m$$ 이 된다. 이 계산과정에서도 $\lambda$의 1차항만 반영하였다. 이 식의 $(1- i \lambda\delta) \psi_n$를 $\psi_n$으로 축척을 바꾸는 것은 문제가 없고, 또한 오른쪽 항에서도 $\lambda$의 1차항만 반영하면 최종적으로 다음 관계를 얻을 수 있다. $$\begin{equation} \label{eq19} {\large\boxed{ \psi_n = \phi_n + \sum_{m\neq n} \frac{\langle m | H_I | n \rangle}{E^{(0)}_n - E^{(0)}_m} \phi_m }} \end{equation}$$

위와 같은 섭동풀이는 $E^{(0)}_n - E^{(0)}_{m} = 0$인 $m$이 하나라도 있으면 성립되지 않는다. 이 경우 $\eqref{eq16}$과 $\eqref{eq19}$ 식에서 분모가 0이 되기 때문이다. 즉, $n$ 상태가 축퇴가 있는 경우에는 다른 풀이가 필요하게 된다. 아울러 종종 $\eqref{eq14}$에서 섭동의 기여가 0 이 되는 경우도 있는 데 이때에는 2차 섭동이 필요하며 $\eqref{eq9}$를 더 전개해야 한다. 다음에 2차 섭동의 에너지 관계만 정리한다. $$\begin{equation} \label{eq20} {\large \boxed{ E = E^{(0)}_n + \langle n | H_I | n \rangle + \sum_{m\neq n} \frac{|\langle m | H_I | n \rangle|^2}{E^{(0)}_n - E^{(0)}_m} }} \end{equation}$$

[질문1] 길이 $L$인 1차원 상자의 양자상태로부터 상자의 중앙점 오른쪽에 $\lambda$로 일정한 퍼텐셜이 주어진 경우에 대해 1차 섭동을 계산하라.

[질문2] 조화진동자에 $\lambda x^3$이 더해진 경우에 대해 1차 섭동으로 에너지 준위의 이동을 계산하라. 또한 $\lambda x^4$이 더해진 경우에 대해서도 같은 계산을 수행하라. 각각의 상태에 대해 1차 섭동이 0이라면 2차 섭동을 구해야 한다.

[질문3] $\eqref{eq20}$ 식을 증명하라. (힌트) $\eqref{eq9}$ 식에 역시 $\phi^*_m$를 곱해서 적분하여 $E^{(2)}_n$를 구한다.

[질문4] $\omega$의 고유진동수를 가진 조화진동자에 $\lambda x^2$이 더해진 경우도 역시 고유진동수가 달라진 조화진동자로서 이의 완전한 해는 계산된다. 이를 2차 섭동이론까지 계산해서 완전한 해와 비교하라.

_ 에너지 준위_ 조화진동자_ 고유진동수_ 파동함수_ 고유함수_ 고윳값_ 축퇴_ 양자