Á¶È­Áøµ¿ÀÚÀÇ ¾çÀÚ·Ð


Á¶È­Áøµ¿ÀÚÀÇ ¾çÀÚ·Ð

'Á¤»ó»óÅÂ'¿¡¼­ ´Ù·é ÀÔÀÚ´Â ÆÛÅټȿ¡³ÊÁö°¡ °è´ÜÇüÀ» ÇÏ°í ÀÖ¾ú´Ù. ¾î¶² ¿µ¿ª¿¡¼­ ÆÛÅټȿ¡³ÊÁö°¡ ÀÏÁ¤ÇÑ °ªÀ» °¡Áö°í ÀÖÀ¸¹Ç·Î ¿¡³ÊÁö°¡ À̺¸´Ù ³ôÀº °æ¿ì¿¡´Â ÆÄÀåÀÌ ÀÏÁ¤ÇÑ »çÀÎ ÇÔ¼öÇüÅÂÀÌ°í, ³·Àº °æ¿ì¿¡´Â ´Ü¼øÇÑ Áö¼öÇÔ¼öÀÇ ÇüŸ¦ º¸¿´´Ù.

sim

Á¶È­Áøµ¿ÀÚ_ ¿ë¼öö¿¡ ¸Å´Þ¸° ¹°Ã¼ÀÇ °íÀü¿ªÇÐÀû ¿îµ¿À» º¸¿©ÁØ´Ù. °øÀº $x=-A\sim A$ »çÀÌ·Î Á¶È­¿îµ¿À» ÇÏ°Ô µÇ¸ç ¾à°£ÀÇ °¨¼è·Â ¶§¹®¿¡ ÁøÆøÀÌ Á¶±Ý¾¿ ÁÙ¾îµç´Ù. ÆĶõ °øÀ» ¸¶¿ì½º·Î Áý¾î¼­ À̵¿½ÃÄѼ­ ÁøÆøÀ» ´Þ¸® ÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù.

¿©±â¼­ ´Ù·ç´Â Á¶È­Áøµ¿ÀÚÀÇ °æ¿ì´Â ÆÛÅټȿ¡³ÊÁö°¡ À§Ä¡¿¡ ´ëÇØ 2Â÷ÇÔ¼ö·Î ÁÖ¾îÁ®¼­ Áö±Ý±îÁöÀÇ º¸´Ù´Â ´Ù¼Ò º¹ÀâÇÏ°Ô Ç®À̵ȴÙ. ±×·¯³ª Á¶È­Áøµ¿ÀÚ´Â ¿ë¼öö¿¡ ¸Å´Þ¸° °íÀüÀûÀÎ ¹°Ã¼ÀÇ ¹®Á¦ÀÏ »Ó¸¸ ¾Æ´Ï¶ó ´Ù¸¥ ºÐ¾ß¿¡¼­µµ ³Î¸® Àû¿ëµÇ´Â Áß¿äÇÑ °³³äÀÌ´Ù. ¿¹¸¦ µé¾î ºÐÀÚ¸¦ Çü¼ºÇÏ´Â ¿øÀÚ°£ÀÇ ÈûÀ̳ª °íüÀÇ ¿­ÀûÀÎ ¼ºÁú, ÀüÀÚ±âÆÄÀÇ Áøµ¿ µî ÆòÇü»óÅ¿¡¼­ÀÇ ¹Ì¼ÒÁøµ¿ÇÏ´Â ¹°¸®°è¿¡ ³Î¸® Á¶È­Áøµ¿ÀÌ ±êµé¿© ÀÖ´Ù. ÀÌ·¯ÇÑ °è¸¦ ÃÑüÀûÀ¸·Î Á¶È­Áøµ¿ÀÚ(harmonic oscillator)¶ó°í ÇÏ´Â °ÍÀÌ´Ù.

¿ë¼öö¿¡ ¸Å´Þ¸° ¹°Ã¼ÀÇ ¿îµ¿¿¡ ´ëÇؼ­´Â 'Á¶È­Áøµ¿' Àý¿¡¼­ ´Ù·ç¾ú´Ù. ¾çÀÚ¿ªÇп¡¼­´Â ÈûÀÇ °³³äÀÌ ¾øÀÌ ¿ÀÁ÷ ¹°Ã¼°¡ ´À³¢´Â ÆÛÅټȿ¡³ÊÁö·Î ¹°Ã¼ÀÇ ÇൿÀÌ °áÁ¤µÈ´Ù. Á¶È­·ÂÀÇ ÆÛÅټȿ¡³ÊÁö´Â \[ U(x) = \frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \] ¿©±â¼­ $\omega=\sqrt{k/m}$À¸·Î ¹°Ã¼ÀÇ °íÀ¯Áøµ¿¼öÀÌ´Ù. ÀÌÁ¦ ½Ã°£¿¡ ÀÇÁ¸ÇÏÁö ¾Ê´Â ½´·Úµù°Å ¹æÁ¤½Ä¿¡ Àû¿ëÇϸé, \[ - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \psi(x) = E\psi(x) \]

ÀÌ ¹®Á¦¸¦ ´ÙÀ½ÀÇ Â÷¿øÀÌ ¾ø´Â ¾çÀ» µµÀÔÇÏ¿© Áú·®À̳ª Áøµ¿¼ö¿¡ ¹«°üÇÑ ÇüÅ·ΠǥÇöÇغ¸ÀÚ. \[ y = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x \] \[ \alpha = \frac{2}{\hbar \omega} E \] À» ¿ø ¹æÁ¤½Ä¿¡ Àû¿ëÇÏ¿© Á¤¸®ÇÏ¸é ´ÙÀ½°ú °°ÀÌ °£°áÇÑ ÇüÅ·ΠǥÇöµÈ´Ù. \[ \frac{d^2 \psi(y)}{dy^2} + (\alpha - y^2) \psi(y) = 0 \]

ÀÌ ¹æÁ¤½ÄÀÇ $y^2 \rightarrow \infty$ÀÇ ±ØÇÑ¿¡¼­´Â $\alpha$ÀÌ ¹«½ÃµÇ¹Ç·Î ÇØ°¡ Á¡±ÙÀûÀÎ ÇൿÀÌ ½±°Ô ÆľǵȴÙ. Áï, \[ \lim_{y^2\rightarrow \infty} \psi(y) ~ \sim ~ e^{-y^2/2} \] µû¶ó¼­ \[ \psi(y) = h(y) e^{-y^2/2} \] ÀÇ ÇüÅ·ΠµÎ¾î $h(y)$¿¡ ´ëÇÑ ¹æÁ¤½ÄÀ¸·Î À籸¼ºÇϸé, \[ \frac{d^2 h(y)}{dy^2} - 2y \frac{dh(y)}{dy} + (\alpha - 1) h(y) =0 \]

$y^2 \rightarrow \infty$ ¿¡¼­ $e^{y^2/2}$º¸´Ù ´À¸®°Ô ¹ß»êÇϱâ À§ÇÑ Á¶°ÇÀ» ºÎ°úÇÏ¸é ´ÙÀ½ÀÇ Á¶°ÇÀÌ ÃæÁ·ÇØ¾ß ÇÑ´Ù. \[ \alpha = 2n+1, \quad n = 0, 1, 2, 3, \cdots \] ÀÌ Á¶°Ç¿¡¼­ ¹æÁ¤½ÄÀÇ ÇØ´Â ÁøÀÛ¿¡ Àß ¾Ë·ÁÁ® ÀÖ´Â ¿¡¸£¹ÌÆ® ´ÙÇ×½Ä $H_n(y)$ÀÌ µÈ´Ù. ÀÌÁ¦ Á¶È­Áøµ¿ÀÚÀÇ Æĵ¿ÇÔ¼ö¸¦ ±Ô°ÝÈ­ µÈ ÇüÅ·Π$y$ÀÇ ÇÔ¼ö·Î Ç¥ÇöÇÏ¸é ´ÙÀ½°ú °°´Ù. \[ \psi(y) =\left( \frac{m\omega}{\pi\hbar} \right)^{\frac{1}{4}} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}}H_n(y) e^{-y^2/2} \]

graph

¿¡¸£¹ÌÆ® ´ÙÇ×½Ä_ $n=0 \sim 7$±îÁöÀÇ ¿¡¸£¹ÌÆ® ´ÙÇ×½ÄÀ» $x=-3 \sim 3$ÀÇ ¹üÀ§¿¡¼­ º¸¿©ÁØ´Ù. ¿À¸¥ÂÊ ¾Æ·¡ÀÇ ½½¶óÀÌ´õ·Î $n$°ªÀ» º¯°æÇؼ­ ºÎ°¢½ÃÄÑ º¼ ¼ö ÀÖ´Ù.



[Áú¹®1] ºÐÀÚ¸¦ ÀÌ·ç´Â µÎ ¿øÀÚ »çÀÌ¿¡´Â ±Ù»çÀûÀ¸·Î ´ÙÀ½ÀÇ ¸ð½º ÆÛÅÙ¼ÈÀÌ ÀÛ¿ëÇÑ´Ù. \[ U(x) = D_e \left[1-\exp \left( - \frac{x-x_e}{a} \right) \right]^2 \] ÀÌ ÆÛÅÙ¼ÈÀÇ ÃÖÀú°ªÀ» ÆòÇüÀ§Ä¡·Î ÇÏ¿© ÀÛÀº ¹üÀ§·Î Áøµ¿ÇÏ´Â °æ¿ì´Â À̸¦ Á¶È­Áøµ¿ÀÚ·Î ±Ù»çÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. ÀÌ °æ¿ìÀÇ $\omega$¸¦ ÀÔÀÚÀÇ Áú·® $m$°ú $D_e$, $a$ µîÀ¸·Î ³ªÅ¸³»¾î¶ó.


_ ½´·Úµù°Å ¹æÁ¤½Ä_ ¸ð½º ÆÛÅÙ¼È_ °íÀ¯Áøµ¿¼ö_ Á¶È­Áøµ¿_ ¾çÀÚ¿ªÇÐ_ Æĵ¿ÇÔ¼ö_ ÀüÀÚ±âÆÄ_ Á¤»ó»óÅÂ_ °¨¼è·Â_ ±Ô°ÝÈ­_ ÁøÆø_ °íü



Copyright ¨Ï 1999~ physica.gnu.ac.kr All rights reserved