조화진동자의 양자론

조화진동자의 양자론

'정상상태'에서 다룬 입자는 퍼텐셜에너지가 계단형을 하고 있었다. 어떤 영역에서 퍼텐셜에너지가 일정한 값을 가지고 있으므로 에너지가 이보다 높은 경우에는 파장이 일정한 사인 함수형태이고, 낮은 경우에는 단순한 지수함수의 형태를 보였다.

여기서 다루는 조화진동자의 경우는 퍼텐셜에너지가 위치에 대해 2차함수로 주어져서 지금까지의 보다는 다소 복잡하게 풀이된다. 그러나 조화진동자는 용수철에 매달린 고전적인 물체의 문제일 뿐만 아니라 다른 분야에서도 널리 적용되는 중요한 개념이다. 예를 들어 분자를 형성하는 원자간의 힘이나 고체의 열적인 성질, 전자기파의 진동 등 평형상태에서의 미소진동하는 물리계에 널리 조화진동이 깃들여 있다. 이러한 계를 총체적으로 조화진동자(harmonic oscillator)라고 하는 것이다.

용수철에 매달린 물체의 운동에 대해서는 '조화진동' 절에서 다루었다. 양자역학에서는 힘의 개념이 없이 오직 물체가 느끼는 퍼텐셜에너지로 물체의 행동이 결정된다. 조화력의 퍼텐셜에너지는 $$U(x) = \frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$$ 여기서 $\omega=\sqrt{k/m}$으로 물체의 고유진동수이다. 이제 시간에 의존하지 않는 슈뢰딩거 방정식에 적용하면, $$- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \psi(x) = E\psi(x)$$

이 문제를 다음의 차원이 없는 양을 도입하여 질량이나 진동수에 무관한 형태로 표현해보자. $$y = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x$$ $$\alpha = \frac{2}{\hbar \omega} E$$ 을 원 방정식에 적용하여 정리하면 다음과 같이 간결한 형태로 표현된다. $$\frac{d^2 \psi(y)}{dy^2} + (\alpha - y^2) \psi(y) = 0$$

이 방정식의 $y^2 \rightarrow \infty$의 극한에서는 $\alpha$이 무시되므로 해가 점근적인 행동이 쉽게 파악된다. 즉, $$\lim_{y^2\rightarrow \infty} \psi(y) ~ \sim ~ e^{-y^2/2}$$ 따라서 $$\psi(y) = h(y) e^{-y^2/2}$$ 의 형태로 두어 $h(y)$에 대한 방정식으로 재구성하면, $$\frac{d^2 h(y)}{dy^2} - 2y \frac{dh(y)}{dy} + (\alpha - 1) h(y) =0$$

$y^2 \rightarrow \infty$ 에서 $e^{y^2/2}$보다 느리게 발산하기 위한 조건을 부과하면 다음의 조건이 충족해야 한다. $$\alpha = 2n+1, \quad n = 0, 1, 2, 3, \cdots$$ 이 조건에서 방정식의 해는 진작에 잘 알려져 있는 에르미트 다항식 $H_n(y)$이 된다. 이제 조화진동자의 파동함수를 규격화 된 형태로 $y$의 함수로 표현하면 다음과 같다. $$\psi(y) =\left( \frac{m\omega}{\pi\hbar} \right)^{\frac{1}{4}} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}}H_n(y) e^{-y^2/2}$$

[질문1] 분자를 이루는 두 원자 사이에는 근사적으로 다음의 모스 퍼텐셜이 작용한다. $$U(x) = D_e \left[1-\exp \left( - \frac{x-x_e}{a} \right) \right]^2$$ 이 퍼텐셜의 최저값을 평형위치로 하여 작은 범위로 진동하는 경우는 이를 조화진동자로 근사할 수 있다. 이 경우의 $\omega$를 입자의 질량 $m$과 $D_e$, $a$ 등으로 나타내어라.

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