조화진동자의 양자론

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조화진동자의 양자론

조화진동자의 양자상태

앞서의 결과에서 에너지 고윳값을 원래의 차원을 살려서 다시 표현하면,

$\begin{equation} \label{eq1} E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega \end{equation}$ 이다. 아래 그래프에서 보듯이 에너지의 고윳값이 바닥상태인

$\frac{1}{2}\hbar \omega$ 으로부터

$\hbar \omega$ 의 일정한 간격으로 형성되어 있다. 특히 바닥상태인

$n=0$ 에서도

$\frac{1}{2}\hbar \omega$ 의 에너지를 가져야 한다는 것은 고전역학에서는 있을 수 없는 것으로 이를 영점에너지(zero point energy)라 한다.

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조화진동자와 상자의 에너지 준위_ 왼편 그림은 조화진동자의 에너지 준위이고, 오른쪽은 상자 속 입자의 에너지 준위이다. 조화진동자의 용수철 상수나 상자의 폭은 아래의 슬라이더로 조절 할 수 있다. 슬라이더를 조절해 보면 퍼텐셜에너지의 폭이 좁아질수록 각 준위의 간격이 촘촘해지는 경향이 있는 것을 알 수 있다. 여기서는 임의의 단위계를 이용하였으며, 실제로 입자의 질량에 따라 에너지 준위의 규모도 달라진다.

한편 파동함수를 완전한 형태로 다시 표현하면,

$\begin{equation} \label{eq2} \psi_n(x) = \left( \frac{m\omega}{\pi\hbar} \right)^{\frac{1}{4}} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n \left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right) e^{-\frac{m\omega}{2\hbar} x^2} \end{equation}$ 이다. 다음 그래프는

$n=0 \sim 17$ 까지의 상태를 파동함수, 확률밀도함수 등 다양한 형태로 보여주고 있다.

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조화진동자의 양자상태_조화진동자의 $n=0 \sim 17$ 까지의 양자상태를 다양하게 보여준다. 고전적인 운동을 푸른색의 입자의 운동으로 보여주고 있으며, $x=-A \sim A$ 사이로 조화운동을 하고 있다. 한편 붉은 색조의 채움 그림은 확률밀도함수로서 고전적으로 허용되지 않은 $x=|A|$ 바깥으로 파동함수가 침투해 있는 것을 볼 수 있다. 한편 체크박스에서 "파동함수"를 선택하면 파동함수를, "고전확률밀도함수"를 선택하면 고전적인 운동에 대한 입자를 발견한 확률을 볼 수 있다. 양자수 $n$ 이 커지면 확률밀도함수는 고전적인 경우와 닮아 간다.

위 그림에서 '고전확률밀도함수'를 선택했을 때 표시되는 그래프는 동일한 에너지를 가지고 고전적으로 왕복운동을 하는 입자에 대한 것이다. 이 확률밀도함수는 각 지점에서의 속도에 반비례하여 중심에서 가장자리로 갈수록 확률이 커진다. 양자수를 높이면 양자적인 것과 고전적인 것 사이의 대응관계가 나타난다. 이 경우 양자적인 확률밀도함수는 짧은 거리에서 심하게 변동하여 마루와 골 사이의 간격이 극도로 좁아지나 고전적인 측정에서는 이것의 평균적인 행동만이 검출될 것이다. 이것은 대응원리의 한 예이다.

[질문1] $\eqref{eq2}$ 식으로 주어진 바닥상태의 파동함수를 슈뢰딩거 방정식에 대입해서 해가 되는 것을 검증해 보라. 이로부터 에너지 고윳값 $E$ 을 구하라.

[질문2] $\eqref{eq2}$ 식은 규격화되어 있다. 바닥상태의 파동함수가 규격화되어 있는 것을 검증하라.

[질문3] 조화진동자의 한 해로 $\psi(x) = A x e^{-\alpha x^2/2}~$ 가 있다. 이의 에너지 고윳값은 얼마인가? 또한 규격화 조건에서 $A$ 를 정하라. 단 $\alpha = m\omega/\hbar$ 이다.

[질문4] 위 '조화진동자의 양자상태' 그래프에서 나타낸 '고전확률밀도함수'의 함수 $P_\text{classic}(x)$ 를 구하라. 이것이 그림에서 나타낸 것과 같은 그래프가 되는 것을 확인하라. (힌트: 고전역학으로 입자의 속도를 위치 $x$ 의 함수로 나타내고 이로부터 확률밀도함수를 구할 수 있을 것이다)

[질문5] 고전역학적인 규모의 계로서 용수철에 질량이 10 kg인 물체가 달려 있다. 이의 진동주기가 1s라 하자. 이의 영점에너지는 얼마인가? 만일 물체가 0.05 m 정도의 진폭으로 진동한다면 이의 양자수 $n$ 은 얼마일까? 질문에서 0.05 m '정도'라고 한 이유는 무엇인가?

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