조화진동자의 양자론

조화진동자의 양자상태

앞서의 결과에서 에너지 고윳값을 원래의 차원을 살려서 다시 표현하면, \[ \begin{equation} \label{eq1} E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega \end{equation} \] 이다. 아래 그래프에서 보듯이 에너지의 고윳값이 바닥상태인 $\frac{1}{2}\hbar \omega$으로부터 $\hbar \omega$의 일정한 간격으로 형성되어 있다. 특히 바닥상태인 $n=0$에서도 $\frac{1}{2}\hbar \omega$의 에너지를 가져야 한다는 것은 고전역학에서는 있을 수 없는 것으로 이를 영점에너지(zero point energy)라 한다.

한편 파동함수를 완전한 형태로 다시 표현하면, \[ \begin{equation} \label{eq2} \psi_n(x) = \left( \frac{m\omega}{\pi\hbar} \right)^{\frac{1}{4}} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n \left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right) e^{-\frac{m\omega}{2\hbar} x^2} \end{equation} \] 이다. 다음 그래프는 $n=0 \sim 17$까지의 상태를 파동함수, 확률밀도함수 등 다양한 형태로 보여주고 있다.

위 그림에서 '고전확률밀도함수'를 선택했을 때 표시되는 그래프는 동일한 에너지를 가지고 고전적으로 왕복운동을 하는 입자에 대한 것이다. 이 확률밀도함수는 각 지점에서의 속도에 반비례하여 중심에서 가장자리로 갈수록 확률이 커진다. 양자수를 높이면 양자적인 것과 고전적인 것 사이의 대응관계가 나타난다. 이 경우 양자적인 확률밀도함수는 짧은 거리에서 심하게 변동하여 마루와 골 사이의 간격이 극도로 좁아지나 고전적인 측정에서는 이것의 평균적인 행동만이 검출될 것이다. 이것은 대응원리의 한 예이다.

[질문1] \eqref{eq2} 식으로 주어진 바닥상태의 파동함수를 슈뢰딩거 방정식에 대입해서 해가 되는 것을 검증해 보라. 이로부터 에너지 고윳값 $E$을 구하라.

[질문2] \eqref{eq2} 식은 규격화되어 있다. 바닥상태의 파동함수가 규격화되어 있는 것을 검증하라.

[질문3] 조화진동자의 한 해로 $\psi(x) = A x e^{-\alpha x^2/2}~$가 있다. 이의 에너지 고윳값은 얼마인가? 또한 규격화 조건에서 $A$를 정하라. 단 $\alpha = m\omega/\hbar$이다.

[질문4] 위 '조화진동자의 양자상태' 그래프에서 나타낸 '고전확률밀도함수'의 함수 $P_\text{classic}(x)$를 구하라. 이것이 그림에서 나타낸 것과 같은 그래프가 되는 것을 확인하라. (힌트: 고전역학으로 입자의 속도를 위치 $x$의 함수로 나타내고 이로부터 확률밀도함수를 구할 수 있을 것이다)

[질문5] 고전역학적인 규모의 계로서 용수철에 질량이 10 kg인 물체가 달려 있다. 이의 진동주기가 1s라 하자. 이의 영점에너지는 얼마인가? 만일 물체가 0.05 m 정도의 진폭으로 진동한다면 이의 양자수 $n$은 얼마일까? 질문에서 0.05 m '정도'라고 한 이유는 무엇인가?

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