에너지의 양자화

에너지의 양자화

대응원리

고전이론은 양자이론의 극한이다.

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고전역학과 양자역학 관계_ 양자역학은 고전역학을 포함하고 있다. 즉 양자역학은 에너지가 큰 극한에서 고전역학으로 접근하게 되는 데 이는 플랑크 상수 $h$ 가 0으로 가는 극한에서도 마찬가지이다. 상대론도 고전역학을 포함하고 있는 데, $c$ 가 무한대로 가는 극한에서 상대론이 고전역학으로 접근하는 것으로 이해할 수 있다. 그러나 양자역학이나 상대론은 서로 고전역학을 그 부분집합으로 공유할 뿐 서로 관련되지 않아 각각이 다 미완성이라 할 수 있다. 이 둘을 통합한 이론이 상대론적양자역학이다. (때때로 '고전역학'이라는 용어를 양자역학과 대비해서 말할 때 상대론을 포함하기도 한다)

이전의 이론체계, 즉 고전역학이나 전자기학은 우리의 일상생활에서의 물체의 운동을 완벽하게 잘 기술하고 있다. 예를 들어 태양의 주위를 돌고 있는 행성은 어떤 속도로 운동하든지 거기에 걸맞는 타원궤도를 정확하게 돌게 된다. 이와 마찬가지로 수소원자에서 핵을 돌고 있는 전자는 역시 어떤 궤도든 돌 수 있어야 한다. 고전역학에서 거리에 반비례하는 중심력장에서의 물체에 특정한 궤도를 돌아야 한다는 제한이 전혀 가해지지 않기 때문이다. 거기다가 전자기이론에 의하면 이러한 전자는 전자기파를 방출하면서 빠른 시간에 궤도반경이 줄고 이에 따라 원자는 붕괴해야 한다. 이처럼 조금도 어긋남이 없어보이는 이전의 물리이론체계(고전론)는 새로운 양자화 이론에 의해 수정되어야 한다. 그렇다면 이 새로운 이론을 일상의 규모에 적용하면 고전론으로 귀결되어야 하지 않을까?

특수상대성이론의 경우에도 사정이 비슷하다. 운동하든 하지 않든 관계없이, 위치에도 관계없이 시간이 같이 흘러간다는 고전역학은 사실 틀린 것이지만 우리 일상생활에서는 고전역학이 한치의 오차도 없이 잘 성립하는 것처럼 보인다. 특수상대성이론은 속도에 관계없이 성립하는 이론이라 하더라도 빛의 속도에 비해 상대적으로 훨씬 느린 속도에서는 고전론으로 가야하지 않을까?

1913년에 보어가 원자에 대한 가설을 세웠을 때 그 가설이 가속운동을 하는 전자가 전자기파(빛)를 방출하면서 에너지를 잃어버린다는 고전물리학의 명백한 사실을 부정해야 한다는 데 대하여 고민을 하지 않을 수 없었다. 실제로 전자를 가속운동시켜서 전자기파를 방출하는 것은 이론적으로나 실제적으로 의심의 여지가 없었고, 당시에 이를 이용한 무선전신이 이용되고 있었다. 이러한 점 때문에 보어는 기존에 그런대로 성립하는 이론이 한계에 부딪쳤을 때 새로운 이론이 가져야 할 조건에 대하여 대응원리(correspondence principle)라 부르는 새로운 기준을 제시하였다. 즉, 새로운 이론의 고전적 극한은 바로 고전역학으로 귀결되어야 한다 는 요구이다. 여기서 고전적 극한(classical limit)이라 함은 우리의 일상생활에서 경험하는 정도의 질량, 에너지, 속도 등의 값을 가지는 경우를 말한다. 양자론에서는 $h\to 0$ 이나 양자수 $n\to\infty$ , 상대론에서는 $v/c\to 0$ 의 조건에서 양자론이나 상대론이 고전론으로 가는지를 검증하여 이 이론의 정당성을 확인할 수 있었다. 이러한 요구는 앞으로 새롭게 나타날 다른 이론에서도 그 이론의 정당성을 검증하는 데 쓰이게 될 것이다. 원자의 세계에서 잘 성립하고 있는 양자론이 더 극한에서 벽에 부딪힌다면 또다시 새로운 이론이 필요하게 될 텐데 이 새로운 이론도 원자규모의 극한에서는 양자론으로 귀결되어야 할 것이다.

수소원자의 고전적 극한

보어는 자신의 대응원리를 자신의 가설에 적용하였다. 즉 수소원자의 경우 양자수가 커졌을 때 그 회전운동의 주기가 바로 방출되는 빛의 주기와 같다는 것을 확인함으로서 고전론(classical theory)으로 가는 것을 확인 하였다. 수소원자에서 궤도운동을 하는 전자는 원운동의 주기와 같은 진동수의 전자기파를 발생한다.

ν_{classical} = \frac{v}{2 π r}

$\nu_\text{classical} = \frac{v}{2\pi r}$ 여기서

v

$v$ 는 궤도운동 속력이고

r

$r$ 은 궤도반경이다. 구심력이 정전기력과 같다는 조건으로부터

v

$v$ 와

r

$r$ 이 관련된 식을 이용하여 이를 궤도반경으로 나타내자.

\begin{matrix} (1) & ν_{classical} = \frac{1}{2 π} {(\frac{e^{2}}{4 π ε_{0} m_{e} r^{3}})}^{1 / 2} \end{matrix}

$\begin{equation}\label{eq1} \nu_\text{classical} = \frac{1}{2\pi}\left( \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e r^3} \right)^{1/2} \end{equation}$ 이는 다시 보어의 이론에 의한 수소원자의 진동수와 비교하기 쉽도록 양자수

n

$n$ 으로 나타내면,

ν_{classical} = \frac{m_{e} e^{4}}{4 ε_{0}^{2} h^{3}} \frac{1}{n^{3}} = c R [\frac{2}{n^{3}}]

$\nu_\text{classical} = \frac{m_e e^4}{4\varepsilon_0^2 h^3} \frac{1}{n^3} = cR \left[ \frac{2}{n^3} \right]$ 이다. 이제 이를 앞서의

n_{i} \to n_{f}

$n_i \rightarrow n_f$ 의 전이에서 방출하는 진동수 식

ν = c R [\frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}}]

$\nu = cR \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$ 과 비교해 볼 수 있다. 보어의 대응원리는 양자수가 매우 클 때 고전이론의 결과로 귀결된다는 것이므로

n

$n$ 이 무한대로 가는 극한에서 두 이론이 일치하는지를 비교해 볼 수 있다. 물론

n

$n$ 에서

n - 1

$n-1$ 이나

n - 2

$n-2$ 등

n

$n$ 보다 작은 양자수로 전이하는 모든 것이 가능하지만 단계별로 전이하는 절차를 더 잘 밟는다고 생각하여

n - 1

$n-1$ 으로의 전이를 고전론과 비교해 보도록 하자. 이 경우에 대해 앞 식에서

[\dots]

$[\cdots]$ 를 정리하여

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$ 로 보내면,

\begin{matrix} (2) & [\frac{1}{(n - 1)^{2}} - \frac{1}{n^{2}}] = [\frac{2 n - 1}{(n - 1)^{2} n^{2}}] ⟶ [\frac{2}{n^{3}}] \end{matrix}

$\begin{equation}\label{eq2} \left[ \frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2} \right] = \left[ \frac{2n-1}{(n-1)^2 n^2} \right] ~\longrightarrow ~\left[ \frac{2}{n^3} \right] \end{equation}$ 이다. 여기서

n

$n$ 이 매우 큰 극한에서 양자론의 진동수

ν

$\nu$ 가 고전론의 진동수

ν_{classical}

$\nu_\text{classical}$ 와 일치하는 것을 확인할 수 있다.

이처럼 양자수가 1 줄어드는 경우에 대한 고전적인 극한이 실제로 고전론에서 일어나는 일이므로 양자론에서는 $\Delta n = \pm 1$ 인 전이만 허용된 것처럼 보인다. 여기서 $\Delta n = +1$ 인 경우는 전자기파가 원자의 전자에게 에너지를 제공하는 과정이라서 고전론에서도 있을 수 있기 때문에 $\Delta n = \pm 1$ 제한이 양자론에서도 있어야 할 것으로 생각할 수도 있을 것이다. 그러나 실제로 수소원자의 경우 $\Delta n = \pm 2$ , $\pm 3$ 등에서도 관찰되기 때문에 언제나 양자론의 고전적인 극한이 고전론이 되어야하는 것은 아니다. 보어의 견해에 의하면, 양자론은 고전론의 모든 것을 포함하지만 고전론은 양자론과 별개이며, 양자론으로부터 끌어낼 수 있는 것은 아니다. (반면에 상대론에 대한 고전적 극한은 언제나 고전론이 된다)

[질문1] $n$ 이 클 때의 근사를 나타내는 $\eqref{eq2}$ 식으로부터 $n=2$ 와 $n=100$ , $n=10,000$ 에서의 양자론의 진동수에서 고전적인 진동수는 몇 % 어긋나 있을까?

_ 상대론적양자역학_ 특수상대성이론_ 플랑크 상수_ 전자기파_ 진동수_ 주기_ 보어

보어의 이론의 한계

비록 보어의 이론은 수소원자의 스펙트럼을 잘 설명할 수 있었지만 이것이 설명할 수 없는 여러 실험결과들이 있었다. 예를 들면 전자가 둘 이상인 원자들에 대해서는 전자들 간의 쿨롱 힘을 고려할 수 없었기 때문에 이 이론을 적용하기 곤란할 뿐만 아니라 근사적으로 다룬다고해도 이들 원자의 스펙트럼을 설명할 수 없었다. 수소원자의 경우에도 이 스펙트럼을 자세히 측정하면 하나의 스펙트럼 선이 인접한 선의 쌍으로 되어 있거나 몇 개의 선으로 되어 있는 미세구조를 가진 것을 알 수 있는 데 이것도 설명할 수 없었다. 수소의 각각의 스펙트럼 선은 상대적인 밝기의 차이를 가지고 있는 데 이 또한 이 이론으로는 설명할 수 없었다. 이보다 더 심각한 것은 보어의 가설에 의하면 수소원자에서 $n=1$ 의 상태의 각운동량이 $\frac{h}{2\pi}~$ 로 주어졌으나 실제 실험으로 측정한 이 값은 $0$ 이라는 것이었다.

보어의 이론 중 두 번째 가설, 즉 진동수 가설은 지금도 유효한 것이지만 첫 번째 가설, 즉 정상상태 가설은 그 이유가 분명하지 않은 데다가 앞서 설명한 것처럼 이것의 한계가 드러나게 되어 전혀 새롭거나 보다 일반적인 이론이 요구되었다. 이에 따라 이를 일반화시키려는 여러 시도가 있었으나 11년 후 드브로이에 의해 물질파 이론이 나와서 보어의 첫째 가설을 뒷받침 하였다. 또한 이로부터 이것이 설명하지 못하는 다른 현상에 대해서 일반적으로 적용할 수 있는 새로운 이론체계가 구성될 수 있었다. 물질파 이론으로부터 양자역학이 나오게 되었고, 뉴턴 이후 250년을 버텨온 고전역학은 양자역학과 상대론에 의해 근사이론에 불과한 것이 되었다.

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