에너지의 양자화

수소원자의 에너지 양자화

양자화 - 원자의 에너지는 띄엄띄엄한 값만 가질 수 있다.

보어의 원자모형에서는 궤도와 각운동량, 에너지 등이 띄엄띄엄한 것만 허용된다. 이렇게 물리량이 연속적인 값을 갖지 못하고 특정한 값만을 갖게 되는 것을 양자화(quantized) 되어 있다고 한다. 이러한 보어의 발상은 지금까지의 역학에 대한 개념을 뛰어 넘는 혁명적인 것이었다. 보어는 자신의 가설 1, 즉 정상상태 가설의 보다 근본적인 근거를 제시하지 못했기 때문에 이론에서의 불완전한 면이 많으나, 현대물리학에서 아인슈타인과 더불어 보어를 이 새로운 학문체계의 또다른 창시자로 높이 평가하는 이유는 이러한 사고의 전환이 역시 상대성이론에서의 경우와 마찬가지로 새로운 물리학을 여는 데 크게 기여를 했기 때문이다.

여기서 물질이 양자화되어 있다는 것이 왜 새롭고 혁명적인 발상이란 말일까? 이전의 역학, 즉 뉴턴의 역학에서는 구슬을 굴러 움직이게 할 때 힘을 가하는 정도에 따라서 구슬이 어떤 속도 값이라도 가지게 할 수 있으며, 이에 따라 어떤 에너지 값도 가지게 할 수 있다. 즉 연속적인 에너지 값을 가질 수 있는 것이다. 그러나 수소원자의 전자는 이렇게 연속적인 에너지 값을 갖는 것이 허용되지 않는다. 다른 원자들도 모두 띄엄띄엄한 스펙트럼을 갖고 있기 때문에 수소원자와 사정이 비슷할 것이라고 짐작할 수 있다. 즉 미시세계의 모든 물질들은 그 에너지가 양자화되어 있는 것이다.

러더퍼드 원자모형 같이 원자핵 주위를 전자가 돌고 있을 때, 이 회전운동의 각운동량은 전자의 [질량($m_e$) x 속력($v$)]의 운동량에다가 회전 반경($r$)을 곱한 값이다. 정상상태 가설에 의하면 이 값이 다음과 같이 주어진다. \[ m_evr = n \frac{h}{2\pi} \] 여기서의 $n$은 1, 2, 3, 4 등의 자연수이다. 이 식은 앞에서 (구심력=정전기력) 으로 적었던 식 \[ \frac{m_e v^2}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2} \] 과 조합하면 궤도반경 $r$이 제한되는 것을 알 수 있다. 즉 두 식을 모두 만족하는 $r$ 을 구해보면 \[ r_n = \frac{n^2 h^2 \varepsilon_0}{\pi m_e e^2} = 5.292 \times 10^{-11} n^2 ~\mathrm{m} \] 이로부터 임의의 궤도가 허용되지 않고 띄엄띄엄한 궤도만 허용됨을 알 수 있다. 여기서 $n=1$일 때의 반경 $a_0 = 5.292 \times 10^{-11}\mathrm{m} = 0.05292 ~\mathrm{nm}$를 보어 반지름(Bohr radius)이라 하여 원자의 규모를 적절하게 나타내는 단위로도 쓴다.

위의 각 궤도반경에 대응되는 에너지 역시 띄엄띄엄한 값을 가져서 수소원자의 에너지는 다음과 같이 된다. \[ \begin{equation} \label{eq1} E_n = - \frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2} \frac{1}{n^2} = -\frac{13.6}{n^2}~\mathrm{eV} \end{equation} \] 여기서 $\mathrm{eV}$는 $1\mathrm{eV}=1.602\times 10^{-19}~\mathrm{J}$로 원자 수준의 에너지를 표현하기에 적합한 매우 작은 에너지 단위이다. $n$ 값이 자연수이므로 이 값이 에너지가 양자화된 순서를 나타내기도 하여 양자수(quantum number)라고 한다.

[질문1] 수소원자의 바닥상태에서의 전자의 공전주기와 궤도운동 속력을 구하라.

[질문2] 전자는 실제의 질량이 아니라 환산질량으로 계산해야 한다. 전자의 질량과 수소의 원자핵(양성자)의 질량을 이용해서 환산질량을 계산하라. 또한 이 결과를 \eqref{eq1} 식에 적용해서 13.6eV 부분을 소숫점 이하 4자리까지 정교하게 계산하라.

[질문3] 포지트로늄(positronium)은 양전자와 전자로 이루어진 일종의 원자으로 수소원자에서 핵이 양전자로 대치된 것으로 이해할 수 있다. 양전자는 전하가 $+e$이고, 전자는 $-e$로 질량은 같다. 이의 결합상태의 에너지 준위를 \eqref{eq1} 식처럼 표현하라.

[질문4] $n=3$ 상태에 있는 수소원자에서 전자를 떼어내는 데 필요한 에너지는 얼마인가? eV의 단위로 답하라.

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수소원자의 스펙트럼

보어의 이론은 수소원자의 스펙트럼을 완벽하게 해석한다.

수소원자에서 허용된 전자의 에너지는 맨 밑에서부터 -13.6, -3.40, -1.51, -0.85, -0.54, -0.38, ... , 0 [eV] 등이다. 이들을 에너지 준위(energy level)라 하고, 전자가 이들 준위 중에서 한 준위에 있게 되는 데, 보통상태의 수소원자는 제일 아래의 준위에 전자가 머무르고 있어 이를 바닥상태(ground state)라고 한다. 한편 전자가 적절한 에너지를 받게 되면 바닥상태보다 더 높은 준위로 올라가게 되는 데 이를 들뜬다라고 하고, 이렇게 된 상태를 들뜬상태(excited state)라고 한다.

계에 허용된 상태사이를 넘나드는 것을 전이(transition)라 하는 데 이때에는 주로 빛, 즉 광자가 잉여 에너지를 뺏어가거나 부족한 에너지를 공급한다. 높은 상태 낮은 상태로 전이하는 경우에는 그 차이의 에너지를 가진 광자가 방출되고, 반대의 경우는 광자가 흡수된다.

위 그림은 전자가 낮은 상태로 전이하면서 빛을 내는 것을 보여준다. 만일 $n=3$에서 $n=2$로 전이한다면 그 에너지 차이인 1.89 eV에 해당하는, 즉 4.58 x 10¹⁴ Hz의 진동수, 656 nm 파장을 갖는 붉은 빛의 광자를 방출하게 된다. 한편 빛의 파장이 780 nm 보다 크게 되거나 370 nm 보다 작으면 우리 눈으로 볼 수 없어 각각 적외선, 자외선이라 한다. $n=2$로 전이하는 경우에는 우리 눈으로 보이는 가시광선이 되어 이 스펙트럼을 발견한 사람의 이름을 따서 발머 계열(Balmer series)이라 한다.

전자의 양자수가 $n_i$에서 $n_f$로 줄어들 때 방출되는 빛의 진동수는 다음과 같은 관계를 가진다. \[ h \nu = E_{n_i} - E_{n_f} = \frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2} \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right] \] 따라서 \[ \begin{equation} \label{eq2} \frac{1}{\lambda} = \frac{\nu}{c} = \frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^3 c} \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right] = R \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right] \end{equation} \] 이 되고, 여기서 \[ \begin{equation} \label{eq3} R = \frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^3 c} \end{equation} \] 이 바로 뤼드베리 상수로, 과거에 발머, 라이만, 파센 등에 의해 관측되었던 결과와 완벽하게 일치하는 것을 알 수 있다. ('원자 스펙트럼' 단원 참조)

[질문1] \eqref{eq3} 식으로 나타낸 뤼드베리 상수는 식에서 주어진 것처럼 전자의 질량 $m_e$를 이용한다. 이는 핵의 질량을 무한히 크다고 보는 경우로 이를 $R_\infty$로 나타낸다. 한편 실제의 수소원자에서는 환산질량을 이용하므로 $R_\text{H}$로 나타낸다. $R_\infty$와 $R_\text{H}$를 지금 현재 알려진 상수들을 이용하여 소숫점 이하 6자리까지 정교하게 계산해 보라.

[질문2] 뤼드베리 상수와 관련해서 뤼드베리 에너지 단위(Rydberg unit of energy)를 쓰기도 한다. 이는 $\text{Ry}$로 표기하고, \[ 1 ~\text{Ry} = hc R_\infty \] 으로 정의한다. 이 값이 13.605 693 eV인 것을 확인하라.

[질문3] 뮤온원자(muonic atom)는 원자의 전자가 뮤온으로 대치된 일종의 원자이다. 뮤온은 전하는 전자와 같이 $-e$이나 질량은 전자보다 약 207배 무겁다. 수소원자에서의 전자가 뮤온으로 대치된 뮤온원자에서 방출될 수 있는 가장 에너지가 큰 광자의 에너지는 몇 eV인가? 단 이 경우도 보어의 이론이 성립된다고 가정한다.

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