정상상태의 수치해석

다음은 앞에서 설명한 기법으로 다양하게 주어지는 퍼텐셜에서의 정상상태를 구하는 프로그램이다.

exp

1차원의 여러 퍼텐셜의 정상상태의 수치해석_ 약 ±1 nm 의 범위에서 여러 가지 퍼텐셜에 대한 양자역학의 정상상태를 수치해석으로 풀이하여 그 결과를 보여주는 프로그램이다. 에너지 고윳값과 퍼텐셜 형태를 그래프로 보여주며, 선택에 따라 확률밀도함수, 파동함수를 각 고유에너지를 기준선으로 하여 그려준다. 프로그램이 처음 실행될 때에는 퍼텐셜이 조화진동자로 선택된 결과가 스무 번째의 준위까지 나타나며, '퍼텐셜유형선택'의 콤보박스로 퍼텐셜을 바꿀 수 있다. 각각의 퍼텐셜의 몇 가지 파라미터는 화면 아래 왼쪽의 슬라이더로 변경할 수 있으며, 각각을 변경하면 즉각 두 번째 준위까지 계산하여 화면에 반영한다. 오른쪽의 '고차모드 계산' 버튼을 누르면 선택된 조건에 대해 스무 번째 준위까지 계산한 결과를 나타내는 데 이때에는 약간의 시간이 소요된다.

프로그램 설명

1. 이 프로그램은 -5 ~ 5 단위길이를 701개의 격자로 나누었다. 화면에 표시한 길이의 단위는 앞서 '단위의 고려'에서 설명한 것처럼 1 단위길이를 0.195 nm 로 환산해서 이를 nm로 나타낸 것이다.

2. 에너지는 눈금을 나타내지 않았으나 고유 에너지의 값을 준위 순서에 따라 다른 색으로 표현하여 알아볼 수 있다. 에너지의 기본 단위는 역시 앞에서 설명한 것처럼 1 eV로 대응시켰다.

3. 수치해석에서 대칭성이 있는 퍼텐셜은 이를 고려하여 효율성을 기했고, 슈뢰딩거 방정식의 풀이는 Numerov 법을, 고유에너지를 정교하게 찾는 최적화 과정에서 symplectic 기법을 사용하였다.

4. 퍼텐셜의 가장자리에서는 파동함수를 강제로 0 으로 두는 경계조건을 설정하였다. 따라서 무한 퍼텐셜 장벽이 설치되어 있는 것으로 생각할 수 있어 '퍼텐셜유형선택'으로 선택한 퍼텐셜이 제한된 영역에서만 존재한다. 그러므로 파동함수가 가장자리까지 미치는 경우의 에너지 고윳값은 심하게 왜곡된다.

5. "확률함수보기"나 "파동함수보기"를 선택하면 각각의 확률함수는 채움 그래프로, 파동함수는 실선으로 각각 색을 달리하여 보여준다. 이때 두 함수는 규격화시킨 것이 아닌, 최댓값이 일정하도록 표현하였다.

6. "고차모드 계산"은 스무 번째까지를 계산하여 약간의 계산 시간이 소요된다.

7. "조화진동자"를 선택한 경우 슬라이더로 변경할 수 있는 것은 $\omega$의 값이다. 이 함수의 형태를 $U(x)$로 같이 나타내었는 데 이의 표시 형식은 여기서 사용하는 단위계에서이다. 즉 $m=1/2$를 이용하므로 퍼텐셜이 $U(x) = 1/4 \omega^2 x^2$이 되고, 이때 이론적인 에너지 고윳값은 $E_n = (n+1/2) \omega$이다.

8. "퍼텐셜 우물"이나 "주기적인 퍼텐셜"은 퍼텐셜의 기준선이 위에 있으며, 이 두 경우의 고차 준위는 0 보다 높은 에너지로 되는 경우가 있다. 이때에도 에너지 고윳값이 띄엄띄엄하게 주어지는 것은 바로 가장자리에 무한한 퍼텐셜 장벽이 있기 때문이다. 이것이 없다면 에너지는 연속 스펙트럼을 가질 것이다.

9. "주기적인 퍼텐셜"이나 "W형 퍼텐셜"은 퍼텐셜에 4개, 혹은 2개의 골이 있어 낮은 에너지 준위는 거의 축퇴되어 나타나므로 그래프가 겹쳐져서 표시된다. '파동함수보기'를 선택하면 두 상태가 서로 다른 것이라는 것과 이들의 반전성이 다르게 주어진다는 것을 알아볼 수 있을 것이다.

10. "유사수소 원자'는 원점에서의 거리에 반비례하는 퍼텐셜에너지로 속박된 전자에 대한 것이나 여기서는 1차원으로 3차원의 실제 수소원자에 비하여 바닥상태가 훨씬 더 낮은 값으로 설정된다. 이때 원자번호 $Z$는 중심에서의 전하단위를 말한다.

11. "모스 퍼텐셜'(Morse potential)은 다음 식으로 표현되는 퍼텐셜로 폭은 $a$, 깊이는 $D_e$, 중심점은 $x_e$이다. 여기서는 중심점을 원점으로 하였고, 폭과 깊이를 적절한 범위에서 변화시킬 수 있다. \[ U(x) = D_e \left[1-\exp \left( - \frac{x-x_e}{a} \right) \right]^2 \]

12. "데이터복사" 버튼을 누르면 지금 현재 조건에서 계산된 파동함수를 클립보드에 복사한다. 이를 엑셀(Excel) 등 계산표 프로그램에 복사해서 여러 방법으로 데이터를 분석할 수 있다.

관찰 사항

1. 선택할 수 있는 퍼텐셜의 형태 중에서 조화진동자만이 해석적으로 잘 풀리는 경우이다. $\omega$를 다르게 선택하여 각각에 대해 고유에너지, 파동함수의 모양을 측정해 보자. 이 결과를 이론적인 결과인 '조화진동자의 양자상태'와 비교해 보자. 특히 고차 모드에서나 $\omega$가 작아서 파동함수가 가장자리까지 미치는 경우 오차가 많이 나오는 것을 알 수 있을 것이다. 그 이유와 이를 극복하기 위한 방안을 생각해 보자.

2. "퍼텐셜 우물"의 실험에서는 그 폭과 깊이에 따라 고유에너지가 달라지는 경향을 잘 살펴볼 수 있다. 그 관련성을 잘 정리해 보자. 특히 깊어지면서 좁아지면 갇힌 상태가 하나 밖에 있지 못하는 상황도 생긴다. 해석적인 풀이에서 속박상태가 $n$개 존재하는 조건은 다음과 같다. \[ (n-1)\pi \lt \sqrt{U_0 a^2} \lt n\pi \] 이 조건중에서 특히 $n=1$인 조건이 잘 성립하는지를 여러 조합의 반경 $a$와 깊이 $U_0$를 선택하여 검증해 보자.

3. "V형 퍼텐셜", "$x^4$ 퍼텐셜"은 역학에서 비조화진동을 하는 경우이다. 이들과 조화진동자의 결과를 비교해 보자. 이를 통해 퍼텐셜의 차수에 따라 양자상태에 어떻게 달라지는지 추측해 보자.

4. "주기적인 퍼텐셜"에서는 5개의 동일한 퍼텐셜우물이 같은 간격으로 배치된다. 이는 결정의 에너지 준위가 부분적으로 연속인 띠를 이룬다는 것을 설명하는 데 이용된다. 고차 모드를 살펴보아 어떤 특성을 가지고 에너지 스펙트럼이 배열되는지 알아보자. 그리고 이 결과와 하나만 있는 퍼텐셜의 경우와 서로 비교해 보자.

5. "W형 퍼텐셜"은 두 개의 오목한 우물이 있고, 둘 사이의 거리에 따라 축퇴된 경우가 나타난다. 각각의 파동함수를 살펴보고 이들의 파동함수가 가진 특성을 알아보자. 그리고 우물 사이의 거리에따라 이 축퇴가 깨어지기도 한다. 깨어지는 조건은 무엇일까?

6. "모스 퍼텐셜"은 공유결합으로 결합된 두 원자가 느끼는 퍼텐셜과 유사하다. 분자의 진동에너지를 조화진동자로 분석하기도 하나 모스 퍼텐셜이 보다 더 실제에 가깝다. 이 결과와 조화진동자의 결과를 서로 비교해 보자.