진동에너지

용수철의 에너지

용수철에 매달려 있는 물체를 평형상태에서 벗어나게 하면 각 지점에서 받는 복원력이 오직 위치에만 관련되어 있으며, 또한 그 힘이 보존력장이 되므로 퍼텐셜에너지를 도입하여 일-에너지 정리나 에너지 보존법칙으로부터 운동을 보다 쉽게 이해할 수 있다.

조화력의 퍼텐셜에너지는 다음과 같이 구할 수 있다. \[ U(x) = - \int_{0}^x F(x)dx = \int_{0}^x k x dx =\frac{1}{2} kx^2 \] 이 계산에서 $x=0$ 지점을 퍼텐셜에너지의 기준점으로 삼아 $U(0)=0$으로 놓았다.

한편 이 용수철에 매달린채로 다른 힘을 받지 않는 물체의 역학적 에너지는 다음과 같이 운동에너지와 퍼텐셜에너지의 합으로 놓을 수 있다. \[ E = K+U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 \] 에너지를 소모하게 되는 감쇠력이나 마찰이 작용하지 않고 오직 용수철의 복원력만 작용한다면 이 계는 보존계이므로 이 역학적 에너지가 보존되어야 한다. 따라서 입자의 위치 $x(t)$와 속도 $v(t)$가 시시각각으로 변하더라도 이들로부터 계산된 $E$는 일정하게 유지되어야 한다. 한편 $E$가 주어진 경우 $x(t)$나 $v(t)$의 한 값으로부터 다른 한 값을 구할 수도 있을 것이다.

단조화진동은 $x(t)$이 명확하게 풀려있으므로 이로부터 역학적에너지를 구할 수 있다. 물체가 진폭 $A$, 각진동수 $\omega=\sqrt{k/m}$ 의 단조화진동을 하게 되는 경우 이 에너지는 물체의 위치함수로부터 다음과 같이 에너지가 계산된다. \[ x(t) = A \sin (\omega t +\phi) \] \[ v(t) = A\omega\cos (\omega t + \phi) \] \[ a(t) = -A\omega^2 \sin (\omega t + \phi) \] $\omega=\sqrt{k/m}$을 이용하여 물체의 운동에너지를 계산해 보면, \[ E = \frac{1}{2} m \left( \sqrt{\frac{k}{m}} \right)^2 A^2 \cos^2 (\omega t + \phi) + \frac{1}{2}kA^2 \sin^2 (\omega t + \phi) = \frac{1}{2} kA^2 \] 운동에너지의 최댓값과 퍼텐셜에너지의 최댓값은 다 같이 $\frac{1}{2}kA^2$이고, 시간에 따라 이 에너지를 서로 주고 받아서 둘을 합한 역학적 에너지는 $\frac{1}{2}kA^2$으로 변하지 않는다. 여기서 특기할 만한 것은 진동이 가지고 있는 총 에너지는 $A^2$에 비례하는 것으로 이는 진동계의 일반적인 특성이 된다.

[질문1] 질량 10 kg인 물체가 용수철 상수 k = 20 N/m인 용수철에 매달려 있다. 이 물체를 평형위치에서 x = 10 cm 당겨서 t = 0 일 때 놓았다. 이 물체의 최대속력, 최대 가속도를 구하라. 또한 이 물체의 역학적 에너지는 얼마인가?

[질문2] 단조화진동 하는 물체가 진폭의 절반을 통과하고 있다. 이때의 전체에너지에 대한 운동에너지, 퍼텐셜에너지에 대한 비는 각각 얼마인가?

_ 조화진동_ 각진동수_ 감쇠력_ 복원력_ 진폭