정상상태의 수치해석

3차원 중심력장의 문제

3차원 중심력장의 문제는 1차원의 문제로 환원할 수 있다.

오직 두 물체만 있고, 이 두 물체가 서로를 연결하는 방향으로 힘을 미치는 경우의 역학적인 상황은 중심력장에서의 한 물체의 운동의 문제, 즉 1체문제가 된다. 이때 한 물체를 중심에 고정시키고, 다른 한 물체는 환산질량을 가진 것으로 한다. 그리고 중심을 원점으로 하는 좌표계에서 보면 각운동량이 보존된다. 이 각운동량의 크기가 $L$로 주어진 경우 운동은 오직 동경성분 $r$에 대한 문제로 환원되어 1차원처럼 취급할 수 있다.

이러한 상황은 양자역학에서도 마찬가지이다. 즉, 파동함수의 $\theta, \phi$의 성분은 $r$에만 의존하는 중심력장의 퍼텐셜과 관계 없어서 각운동량이 $L=\sqrt{l(l+1)}$로 양자화 되어 있는 풀이가 가능해지고, 이제 남은 문제는 다음의 동경성분의 1차원 문제로 역시 환원된다. (이는 '수소원자의 슈뢰딩거 방정식'에서 다루었다. 또한 여기서도 간편을 기하여 $m=\frac{1}{2}$, $\hbar = 1$의 단위로 나타내자) \[ \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}\left( r^2 \frac{dR}{dr} \right) = \left[ U(r) + \frac{l(l+1)}{r^2} -E \right] R \] 여기서 다음과 같은 함수를 도입하자. \[ \psi(r) = rR(r) \]

이제 $\psi(r)$이 만족하는 방정식은 \[ \psi''(r) = \left[U(r) + \frac{l(l+1)}{r^2} - E \right] \psi(r) = v(r) \psi(r) \] 로 1차원의 경우와 같은 형태로 된다. 차이가 있다면 여기서의 $\psi(r)$은 단지 $r \gt 0$에서만 정의되고, 또한 $\psi(0)=0$이라는 점이다. 그리고 퍼텐셜은 다음의 유효퍼텐셜로 바뀐다. \[ U^* (r) = U(r) + \frac{l(l+1)}{r^2} \] 따라서 이러한 차이만 고려하여 1차원의 수치해석의 방식을 그대로 적용할 수 있다.

_ 수소원자의 슈뢰딩거 방정식_ 유효퍼텐셜_ 환산질량_ 파동함수_ 양자역학_ 양자화

3차원 조화진동자

용수철에 물체가 매달려서 원점을 평형위치로 하여 사방으로 움직일 수 있는 것이 3차원의 조화진동자이다. 결정의 격자점에 있는 원자가 느끼는 힘이 이와 유사하며, 이의 퍼텐셜은 다음과 같이 표현된다. \[ U(r) = \frac{1}{2} m \omega^2 r^2 \]

이 문제는 파동함수를 직교좌표계에서 표현하여 $x, y, z$로 변수분리하면 세 개의 1차원 조화진동자의 문제가 된다. 따라서 1차원의 결과를 그대로 활용할 수 있고, 각 좌표에 해당하는 고유에너지는 다음과 같다. \[ E_x = (n_x + \frac{1}{2})\hbar \omega, \quad E_y = (n_y + \frac{1}{2})\hbar \omega, \quad E_z = (n_z + \frac{1}{2})\hbar \omega \]

전체 에너지는 \[ E = (n_x + n_y +n_z + \frac{3}{2})\hbar \omega \] 이고, 고유함수는 각 좌표에 대한 고유함수를 곱하면 된다.

이 뿐이라면 별로 흥미를 끌만한 것이 없으나 조화진동자의 퍼텐셜이 중심력장이므로 앞에서 설명했던 대로 구면좌표로도 변수분리가 되어 다르게도 풀린다. 실은 조화진동자의 퍼텐셜이 직교좌표계와 구면좌표계 모두에 변수분리가 되는 유일한 예이다. 이의 해석적인 풀이는 생략하고 결과만 나타내면, \[ R_{n_r l}(r) = C \left( \frac{r}{\sigma_0} \right)^{l} \exp \left( - \frac{r^2}{2\sigma_0^2} \right) L_{n_r}^{l+1/2} \left( \frac{r^2}{2\sigma_0^2} \right) \] 여기서 $L_{n_r}^{l+1/2}$은 수소원자에서도 나오는 라게르 연관다항식이고, $\sigma_0^2 = \frac{\hbar}{m\omega}$이다. 또한 양자수 $n_r = 0, 1, 2, ...$이다. 한편 에너지 고윳값은 \[ E_n = (n + \frac{3}{2} ) \hbar \omega \quad \text{where} \quad n = 2n_r + l \] 이다. 따라서 앞서 $n_x, n_y, n_z$의 세 양자수의 조합에 의해 표시되던 에너지는 이제 $n_r, l$의 조합으로 표시된다. 실은 양자수 $m_l$가 있는 데 이는 수소원자에서와 마찬가지로 에너지와 관련이 없어 여기서 나타나지 않았다.

[질문1] 3차원 조화진동자를 직교좌표계와 구면좌표계에서 다룰 때 나타나는 축퇴 상황을 전개해 보고, 두 양자수 사이의 관련성을 찾아보라.

[질문2] 수소원자가 이와 같은 조화진동자의 퍼텐셜로 되어 있다면 원자의 주기율표가 어떻게 바뀔지 예상해 보라.

[질문3] 이와 비슷한 방법으로 2차원의 조화진동자에 대한 풀이를 시도해 보라.

_ 라게르 연관다항식_ 결정_ 구면좌표계_ 조화진동자_ 주기율표_ 고유함수_ 파동함수_ 양자수_ 고윳값_ 축퇴_ 격자