정상상태의 수치해석

다음은 수소원자와 같은 정전퍼텐셜, 3차원의 조화진동자, 딱딱한 구형퍼텐셜 등의 경우에 대해 수치해석한 결과를 다양하게 보여주는 프로그램이다.

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3차원 중심력장의 정상상태 수치해석_ 몇 가지 형태의 중심력이 작용하는 3차원의 양자역학적 정상상태를 수치해석으로 풀이하여 그 결과를 보여주는 프로그램이다. 에너지 고윳값과 퍼텐셜 형태를 그래프로 보여주며, 선택에 따라 확률밀도함수, 파동함수를 각 고유에너지를 기준선으로 하여 그려준다. 각운동량이나 퍼텐셜의 파라미터는 슬라이더로 조절 할 수 있으며, 함수형이나 파라미터를 변경하면 즉각 두 번째 준위까지 계산하여 화면에 반영한다. 오른쪽 아래의 '고차모드 계산' 버튼을 누르면 선택된 조건에 대해 열 번째 준위까지 계산한 결과를 나타낸다.

프로그램 설명

1. 이 프로그램은 0 ~ 20 단위길이를 501개의 격자로 나누었다. 화면에 표시한 길이의 단위는 1 단위길이를 0.195 nm 로 환산해서 nm로 나타낸 것이다. 화면영역은 이 중에서 원점으로부터 10 단위길이, 즉 1.95 nm까지만 나타내었다. 여기서의 수치해석의 기법 등은 앞에서 다룬 1차원의 것과 거의 같다.

2. 굵은 회색조로 나타낸 퍼텐셜은 각운동량 항을 포함한 유효퍼텐셜 $U^*$이다. 그리고 파동함수와 확률함수는 $\psi(r)$와 $|\psi(r)|^2$이다. $R(r)$은 $\psi(r)$을 $r$로 나누면 된다. 또한 모두 최댓값을 일정하게 하여 표시하였으며, 세로축인 에너지의 축척은 에너지 고윳값이 잘 표시될 수 있도록 자동으로 맞추어진다. 따라서 경우에 따라 퍼텐셜 그래프가 제대로 표시되지 않는 경우가 있다.

3. 퍼텐셜을 20 단위길이에서 무한 장벽이 있는 경계조건을 설정하였다. 그러나 화면의 표시 영역 밖이어서 나타나 있지 않다.

4. '유사 수소원자'의 경우, 슬라이더에 원자번호 Z=1 인 경우는 수소원자의 퍼텐셜과 같으며, Z 값이 커지면 핵의 양전하가 이를 단위로 하여 증가한다. 단, 여기서는 소수값을 가질 수 있도록 하였다.

5. '3차원 조화진동자'의 경우 각진동수 $\omega$를 표시하였고, 실제의 퍼텐셜은 $U=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2$인 데 $m=\frac{1}{2}$의 단위계를 사용하므로 $U=\frac{1}{4}\omega^2 x^2$의 형태를 가진다.

6. '구형 껍질 퍼텐셜'은 퍼텐셜의 전모가 그림에 잘 나타나는 데 슬라이더로 깊이와 반경을 조절할 수 있다.

7. '유사 중간자'는 거의 수소와 비슷하면서 퍼텐셜에 $e^{-r/R}$의 인자가 곱해져 있으며, 여기서의 $R$을 특성거리로 표시하여 나타내었다. 따라서 원점에 가까운 경우에는 수소원자과 비슷하나 거리가 멀어짐에 따라 수소보다 더 빨리 0 으로 수렴한다. 이는 중간자에 의한 핵이 받는 퍼텐셜과 유사하여 중간자 퍼텐셜이라 한다.

8. '유사 알파입자'는 정전기적인 반발력을 가지고 있으나 가까운 거리에서는 퍼텐셜 우물을 가지고 있는 상황이다. 이는 알파입자가 핵 속에서 느끼는 퍼텐셜과 비슷하다.

9. 유효퍼텐셜은 원점에서 특이점을 가진다. 따라서 이를 피하기 위해 원점 부근에서 적절한 값을 주었다. 이 때문에 특히 수소원자의 바닥상태를 비롯해서 각 고유에너지가 약간 높게 계산된다.

10. '데이터복사' 버튼을 누르면 지금 현재 조건에서 계산된 파동함수를 클립보드에 복사한다. 이를 엑셀(Excel) 등 계산표 프로그램에 복사해서 여러 방법으로 데이터를 분석할 수 있다.

관찰 사항

1. '유사 수소원자'는 약 $n=5$까지는 이론의 결과와 비슷한 값을 준다. 각각의 $l$값에 대해 고유에너지를 찾고 이를 잘 배열해서 $n$가 $l$의 양자수에 의존하는 형태를 알아보자. 여기서의 양자수 $n$은 수소원자의 주양자수 $n$과는 다르다. 어떤 관계가 있을까?

2. '3차원 조화진동자'는 고유에너지가 거의 이론치와 일치하는 값을 준다. 앞에서 이론적으로 다루었던 결과와 비교해 보자.

3. '구형껍질 퍼텐셜'은 핵에서 핵자가 느끼는 퍼텐셜의 간편 모형이다. 특히 깊이를 깊게, 반경을 작게 하면 딱딱한 구 속에 들어 있는 양자상태로서 해석적으로 잘 풀리는 문제로 귀결된다. 이러한 조건에서 고유상태를 관찰하여 이의 특성을 생각해 보자. 또한 이론적인 결과를 조사하여 여기서의 측정 결과와 비교해 보자. (이에 대해서는 '핵물리' 단원의 '페르미 기체모형' 절에서 다루고 있다)

4. '유사 중간자'는 유가와(Yukawa)에 의해 규명된 핵력의 형태와 같은 모양이다 여기서 입자를 전자 대신에 중간자로 기준을 삼고, 에너지를 MeV정도로 잡을 때 위 그래프의 규모(scale)이 어떻게 달라져야 할까? 실제 중간자 이론을 조사하여 그상황에 맞게 위 결과를 해석해 보자.