핵모형

페르미 기체모형

핵의 핵자는 도체의 자유전자와 비슷하게 존재한다.

핵은 이들을 구성하는 핵자들이 근접한 거리에서 매우 크게 작용하는 핵력으로 서로 뭉쳐 있는 것이다. 이때 내부의 핵자는 주변의 다른 핵자에 의한 힘이 서로 상쇄되어 비교적 자유롭게 움직이지만 바깥의 핵자는 내부로 향하는 힘만이 있기 때문에 그 핵을 벗어나기가 매우 힘들다. 이는 마치 금속의 자유전자가 금속에서 자유롭게, 그러나 오직 금속 내부에 갇혀 있는 양상과 비슷하다. 페르미 기체모형은 이러한 관점으로 핵의 결합을 이해한다.

이제 핵 속의 한 핵자를 고려하자. 이 핵자는 핵의 가장자리에서 핵력이 미치지 못하는 거리만큼 벗어나면 힘을 느끼지 못한다. 핵에서 먼 곳으로 퍼텐셜에너지의 기준을 삼으면 핵 내부에서는 퍼텐셜은 음으로 일정한 값을 가질 것이다. 이는 바로 3차원의 퍼텐셜 우물이다. 우물의 범위는 구의 내부로서 반경은 핵의 물리적인 반경보다 약간 크다. 다음 그림은 중심을 가로지르는 위치에 따른 퍼텐셜의 그래프이다.

핵 속의 양성자나 중성자의 양자상태는 슈뢰딩거 방정식으로 알아낼 수 있지만 불확정성원리로도 그 상태의 수를 대강 계산할 수 있다. 핵은 상온에서 거의 완전히 바닥상태에 놓여 있기 때문에 낮은 에너지 준위로부터 한 준위에 두 개의 양성자나 중성자가 차곡차곡 쌓여 있게 된다. 위 그림에서 보듯이 마지막에 자리하는 입자의 에너지가 페르미 준위가 되어 핵의 결합에너지를 추정할 수 있다. 이처럼 핵자를 페르미 기체로 다루는 것을 페르미 기체모형(Fermi gas model)이라 한다. ('양자통계' 단원의 '자유전자 기체'에서 다룬 금속의 자유전자와 상황이 같다. 단 온도에 의한 영향은 eV 정도이므로 핵의 경우는 0 K로 보면 된다)

퍼텐셜 깊이나 페르미 에너지는 중성자나 양성자 수에 거의 무관하다.

불확정성원리에 의해 위상공간에서 한 상태가 차지하는 부피는 \[ V_1 = h^3 \] 정도이다. 최대 운동량 $p_F$까지에 놓인 전체 상태수는 다음과 같이 실공간과 운동량공간의 곱으로 표현되는 전체 위상공간의 체적에 $V_1$을 나눈 값이다. \[ \begin{equation} \label{eq1} n_F = 2 \frac{1}{h^3} \left( \frac{4\pi}{3} R^3 \right) \left( \frac{4\pi}{3} p_F^3 \right) \end{equation} \] 여기서 $R$는 핵의 반경이고 2를 곱한 것은 양성자나 중성자가 스핀이 1/2인 페르미온으로 각 상태에 서로 다른 스핀을 가진 두 개가 올 수 있기 때문이다. 그리고 핵의 반경이 $A$에 의존하므로 \[ n_F = \frac{4}{9\pi} A \left( \frac{r_0 p_F}{\hbar} \right)^3 \] 으로 핵자의 반경 $r_0$로 표현된다.

이제 간편하게 나타내기 위해서 $Z=N=A/2$를 이용하고, 또한 $n_F$가 바로 $Z$나 $N$이라는 것을 이용하면 \[ p_F = \frac{\hbar}{r_0} \left( \frac{9\pi}{8} \right)^{1/3} \] 으로 핵종에 상관없이 일정한 값을 가지는 것을 알 수 있다. 이로부터 페르미 에너지 $E_F$를 계산하면 역시 일정한 값을 가진다. \[ E_F = \frac{p^2_F}{2m} = \frac{1}{2m} \left( \frac{\hbar}{r_0} \right)^2 \left( \frac{9\pi}{8} \right)^{2/3} \approx 33 ~\mathrm{MeV} \] 한편 핵종에 관계없이 결합에너지 $B$가 대락 7~8 MeV 정도 되므로 퍼텐셜의 깊이 또한 \[ U_0 = E_F + B \approx 40 ~\mathrm{MeV} \] 로 일정한 값을 유지한다는 실제의 관측에 대체로 부합된다.

물방울 모형과 비교 - 중성자가 초과되는 것을 고려한다.

물방울 모형에서 설명한 대로 일반적으로 무거운 핵은 중성자가 양성자보다 초과해서 들어 있다. 이러한 점을 고려해서 $Z=N=A/2$의 근사관계를 쓰지말고 보다 일반적으로 앞서의 계산을 중성자와 양성자 각각에 대해서 계산해 보자. 중성자에 대해서 \[ E^n_F = \frac{1}{2m} \left( \frac{\hbar}{r_0} \right)^2 \left( \frac{9\pi N}{4A} \right)^{2/3} \] 으로 중성자의 수($N$)와 질량수($A$)가 나타나 있다. 양성자의 경우에는 $N$대신 $Z$로 바꾸면 된다. 중성자의 평균 운동에너지는 페르미 에너지의 $\frac{3}{5}$이므로 중성자의 총에너지는 \[ E^n_{\text{kin}} = \frac{3}{5} N E^n_F \] 이제 양성자를 포함한 핵의 전체 운동에너지는 \[ E_ {\text{kin}} = E^n_{\text{kin}} + E^p_{\text{kin}} = \frac{3}{10} \left( \frac{9\pi}{4} \right)^{2/3} \frac{\hbar^2}{mr_0^2} \left[ \frac{N^{5/3}+Z^{5/3}}{A^{2/3}} \right] \] 이다. 여기서 $N$과 $Z$의 차이가 $A$보다 훨씬 작다는 것을 고려하여 마지막 $[\cdots]$을 적절하게 급수전개하면 (질문2) \[ \begin{equation} \label{eq2} E_ {\text{kin}}(N, Z) = \frac{3}{10} \left( \frac{9\pi}{8} \right)^{2/3} \frac{\hbar^2}{mr_0^2} \left[A + \frac{5}{9} \frac{(N-Z)^2}{A} + \cdots \right] \end{equation} \] 이 된다. 이 결과는 앞서의 물방물 모형에서 부피항과 비대칭항을 반영한다. 여기서의 운동에너지 $E_{\text{kin}}$는 한 핵자가 가지고 있는 에너지를 $U_0$ 깊이의 퍼텐셜 바닥을 기준으로 본 에너지다. 물방울 모형에서의 결합에너지는 핵이 형성하는 과정에서 방출되는 에너지를 뜻하므로 핵자가 바깥에서 얼마나 깊이로 들어가는 가를 계산해야 한다. 따라서 결합에너지는 $U_0 A - E_ {\text{kin}}$로 계산되어야 한다. 이렇게 해서 물방울 모형과 여기서의 결과를 비교하더라도 부피항과 비대칭항의 계수가 정확하게 맞지는 않는 데, 페르미 기체모형은 원자핵이 무한히 단단한 용기 속에 기체처럼 있다고 본 것으로 실제의 양성자나 중성자가 느끼는 퍼텐셜과 차이가 있기 때문이다.

중성자별 - 중성자로만 된 거대 핵이다.

페르미 기체모형가 적용되는 다른 예는 중성자별인 데 이름이 말하는 것처럼 이는 오직 중성자만으로 되어 있는 거대한 핵이다. 그러나 핵이 오직 핵력으로 뭉쳐있는 것과 달리 중력도 작용하여 핵의 밀도보다 10배까지의 더 큰 값을 가진다. 이에 대해서는 '양자통계의 응용' 단원의 '중성자별'을 참고하라.

[질문1] 한 상태가 차지하는 위상공간에서의 부피가 $V_1 = h^3$으로 주어지는 것은 불확정성원리와 관련되어 있기는 하지만 정확하게는 무한 퍼텐셜 상자의 양자상태로부터 유도된 것이다. 1차원 상자의 양자상태에 대한 계산으로 이를 확인하라. 아울러 2차원과 3차원의 상자로 확장해서 이것이 일반적으로 성립하는 것을 확인하라. '양자통계의 응용' 단원의 '상자 속의 정상파의 상태밀도' 절을 참고할 수 있다. (핵은 구형으로 되어 있으므로 3차원 상자와는 차이가 있으나 임의의 형태에 갇힌 정상파에 대해 일반적으로 성립한다. )

[질문2] \eqref{eq2} 식이 그 앞 식의 근사식이 되는 것을 보여라. 이때 $2N=A+(N-Z)$와 $2Z=A-(N-Z)$를 이용해서 $N^{5/3}+Z^{5/3}$를 급수전개할 수 있을 것이다.

[질문3] 페르미 기체모형에 대해서는 '양자통계의 응용' 단원에서 엄밀히 다루었다. 이의 '자유전자 기체' 절에서의 (1) 식은 부피 $V$에서의 페르미 에너지 $\varepsilon_F$까지의 자유전자의 수를 나타낸다. 이 식이 여기서의 운동량 $p_F$까지의 핵자의 수를 나타낸 \eqref{eq1} 식과 같다는 것을 보여라.

[질문4] 퍼텐셜 깊이 $U_0$와 $E_F$, $B$ 값이 핵자를 구성하는 핵자의 수가 달라져도 일정하게 유지된다는 것은 핵자의 수가 증가하면 핵자의 양자상태가 점점 더 조밀해진다는 것을 말한다. 이러한 경향을 (1차원) 상자에서의 양자상태에 대한 해석으로 정성적으로 설명하라.

[질문5] 페르미 기체모형은 앞에서의 물방울 모형에서 $E_A$항이 있는 이유가 된다. 이를 보다 구체적으로 설명하라.

[질문6] $U_0 A - E_ {\text{kin}}$의 두 계수를 계산해서 물방물 모형에서의 부피항과 비대칭항의 두 계수와 비교해 보라.

[질문7] 여기서의 페르미 기체모형은 보통의 기체처럼 표면효과를 무시할 수 있는 큰 용기에 갇혀 있는 것으로 해석한다. 반면에 실제의 핵은 크기가 제한되어 있어서 표면의 효과가 어느 정도 기여하게 된다. 이러한 표면의 효과를 고려하면 \eqref{eq1} 식으로 표현한 $p_F$까지의 상태수가 줄어들게 된다. 이를 정성적으로 설명하라. 아울러 이것이 물방물 모형에서 표면항을 반영하는 것을 설명하라.

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