핵의 구조

핵력

핵력은 일시적으로 존재하는 파이온의 방출과 흡수로 생겨난다.

양성자나 중성자를 분간하지 않고 가까운 거리에서 매우 크게 나타나는 핵력의 근원은 무엇일까? 이는 마치 원자들이 공유결합을 하여 분자를 형성하는 원리와 비슷하다. 예를 들어 H₂⁺에서 두 양성자는 전자를 매개로 하여 양성자 사이의 전자기적인 반발력을 극복하고 가까운 거리로 결합된 상태를 유지할 수 있다. 비록 둘 사이에 전자가 역할을 하고 있지만 수소원자핵인 두 양성자는 마치 둘 사이에 인력을 가지고 있는 것처럼 서로 끌리는 힘을 느낀다. 이렇게 겉보기로 나타나는 힘은 원래의 전자기력과 달리 제한된 범위에서 작용하나 가까워지면 다시 배타율에 의해 서로 밀어내는 것이 핵력을 닮았다. 핵자의 경우에는 이렇게 힘을 매개하는 역할을 중간자(meson)라고 하는 새로운 입자가 한다. 지금 알려진 중간자는 매우 많은 종류가 있지만 처음 유카와가 핵력을 설명하기 위해 도입했던 것은 파이온이다.

공유결합에서의 전자와 달리 핵 속에 파이온이 존재하는 것은 아니다. 그렇다면 어떻게 중간자가 힘을 매개할 수 있는 것일까? 이에 대해 완전하게 설명하려면 양자장론이라는 보다 발전된 이론이 필요하지만 여기서는 보통의 양자역학의 원리로 알아본다. 에너지가 보존되어야 하므로 질량 $m$인 입자가 아무것도 없는 데서 생겨날 수 없지만 양자역학적으로는 가능하다. 단 이렇게 생겨난 입자는 매우 제한된 공간에서 짧은 시간 동안 존재할 수 있는 데 이를 가상입자(virtual particle)라 한다. 이 입자는 정지질량에너지를 가지고 있기 때문에 에너지의 불확정도가 적어도 그 정도는 된다. 따라서 에너지-시간 불확정성원리에 의해 이의 수명은 다음의 크기를 가진다. \[ \Delta t \sim \frac{\hbar}{mc^2} \] 만일 이 입자가 빛의 속도로 움직인다 해도 다음 범위내에서는 존재할 수 있다. \[ \begin{equation} \label{eq1} r_c = \frac{\hbar}{mc} \end{equation} \] 이 입자가 질량 $m_\pi$의 파이온이라면 앞서 유카와 퍼텐셜에서의 힘의 범위와 같다.

이를 슈뢰딩거 방정식으로 해석해 보자. $m$인 입자가 퍼텐셜을 받고 있지 않다면 \[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(r) = E \psi(r) \] 을 만족한다. $E$는 입자가 가진 에너지로 실제 입자가 없는 상황이므로 $E=-mc^2$이 되어야 한다. 이는 슈뢰딩거 방정식에서의 $E$가 정지질량에너지를 포함하지 않는 에너지를 뜻하므로 이것이 0 이라 하더라도 $mc^2$의 에너지를 가지므로 입자가 존재하는 것이기 때문이다. 가상입자가 주목하는 한 지점을 중심으로 생성된다고 볼 때 공간적으로 특별한 방향성이 없으므로 구면좌표계를 도입하여 풀이하면 그 결과는 다음과 같다. ( '3차원 중심력장의 문제'에서의 $l=0$의 해에 해당한다) \[ \begin{equation} \label{eq2} \psi(r) = C \frac{e^{-r/r_c}}{r}, ~~r_c = \frac{\hbar}{\sqrt{2}mc} \end{equation} \] 이다. 따라서 이러한 가상입자는 생성지점을 중심으로 $r_c$의 범위에서만 존재하는 것이다. 실제로 입자의 생성소멸은 상대론적인 고려가 필요한 데 이를 이용하면 $r_c$의 인자 $\sqrt{2}$ 가 없어져서 \eqref{eq1} 식과 일치한다.

이렇게 일시적으로 핵자에서 생겨난 파이온은 그것이 존재하는 범위에 다른 핵자가 있다면 이에 흡수되면서 서로를 당기게 한다. 따라서 그 영향, 즉 퍼텐셜은 $\psi(r)$의 함수를 그대로 따라서 제한된 영역에서만 나타날 것으로 이해할 수 있다.

[질문1] 구면좌표계에서 라플라스 연산자의 $r$대한 미분항만 나타내면 다음과 같다. \[ \nabla^2 = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right) + \cdots. \] 이를 이용해서 \eqref{eq2} 식의 파동함수가 슈뢰딩거 방정식의 해가 되는 것을 보여라.

[질문2] 상대론적인 고려로 가상입자의 파동함수 $\psi(r)$를 구할 수 있다. 다음 절차를 이용해서 파동함수가 \eqref{eq2} 식의 형태가 되는 것을 밝히고, 여기서 $r_c$는 \eqref{eq2} 식에서와 달리 \eqref{eq1} 식으로 주어지는 것을 확인하라.
(a) 상대론적 입자의 에너지는 \[ \begin{equation} \label{eq3} E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4} \end{equation} \] 이다.
(b)운동량 연산자 $p^2 = -\hbar^2 \nabla^2$를 이용하여 \eqref{eq3} 식에 대한 파동방정식을 구성하면 \[ \begin{equation} \label{eq4} -\hbar^2 c^2 \nabla^2 \psi(r) + m^2c^4 \psi(r) = E^2 \psi(r) \end{equation} \] 이다. 여기서는 가상입자를 다루므로 $E=0$ 이어야 한다. (이때 \eqref{eq3} 식을 제곱해서 파동함수를 걸어 준다. 이는 '슈뢰딩거 파동방정식' 절에서 슈뢰딩거 방정식을 구성하는 절차와 비슷하다. 이렇게 유도된 \eqref{eq4} 식은 스핀이 없는 상대론적인 입자가 만족하며, 이를 클라인 고든 방정식(Klein-Gordon equation)이라 한다)

_ 에너지-시간 불확정성원리_ 3차원 중심력장의 문제_ 슈뢰딩거 파동방정식_ 슈뢰딩거 방정식_ 라플라스 연산자_ 정지질량에너지_ 구면좌표계_ 양자장론_ 공유결합_ 양자역학_ 파동함수_ 운동량_ 스핀