»ó´ë·ÐÀû ¿ªÇÐ


»ó´ë·ÐÀû ¿îµ¿¿¡³ÊÁö

¾ÆÀν´Å¸ÀÎÀº ¿ì¸®°¡ º¸Åë $K = \frac{1}{2} mu^2$ À¸·Î Ç¥ÇöÇÏ´Â ¿îµ¿¿¡³ÊÁöÀÇ »ó´ë·Ð¿¡ ºÎÇյǴ »ó´ë·ÐÀû ¿îµ¿¿¡³ÊÁö¸¦ ´ÙÀ½ÀÇ ÀýÂ÷¸¦ µû¶ó¼­ ¾òÀ» ¼ö ÀÖ¾ú´Ù.

´ºÅÏ¿ªÇп¡¼­ ¿îµ¿¿¡³ÊÁö´Â ¹°Ã¼¿¡ °¡ÇØÁø ÀÏ¿¡ ÀÇÇØ ¹°Ã¼¿¡ ´õÇØÁø ¼Ó¼ºÀ¸·Î Á¤ÀÇÇÑ´Ù. µû¶ó¼­ ¹°Ã¼¿¡ Èû $F$°¡ °¡ÇØÁö´Â µ¥ µû¶ó¼­ ÇØÁØ ÀÏÀº \[ W = \int_0^s F ds \] ¿©±â¼­ ÆíÀÇ»ó ¹°Ã¼°¡ °ø°£ÀÇ 1Â÷¿øÀ» µû¶ó¼­ ¿îµ¿ÇÏ°í ÀÖ´Ù°í °¡Á¤ÇÑ´Ù. ÇÑÆí ¾Õ¿¡¼­ÀÇ ¿îµ¿Á¦2¹ýÄ¢À» Àû¿ëÇϸé, \[ W = \int_0^s \frac{d(mu)}{dt} ds = \int_0^{mu} \frac{ds}{dt} d(mu) = \int_0^u u d \left( \frac{m_0 u}{\sqrt{1-u^2 / c^2}} \right) \] µû¶ó¼­ ºÎºÐÀûºÐÀ¸·Î À̸¦ ´õ Àü°³Çϸé, \[ \eqalign{ W &= \frac{m_0 u^2}{\sqrt{1-u^2 / c^2}} - m_0 \int_0^u \frac{udu}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \\ &= \frac{m_0 u^2}{\sqrt{1-u^2 / c^2}} + \left[ m_0c^2 \sqrt{1-u^2/c^2} \right]_0^u \\ &= m_0 c^2 \frac{1}{\sqrt{1- u^2/c^2}} - m_0 c^2 } \]

¹°Ã¼¿¡ ÇØ ÁØ ÀÏÀº ±× ¹°Ã¼ÀÇ ¿îµ¿¿¡³ÊÁö¸¦ Áõ°¡½ÃŲ´Ù. ¸¸ÀÏ¿¡ ¹°Ã¼ÀÇ ¼Óµµ°¡ 0 ÀÏ ¶§ÀÇ ¿îµ¿¿¡³ÊÁö¸¦ 0 À¸·Î µÎ°Ô µÈ´Ù¸é À§ÀÇ ÀÏÀº ÀÌ ¹°Ã¼ÀÇ ¿îµ¿¿¡³ÊÁö $K$°¡ µÇ¾î, \[ \begin{equation} \label{eq1} K = \left[ \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{u}{c}\right)^2 }} -1 \right]m_0 c^2 = (\gamma - 1) m_0 c^2 \end{equation} \] ¿©±â¼­ $m_0$´Â ±× ¹°Ã¼ÀÇ Á¤ÁöÁú·®À¸·Î ±× ¹°Ã¼¿Í °°ÀÌ ¿îµ¿ÇÏ´Â ÁÂÇ¥°è¿¡¼­ ÃøÁ¤µÇ´Â, Áï °íÀ¯½Ã°£À̳ª °íÀ¯±æÀÌó·³ ¹°Ã¼ÀÇ º»Á÷ÀûÀÎ Áú·®ÀÌ´Ù. ±×·¯³ª ¿òÁ÷ÀÌ´Â ¹°Ã¼¸¦ Á¤ÁöÇÑ ¿ÜºÎ¿¡¼­ °üÃøÇÏ´Â ÀÔÀå¿¡¼­´Â À§ ½Ä°ú °°Àº ¿îµ¿¿¡³ÊÁö°¡ ÀÖ´Â °ÍÀ¸·Î °üÃøÇÏ°Ô µÈ´Ù. ÀÌ´Â ¹°Ã¼ÀÇ ¼Ó·ÂÀÌ Ä¿Áú¼ö·Ï ±× ¼Ó·ÂÀÇ Á¦°öº¸´Ùµµ ÈξÀ Å« ºñÀ²·Î ¿îµ¿¿¡³ÊÁö°¡ Áõ°¡ÇÏ¿© ºûÀÇ ¼Ó·Â¿¡ À̸£·¯¼­´Â ¿îµ¿¿¡³ÊÁö°¡ ¹«ÇÑÈ÷ Ä¿Áö°Ô µÈ´Ù.

ÀÌ·¯ÇÑ Á¡Àº ¹°Ã¼°¡ ¼Ó·ÂÀÌ Áõ°¡ÇÔ¿¡ µû¶ó Á¡Á¡ ´õ °¡¼ÓµÇ±â°¡ Èûµé¾îÁö±â ¶§¹®¿¡ »ý°Ü³­´Ù. Áú·®Àº ¹°Ã¼°¡ ÀÚ±âÀÇ ¿îµ¿À» Áö¼ÓÇÏ·Á°í ÇÏ´Â Á¤µµ¸¦ ¸»ÇϹǷΠ°¡¼ÓµÇ±â Èûµé¾îÁø´Ù´Â °ÍÀº Áú·®ÀÌ Áõ°¡ÇÏ´Â °ÍÀ» ¸»ÇÑ´Ù.



[Áú¹®1] $u$°¡ $c$¿¡ ºñÇؼ­ ¾ÆÁÖ ÀÛÀ» ¶§ \eqref{eq1}ÀÇ »ó´ë·ÐÀû ¿îµ¿¿¡³ÊÁöÀÇ °ø½ÄÀÌ ´ºÅÏ¿ªÇÐÀÇ ¿îµ¿¿¡³ÊÁö ½ÄÀÎ $\frac12 m_0 u^2$·Î µÇ´Â °ÍÀ» °ËÁõÇ϶ó. $|x| \ll 1$ÀÏ ¶§ $(1+x)^n \approx 1 + nx$À¸·Î ±Ù»ç½ÄÀ» ÀÌ¿ëÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù.

[Áú¹®2] ¿îµ¿¿¡³ÊÁö¸¦ °è»êÇÒ ¶§ ´ºÅÏ¿ªÇÐÀÇ ½Ä $\frac12 m_0 u^2$À» ¾²´õ¶óµµ 1% À̳»ÀÇ ¿ÀÂ÷°¡ ³­´Ù°í ÇÏÀÚ. ÀÌ ±âÁØÀÌ µÇ´Â ¼Óµµ $u$´Â $c$ÀÇ ¸î %À̳» Àϱî?


_ ¿îµ¿Á¦2¹ýÄ¢_ ¾ÆÀν´Å¸ÀÎ_ °íÀ¯±æÀÌ_ °íÀ¯½Ã°£

Áú·®-¿¡³ÊÁö µ¿µî¼º

Áú·®ºÒº¯ÀÇ ¹ýÄ¢Àº È­ÇÐ ¹ÝÀÀ¿¡¼­ ¹ÝÀÀ ÀüÈÄÀÇ Áú·®ÀÌ °°´Ù´Â È­Çп¡¼­ÀÇ ¹ýÄ¢ÀÌ´Ù. ±×·¯³ª »ó´ë¼ºÀÌ·ÐÀÇ ¾ÆÁÖ Áß¿äÇÑ °á°ú·Î Áú·®ÀÌ ¿¡³ÊÁö·Î º¯È¯µÇ±âµµ ÇÏ°í ¶ÇÇÑ ¿¡³ÊÁöµµ Áú·®À¸·Î º¯ÇÒ ¼ö ÀÖ´Â °ü°è¿¡ ÀÖÀ½ÀÌ ¹àÇôÁö°Ô µÇ¾î ÀÌ Áú·®ºÒº¯ÀÇ ¹ýÄ¢ÀÌ ¼º¸³ÇÏÁö ¾Ê°Ô µÇ¾ú´Ù.

¿îµ¿¿¡³ÊÁö ½ÄÀ» »ó´ë·ÐÀû Áú·® $m$ À¸·Î Ç¥ÇöÇÏ¸é ´ÙÀ½°ú °°´Ù. \[ K = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2 = mc^2 - m_0 c^2 \] ÀÌ ½ÄÀº Á¤ÁöÇÑ ¹°Ã¼°¡ ¿îµ¿ÇÏ°Ô µÊ¿¡ µû¶ó Áõ°¡ÇÑ ¿îµ¿¿¡³ÊÁö´Â ±× Áú·®, Áï »ó´ë·ÐÀû Áú·® m ¿¡ Æ÷ÇÔµÇ¾î ¹ö¸®´Â °ÍÀ» ¾Ë ¼ö ÀÖ´Ù. ÇÑÆí À§ ½Ä¿¡¼­ º¸µíÀÌ Áú·®À» ¿¡³ÊÁö·Î º¯È¯ÇÏ´Â µ¥¿¡´Â ºûÀÇ ¼Óµµ cÀÇ Á¦°öÀÌ °öÇØÁ®¼­ º¯È¯µÇ¹Ç·Î ±× ¿¡³ÊÁö´Â ½Ç·Î ¸·´ëÇÑ Å©±â¸¦ °¡Áö°Ô µÈ´Ù. ¶ÇÇÑ ¿îµ¿¿¡³ÊÁö´Â ´Ü¼øÈ÷ ¿îµ¿ÇÏ´Â È¿°ú¿¡ ÀÇÇÑ ºÎºÐ¸¸À» ¸»ÇϹǷΠÀÌ ½ÄÀ» $mc^2=K+m_0c^2$ À¸·Î Ç¥±âÇÏ°í º¸¸é Á¤ÁöÇÏ°í ÀÖ´Â ¹°Ã¼µµ $m_0c^2$ÀÇ ¿¡³ÊÁö¸¦ °¡Áö°í ÀÖ¾î À̸¦ Á¤ÁöÁú·®¿¡³ÊÁö¶ó°í ÇÑ´Ù. ±×¸®°í Àüü ¿¡³ÊÁö´Â ÀÌ Á¤ÁöÁú·®¿¡³ÊÁö¿Í ¿îµ¿¿¡³ÊÁö¸¦ ÇÕÇÑ °ÍÀ¸·Î ³ªÅ¸³»¾î ´ÙÀ½°ú °°ÀÌ Áú·®°ú ¿¡³ÊÁö°¡ µ¿µîÇÏ´Ù´Â °ü°è°¡ ¼º¸³ÇÏ¿© À̸¦ Áú·®-¿¡³ÊÁö µ¿µî¼º(mass-energy equivalence)À̶ó ÇÑ´Ù. \[ \bbox[yellow,5px,border:1px solid red] { E=mc^2 } \]

ÀÌ·¯ÇÑ °ü°è´Â È­ÇйÝÀÀÀ» ºñ·ÔÇÏ¿© ¿øÀÚÇÙ ¹ÝÀÀ µî ¾î¶°ÇÑ ¹ÝÀÀ¿¡¼­µµ ¼º¸³ÇÏ´Â »ç½Ç·Î¼­ ƯÈ÷ ¼Ò¸³ÀÚÀÇ »ý¼º, ¼Ò¸ê µî¿¡¼­ ¿¡³ÊÁö°¡ Áú·®À¸·Î º¯ÇÏ°í, Áú·®ÀÌ ¸ðµÎ ¿¡³ÊÁö·Î ¸ð¾çÀ» ¹Ù²Ù´Â ÀϵéÀÌ °üÂûµÈ´Ù. ¼®ÅºÀ» ¶ª ¶§ ±× ¿¬¼Ò¿¡³ÊÁö°¡ ºûÀ̳ª ¿­ÀÇ ÇüÅ·Π¹æÃâµÈ´Ù. À̶§ ¼®ÅºÀç¿Í ¿¬¼Ò°úÁ¤¿¡¼­ »ý°Ü³ª´Â ÀÌ»êȭź¼Ò µî ¸ðµç ±âüÀÇ Áú·®À» ÇÕÇÏ¸é ¿ø·¡ÀÇ Áú·®¿¡¼­ ÁÙ¾îµç °ÍÀ» °üÃøÇÒ ¼ö ÀÖ´Â µ¥ ÀÌ ÁÙ¾îµç ¾ç¿¡ ÇØ´çÇÏ´Â ¿¡³ÊÁö°¡ ¹æÃâµÈ °ÍÀÌ´Ù. ÀÌ °æ¿ì¿¡ ¾îµð¿¡µµ »ó´ë·ÐÀûÀ¸·Î ¿îµ¿ÇÏ´Â ¹°Ã¼°¡ ¾øÀ¸´Ï »ó´ë·ÐÀÇ È¿°ú°¡ ³¢¾îµé ¿©Áö°¡ ¾ø¾î º¸ÀÌÁö¸¸ ½ÇÁ¦·Î »ó´ë·ÐÀÇ ¿©·¯ Çö»óÀº ¿ì¸®ÀÇ ÀÏ»ó»ýÈ°¿¡¼­µµ ³ªÅ¸³ª´Â ÀÏÀÎ °ÍÀÌ´Ù.

ÇÑÆí ºûÀÇ ¼ÓµµÀÇ Á¦°öÀÌ Áú·®¿¡ °öÇØÁ®¼­ ¿¡³ÊÁö·Î º¯È¯µÇ¹Ç·Î ¿¹¸¦ µé¾î ¼®Åº 1kg ¸ðµÎ°¡ ¿¡³ÊÁö·Î º¯È¯µÈ´Ù¸é ±× ¾çÀº 9 ¡¿1016 Joule·Î¼­ ÀÌ ¿¡³ÊÁö´Â ¹°À» 1000m ³ôÀÌ·Î 9 ¡¿1012 kg, Áï 90¾ï ÅæÀ» ÆÛ ¿Ã¸± ¼ö ÀÖ´Â ¸·´ëÇÑ ¿¡³ÊÁöÀÌ´Ù. (±×·¯³ª ¼Ò¸³ÀÚ ¹°¸®Çп¡¼­ÀÇ ¿©·¯ Á¦ÇÑ¿¡ ÀÇÇÏ¿© ¹°Ã¼ÀÇ Áú·®ÀÌ ÁÙ¾îµå´Â Á¤µµ¿¡ ´ëÇÑ ÇÑ°è´Â ÀÖ´Ù)

¿îµ¿·®°ú ¿¡³ÊÁö´Â ½Ã°£°ú °ø°£ÀÇ Á¶ÇÕ°ú °°ÀÌ 4Â÷¿øÀ» ÀÌ·é´Ù.

ÀÔÀÚ°¡ °í¸³µÇ¾î ÀÖ´Ù¸é ÃÑ¿¡³ÊÁö¿Í ¿îµ¿·®Àº °¢°¢ º¸Á¸µÇ´Â ¾çÀÌ´Ù. µû¶ó¼­ ÀÌµé µÎ ¾ç »çÀÌÀÇ °ü°è¸¦ ¾Ë¾Æº¸´Â °ÍÀÌ ¾µ¸ð°¡ ÀÖ´Ù.

´ºÅÏ¿ªÇÐÀÇ °æ¿ì¶ó¸é ÃÑ¿¡³ÊÁö¿Í ¿îµ¿·®ÀÇ °ü°è´Â $E=\frac{p^2}{2m}$ÀÌ°ÚÁö¸¸ ÀÌÁ¦ Á¤ÁöÁú·®¿¡³ÊÁö°¡ °¡¼¼µÇ¾ú°í, ¶ÇÇÑ ¿îµ¿¿¡³ÊÁöÀÇ Ç×µµ ´Þ¶óÁ®¾ß ÇÑ´Ù. $E$¿Í $p$ÀÇ °ü°è´Â »ó´ë·Ð¿¡¼­ÀÇ À̵éÀÇ Á¤ÀÇ¿¡¼­ ¼Óµµ³ª $\gamma$¸¦ ¼Ò°ÅÇÏ¿© ¾òÀ» ¼ö ÀÖ´Ù. \[ \bbox[yellow,5px,border:1px solid red] { E^2 = m_0^2 c^4 + p^2 c^2 } \] À̸¦ $E^2 - p^2 c^2 = (m_0 c^2)^2$ À¸·Î º¸¾ÒÀ» ¶§ ¿À¸¥Æí Ç×ÀÌ ¸í¹éÈ÷ °íÁ¤µÈ ¾çÀ̹ǷΠ¿ÞÆí Ç×ÀÌ ½Ã°ø°£ 4Â÷¿øÀÇ ºÒº¯·®ÀÌ µÈ´Ù. ¾ÕÀÇ ¿îµ¿·®-¿¡³ÊÁö °ü°è´Â ´ÙÀ½°ú °°ÀÌ Ç¥½ÃÇϱ⵵ ÇÑ´Ù. \[ \boxed{ E = \sqrt{m_0^2 c^4 + p^2 c^2} } \]



[Áú¹®1] ¿ìÁÖ¿¡¼­ Áö±¸·Î ½ñ¾ÆÁö´Â ¹Â¿Â Áß¿¡´Â $0.999c$ÀÇ ¼Óµµ¸¦ °¡Áø °Íµµ ÀÖ´Ù. ÀÌÀÇ »ó´ë·ÐÀû ¿¡³ÊÁö¿Í »ó´ë·ÐÀû ¿îµ¿¿¡³ÊÁö¸¦ ±¸Ç϶ó. À̵éÀº °¢°¢ Á¤ÁöÁú·®¿¡³ÊÁöÀÇ ¸î ¹èÀΰ¡? ´Ü, ¹Â¿ÂÀÇ Á¤ÁöÁú·®Àº $1.884\times 10^{-28}$ kgÀÌ´Ù.

[Áú¹®2] ¾Õ ¹®Á¦¿¡¼­ ¹Â¿ÂÀÇ ¿îµ¿·®$(p)$Àº ¾ó¸¶Àΰ¡? ÀÌ ¹Â¿Â°ú °°ÀÌ ¿òÁ÷ÀÌ´Â ÁÂÇ¥°è¿¡¼­ °üÂûÇÑ ¹Â¿ÂÀÇ »ó´ë·ÐÀû ¿¡³ÊÁö$(E')$¿Í ¿îµ¿·®$(p')$À» °è»êÇؼ­ ´ÙÀ½ÀÌ ¼º¸³ÇÏ´Â °ÍÀ» È®ÀÎÇ϶ó. \[ E^2 - p^2 c^2 = E'^2 - p'^2 c^2 \] ÀÌ°ÍÀº ÁÂÇ¥º¯È¯¿¡¼­µµ º¯ÇÏÁö ¾Ê´Â ºÒº¯·®À» ¸»ÇÑ´Ù. ÀÓÀÇÀÇ ¼Óµµ·Î ÁÂÇ¥°è¿¡¼­µµ ÀÌ °ü°è°¡ ¼º¸³ÇÒ±î?

[Áú¹®3] ÀÔÀÚ°¡ $+x$ ¹æÇâÀ¸·Î $u$·Î ¿îµ¿ÇÑ´Ù. ÀÌÀÇ ¿îµ¿·®ÀÇ $x$ ¼ººÐÀº $p=m_0 u/\sqrt{1-u^2/c^2}$À̸ç, ¿¡³ÊÁö´Â $E=m_0 c^2/\sqrt{1-u^2/c^2}$ÀÌ´Ù. ÀÌ ÀÔÀÚ¸¦ $x$¹æÇâÀ¸·Î ¼Óµµ $v \ll c$·Î ¿òÁ÷ÀÌ´Â $S'$ ÁÂÇ¥°è¿¡¼­ °üÂûÇÑ´Ù. ¼Óµµº¯È¯°ü°è·ÎºÎÅÍ $u'$¸¦ ±¸ÇÏ°í, ¶ÇÇÑ $S'$°è¿¡¼­ º» $p', E'$À» °è»êÇÏ¿© ´ÙÀ½À» À¯µµÇ϶ó. \[ \eqalign{ p' &=& \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} (p-vE/c^2) \\ E' &=& \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} (E-vp) } \] ¿©±â¼­ ÀÔÀÚ´Â $x$Ãà°ú $x'$ ÃàÀ¸·Î ¿òÁ÷ÀÌ°í À־ $p$ÀÇ $y$¿Í $z$ ¼ººÐÀº 0À¸·Î ³ªÅ¸³»Áö ¾Ê¾Ò´Ù. ÀÌÀÇ º¯È¯°ü°è¸¦ ¿îµ¿·®°ú ¿¡³ÊÁö¿¡ ´ëÇÑ ·Î·»Ã÷ º¯È¯À̶ó ÇÑ´Ù. $(p, E/c^2)$ÀÇ µÎ ¼ººÐÀÌ $(x,t)$ÀÇ º¯È¯°ú °°ÀÌ º¯ÇÏ´Â °ÍÀ» º¸¿©¶ó. $p_y$¿Í $p_z$¸¦ Æ÷ÇÔÇϸé À̵éÀº ³× ¼ººÐÀ» °¡Áö¸ç, ÀÌ·¸°Ô $(x,y,z,t)$ÀÇ ·Î·»Ã÷ º¯È¯°ú °°ÀÌ º¯È¯ÇÏ´Â ¹°¸®·®ÀÇ Á¶ÇÕÀ» 4Â÷¿ø º¤ÅÍ(four vector)¶ó ÇÑ´Ù.


_ ·Î·»Ã÷ º¯È¯_ ÁÂÇ¥º¯È¯_ ¿îµ¿·®_ ºÒº¯·®



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