상대론적 역학

상대론적 운동에너지

아인슈타인은 우리가 보통 $K = \frac{1}{2} mu^2$ 으로 표현하는 운동에너지의 상대론에 부합되는 상대론적 운동에너지를 다음의 절차를 따라서 얻을 수 있었다.

뉴턴역학에서 운동에너지는 물체에 가해진 일에 의해 물체에 더해진 속성으로 정의한다. 따라서 물체에 힘 $F$가 가해지는 데 따라서 해준 일은 $$W = \int_0^s F ds$$ 여기서 편의상 물체가 공간의 1차원을 따라서 운동하고 있다고 가정한다. 한편 앞에서의 운동제2법칙을 적용하면, $$W = \int_0^s \frac{d(mu)}{dt} ds = \int_0^{mu} \frac{ds}{dt} d(mu) = \int_0^u u d \left( \frac{m_0 u}{\sqrt{1-u^2 / c^2}} \right)$$ 따라서 부분적분으로 이를 더 전개하면, $$\eqalign{ W &= \frac{m_0 u^2}{\sqrt{1-u^2 / c^2}} - m_0 \int_0^u \frac{udu}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \\ &= \frac{m_0 u^2}{\sqrt{1-u^2 / c^2}} + \left[ m_0c^2 \sqrt{1-u^2/c^2} \right]_0^u \\ &= m_0 c^2 \frac{1}{\sqrt{1- u^2/c^2}} - m_0 c^2 }$$

물체에 해 준 일은 그 물체의 운동에너지를 증가시킨다. 만일에 물체의 속도가 0 일 때의 운동에너지를 0 으로 두게 된다면 위의 일은 이 물체의 운동에너지 $K$가 되어, $$\begin{equation} \label{eq1} K = \left[ \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{u}{c}\right)^2 }} -1 \right]m_0 c^2 = (\gamma - 1) m_0 c^2 \end{equation}$$ 여기서 $m_0$는 그 물체의 정지질량으로 그 물체와 같이 운동하는 좌표계에서 측정되는, 즉 고유시간이나 고유길이처럼 물체의 본직적인 질량이다. 그러나 움직이는 물체를 정지한 외부에서 관측하는 입장에서는 위 식과 같은 운동에너지가 있는 것으로 관측하게 된다. 이는 물체의 속력이 커질수록 그 속력의 제곱보다도 훨씬 큰 비율로 운동에너지가 증가하여 빛의 속력에 이르러서는 운동에너지가 무한히 커지게 된다.

이러한 점은 물체가 속력이 증가함에 따라 점점 더 가속되기가 힘들어지기 때문에 생겨난다. 질량은 물체가 자기의 운동을 지속하려고 하는 정도를 말하므로 가속되기 힘들어진다는 것은 질량이 증가하는 것을 말한다.

[질문1] $u$가 $c$에 비해서 아주 작을 때 $\eqref{eq1}$의 상대론적 운동에너지의 공식이 뉴턴역학의 운동에너지 식인 $\frac12 m_0 u^2$로 되는 것을 검증하라. $|x| \ll 1$일 때 $(1+x)^n \approx 1 + nx$으로 근사식을 이용할 수 있다.

[질문2] 운동에너지를 계산할 때 뉴턴역학의 식 $\frac12 m_0 u^2$을 쓰더라도 1% 이내의 오차가 난다고 하자. 이 기준이 되는 속도 $u$는 $c$의 몇 %이내 일까?

_ 운동제2법칙_ 아인슈타인_ 고유길이_ 고유시간

질량-에너지 동등성

질량불변의 법칙은 화학 반응에서 반응 전후의 질량이 같다는 화학에서의 법칙이다. 그러나 상대성이론의 아주 중요한 결과로 질량이 에너지로 변환되기도 하고 또한 에너지도 질량으로 변할 수 있는 관계에 있음이 밝혀지게 되어 이 질량불변의 법칙이 성립하지 않게 되었다.

운동에너지 식을 상대론적 질량 $m$ 으로 표현하면 다음과 같다. $$K = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2 = mc^2 - m_0 c^2$$ 이 식은 정지한 물체가 운동하게 됨에 따라 증가한 운동에너지는 그 질량, 즉 상대론적 질량 m 에 포함되어 버리는 것을 알 수 있다. 한편 위 식에서 보듯이 질량을 에너지로 변환하는 데에는 빛의 속도 c의 제곱이 곱해져서 변환되므로 그 에너지는 실로 막대한 크기를 가지게 된다. 또한 운동에너지는 단순히 운동하는 효과에 의한 부분만을 말하므로 이 식을 $mc^2=K+m_0c^2$ 으로 표기하고 보면 정지하고 있는 물체도 $m_0c^2$의 에너지를 가지고 있어 이를 정지질량에너지라고 한다. 그리고 전체 에너지는 이 정지질량에너지와 운동에너지를 합한 것으로 나타내어 다음과 같이 질량과 에너지가 동등하다는 관계가 성립하여 이를 질량-에너지 동등성(mass-energy equivalence)이라 한다. $$\bbox[yellow,5px,border:1px solid red] { E=mc^2 }$$

이러한 관계는 화학반응을 비롯하여 원자핵 반응 등 어떠한 반응에서도 성립하는 사실로서 특히 소립자의 생성, 소멸 등에서 에너지가 질량으로 변하고, 질량이 모두 에너지로 모양을 바꾸는 일들이 관찰된다. 석탄을 땔 때 그 연소에너지가 빛이나 열의 형태로 방출된다. 이때 석탄재와 연소과정에서 생겨나는 이산화탄소 등 모든 기체의 질량을 합하면 원래의 질량에서 줄어든 것을 관측할 수 있는 데 이 줄어든 양에 해당하는 에너지가 방출된 것이다. 이 경우에 어디에도 상대론적으로 운동하는 물체가 없으니 상대론의 효과가 끼어들 여지가 없어 보이지만 실제로 상대론의 여러 현상은 우리의 일상생활에서도 나타나는 일인 것이다.

한편 빛의 속도의 제곱이 질량에 곱해져서 에너지로 변환되므로 예를 들어 석탄 1kg 모두가 에너지로 변환된다면 그 양은 9 ×10¹⁶ Joule로서 이 에너지는 물을 1000m 높이로 9 ×10¹² kg, 즉 90억 톤을 퍼 올릴 수 있는 막대한 에너지이다. (그러나 소립자 물리학에서의 여러 제한에 의하여 물체의 질량이 줄어드는 정도에 대한 한계는 있다)

운동량과 에너지는 시간과 공간의 조합과 같이 4차원을 이룬다.

입자가 고립되어 있다면 총에너지와 운동량은 각각 보존되는 양이다. 따라서 이들 두 양 사이의 관계를 알아보는 것이 쓸모가 있다.

뉴턴역학의 경우라면 총에너지와 운동량의 관계는 $E=\frac{p^2}{2m}$이겠지만 이제 정지질량에너지가 가세되었고, 또한 운동에너지의 항도 달라져야 한다. $E$와 $p$의 관계는 상대론에서의 이들의 정의에서 속도나 $\gamma$를 소거하여 얻을 수 있다. $$\bbox[yellow,5px,border:1px solid red] { E^2 = m_0^2 c^4 + p^2 c^2 }$$ 이를 $E^2 - p^2 c^2 = (m_0 c^2)^2$ 으로 보았을 때 오른편 항이 명백히 고정된 양이므로 왼편 항이 시공간 4차원의 불변량이 된다. 앞의 운동량-에너지 관계는 다음과 같이 표시하기도 한다. $$\boxed{ E = \sqrt{m_0^2 c^4 + p^2 c^2} }$$

[질문1] 우주에서 지구로 쏟아지는 뮤온 중에는 $0.999c$의 속도를 가진 것도 있다. 이의 상대론적 에너지와 상대론적 운동에너지를 구하라. 이들은 각각 정지질량에너지의 몇 배인가? 단, 뮤온의 정지질량은 $1.884\times 10^{-28}$ kg이다.

[질문2] 앞 문제에서 뮤온의 운동량$(p)$은 얼마인가? 이 뮤온과 같이 움직이는 좌표계에서 관찰한 뮤온의 상대론적 에너지$(E')$와 운동량$(p')$을 계산해서 다음이 성립하는 것을 확인하라. $$E^2 - p^2 c^2 = E'^2 - p'^2 c^2$$ 이것은 좌표변환에서도 변하지 않는 불변량을 말한다. 임의의 속도로 좌표계에서도 이 관계가 성립할까?

[질문3] 입자가 $+x$ 방향으로 $u$로 운동한다. 이의 운동량의 $x$ 성분은 $p=m_0 u/\sqrt{1-u^2/c^2}$이며, 에너지는 $E=m_0 c^2/\sqrt{1-u^2/c^2}$이다. 이 입자를 $x$방향으로 속도 $v \ll c$로 움직이는 $S'$ 좌표계에서 관찰한다. 속도변환관계로부터 $u'$를 구하고, 또한 $S'$계에서 본 $p', E'$을 계산하여 다음을 유도하라. $$\eqalign{ p' &=& \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} (p-vE/c^2) \\ E' &=& \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} (E-vp) }$$ 여기서 입자는 $x$축과 $x'$ 축으로 움직이고 있어서 $p$의 $y$와 $z$ 성분은 0으로 나타내지 않았다. 이의 변환관계를 운동량과 에너지에 대한 로렌츠 변환이라 한다. $(p, E/c^2)$의 두 성분이 $(x,t)$의 변환과 같이 변하는 것을 보여라. $p_y$와 $p_z$를 포함하면 이들은 네 성분을 가지며, 이렇게 $(x,y,z,t)$의 로렌츠 변환과 같이 변환하는 물리량의 조합을 4차원 벡터(four vector)라 한다.

_ 로렌츠 변환_ 좌표변환_ 운동량_ 불변량