상대론적 역학

뉴턴역학과 상대론적 역학

역학은 물체가 힘을 받았을 때 운동이 어떻게 일어나는가에 대하여 통일적이고 체계적인 법칙을 세우는 물리의 한 영역이다. 이에 대한 최초의 그럴 듯한 역학 이론은 뉴턴이 운동의 세 법칙으로 정리할 수 있었고, 이는 거의 250년동안 깨어지지 않고 물리학을 지배하는 중심의 이론이 되었다. 물체가 힘을 받았을 때 이 힘에 비례하는 가속도가 생겨나고, 이 비례상수는 바로 그 물체의 질량에 반비례한다'는 운동의 법칙은 달을 비롯한 천체의 운동이나 지상에 있는 사과의 운동 등에 두루 다 적용되어 한 치의 오차 없이 성립되는 듯이 보였다.

그러나 아인슈타인이 특수상대성이론을 제창한 이후 이 뉴턴의 역학체계는 새로운 해석이 필요할 수밖에 없게 되어 그 긴 생명력의 종지부를 지을 수밖에 없었다. 이전의 역학체계는 물체의 속도가 빛의 속력에 비하여 크지 않고, 에너지가 크지 않는 범위에서만 성립하는 근사이론에 불과하게 되었다. 그렇더라도 우리 일상생활에서 경험하는 속력은 빛의 속력에 비하여 100만분의 일도 못되므로 이 상대론의 효과를 거의 무시할 수 있다. 로렌츠 인수 ($\gamma$)가 1에서 0.000,000,000,000,5정도밖에 벗어나 있지 않기 때문에 길이수축이나 시간팽창의 효과는 거의 무시할 수 있어 뉴턴역학만으로도 충분하다.

그러나 물체의 속력이 빛의 속력의 0.1정도만 되더라도 상대론적인 관점에서 운동을 취급해야 마땅하다.

_ 특수상대성이론_ 로렌츠 인수_ 아인슈타인_ 길이수축_ 시간팽창

상대론적 운동량

상대론적으로 보존되는 것이 무엇인가?

뉴턴역학에서는 운동량보존법칙이 성립한다. 고립된 계의 총운동량이 일정하게 유지된다는 이 법칙은 물리법칙 중에서 에너지보존법칙과 더불어 엄격하게 성립되는 것으로 믿어져 왔다.

다음의 예에서 운동량보존법칙이 어느 관성계에서나 성립하는 것으로 보이는 지를 고전적인 운동량의 정의로부터 해석해 보자. 아래 그림의 위 상황은 동일한 질량의 두 물체의 질량중심 좌표계 S에서 본 것으로 서로 $u$의 속도로 마주 달려와서 한 덩어리로 되는 완전비탄성충돌을 해서 정지한다.

이를 왼쪽으로 $u$의 속도로 움직이는 좌표계 S' 에서 보면, 이제 오른쪽의 입자는 정지하게 보이고, 왼쪽의 입자는 속도의 합성공식에 의해 다음의 속도로 관찰될 것이다. \[ u' = \frac{2u}{1+u^2 /c^2} \]

이제 S' 좌표계에서 운동량보존법칙이 성립하는지를 알아보자. 충돌전의 운동량은 $mu'$이고, 충돌후의 운동량은 $2mu$이므로 $u$가 0 이 아닌한 둘이 일치할 수 없다. 즉, \[ mu' \neq 2mu \] 따라서 원래의 운동량의 정의로는 운동량보존법칙이 성립하지 않는 것을 알 수 있다. 이때의 합리적인 선택은 운동량보존법칙을 포기하거나 운동량을 새롭게 정의해서 운동량보존법칙을 유지하게 하거나 둘 중 하나일 것이다. 운동량보존은 뉴턴의 운동제2법칙과 관련되어 있다. 따라서 뉴턴역학의 중요한 골격을 고수하면서 상대론의 결과를 수용하기 위해서 운동량을 다시 정의하고 운동량보존법칙을 지키도록 선택하기로 한다.

운동량을 새로 정의한다.

운동량은 질량과 속도의 곱인 데, 물체의 속도는 다시 정의할 수 없는 양이므로 질량을 다시 정의하는 것을 고려해 볼 수 있다. 이는 운동하는 물체의 길이나 시간의 경과가 달라지는 것을 이미 겪었으니 새삼스럽지 않을 것이다.

아래 그림은 물체의 속도에 따라 질량이 다르게 주어진다고 본 완전비탄성충돌의 상황이다. 여기서 S' 계에서 보았을 때의 물체의 질량은 각각 $m'$, $m_0$, $M$으로 각 물체의 속도와 연동되어 있다고 하자. 물체의 속도가 0 이면 뉴턴역학의 질량으로 환원될 것인 데 이들을 $m_0$, $M_0$ 등으로 첨자 0 을 붙여서 구분하도록 하자.

S 계에서는 질량을 어떻게 정의하든 운동량보존법칙이 이미 잘 성립하므로 S' 계만 새롭게 해석해 보자. 여기서 우선 충돌 전후의 질량은 보존된다고 가정하고, 뒤에서 그 정당성을 따져보기로 한다. \[ \begin{equation} \label{eq1} M = m' + m_0 \end{equation} \] 이다. 이제 새롭게 정의한 질량으로 계산한 운동량이 보존되어야 하므로 \[ Mu = m' u' \] 이 성립해야 한다. 위 두 식에서 $M$을 소거하여 $u$와 $u'$의 관계를 쓰면 \[ \begin{equation} \label{eq2} u = \left(\frac{m'}{m'+m_0}\right) u' \end{equation} \] 이 된다. 한편 속도의 합성공식 $u' = \frac{2u}{1+u^2 /c^2}$은 여전히 성립하므로 이를 이용한다. 먼저 이 관계를 다음과 같이 전개하고, \[ \frac{u'}{c^2} u^2 - 2 u + u' = 0 \] $u$를 $u'$으로 표현하도록 한다. 이차방정식의 근의 공식으로부터 \[ u = \frac{1\pm \sqrt{1-u'^2/c^2}}{u'/c^2} = u' \frac{1\pm\frac{1}{\gamma'}}{1-\frac{1}{\gamma'^2}} = \frac{u' \gamma'}{\gamma' \mp 1} \] 으로 정리된다. 여기서 $\gamma' = \gamma(u') = 1/\sqrt{1-u'^2/c^2}$이다. 언제나 $u\gt u'$일 수 없으므로 마지막에서 $+$ 부호를 택해야 한다. 이것과 \eqref{eq2} 식을 이용해서 $u$를 다시 소거하면 다음의 $m'$과 $m_0$의 관계를 얻을 수 있다. \[ m' = m_0 \frac{1}{\sqrt{1-u'^2/c^2}} = m_0 \gamma(u') \] 즉, 운동하는 물체의 질량은 정지했을 때에 비해서 $\gamma$의 비율로 커져야 한다 것을 알 수 있다. 한 물체가 있다고 했을 때 이를 움직이는 것으로 관찰하는 좌표계에서는 정지한 것으로 관찰하는 좌표계에서 재는 질량에 비해서 더 큰 값으로 평가한다. 그리고 이 비율은 시간이 팽창되는 것과 같다. 여기서는 완전비탄성충돌이라는 충돌의 한 극한으로부터 새롭게 질량을 정의해야 한다는 것을 알았지만 이는 어떤 충돌의 상황이라도 마찬가지임을 증명할 수 있다.

이제 정지했을 때의 질량 $m_0$인 물체가 $u$의 속도로 운동하는 경우 운동량은 다음과 같이 정의된다. \[ p = m_0 \gamma u = mu \] 이를 상대론적 운동량이라 하고, $m_0$는 정지질량(rest mass) 혹은 고유질량(proper mass)으로, $m$을 상대론적 질량으로 부른다. 상대론적 질량을 운동질량이라 하거나 그저 질량이라고 하기도 한다.

상대론적 질량이 보존된다.

앞서 \eqref{eq1} 식에서 상대론적으로 정의한 질량이 충돌과정에서 보존되는 것을 가정하였다. 이의 정당성을 다음과 같이 또 다른 좌표계 S" 을 도입해서 검증한다. 다음 그림과 같이 S" 계는 S' 에 대해서 $-y$로 $v$의 속도로 움직이고 있다.

여기서 정지질량 $m_0$, 속도 $u$인 물체의 상대론적 질량이 다음과 같이 표현될 것으로 가정하자. \[ m(u) = f(u/c) m_0. \] 함수 $f$는 $u=0$일 때 1 로 접근하는 차원이 없는 함수일 것이다.

한편 S" 계에서는 왼쪽 물체의 $x$ 방향으로의 속력은 다음과 같이 $u'$와는 다르게 관측될 것이다. \[ u'' = \frac{dx''}{dt''} = \frac{dx'}{\gamma_v dt'} = \frac{u'}{\gamma_v} = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} u'. \] 이는 S' 계에 비해서 S" 계의 시간이 $\gamma(v)$ 비율로 다르게 진행하기 때문이다.

이제 S" 계에서 왼편 물체의 속력은 $\eta = \sqrt{v^2 + u''^2} = \sqrt{v^2 + u'^2 (1-v^2/c^2)}$이다. 그리고 오른편 물체의 속력은 그대로 $v$이다. 한편 한덩어리 된 물체의 속력은 왼편 물체와 비슷하게 계산되어 $\rho=\sqrt{v^2 + u^2 (1-v^2/c^2)}$으로 보일 것이다. 따라서 S" 계에서 $y$ 방향의 운동량보존은 \[ m(\eta ) v + m(v) v = M(\rho) v \] 가 된다. 이 관계는 어떤 $v$에서도 성립해야 하므로 언제나 \[ m(\eta ) + m(v) = M(\rho) \] 이 되어야 하고, 여기서 $v \rightarrow 0$의 극한을 취하면 $\eta \rightarrow u', \rho \rightarrow u$가 되어 \[ m(u') + m(0) = M(u) \] 이 되어 \eqref{eq1} 식이 성립한다는 것이 확인된다.

[질문1] 위에서 예로로 보인 충돌에서 $M(u) \gt 2 m(0)$이다. 즉 두 물체의 정지질량을 합한 것보다 한 덩어리로 된 물체의 질량이 증가한다. 증가된 질량은 얼마인가? 증가한 질량은 무엇에서 비롯된 것인가? (뒤에서 설명하는 질량-에너지 동등성을 이용해야 한다)

[질문2] \eqref{eq1} 식에서의 $M$은 $u$의 속력을 가진 운동질량이다. 이 물체의 정지질량이 다음과 같이 표현되는 것을 보여라. \[ M_0 = m_0 \sqrt{2 (1+\gamma')} \] 여기서의 $\gamma'$는 $u'$에 대한 로렌츠 인수이다.

[질문3] 전자의 운동량이 $3.00 \times 10^{-12} \text{kg} \cdot \text{m/s}$일 때의 속도는 얼마인가? 빛의 속도와 차이를 보기 위해서는 적어도 4자리 이상을 나타내어야 할 것이다.

_ 완전비탄성충돌_ 운동량보존법칙_ 운동량의 정의_ 전자의 운동_ 로렌츠 인수_ 운동제2법칙_ 질량중심_ 보일

상대론적 운동법칙

두 물체가 충돌하는 과정에서 서로 주고 받는 힘이 같은 크기로 반대로 작용한다는 운동3법칙이 상대론에서도 여전히 성립한다고 보는 것이 자연스럽다. 그리고 이 과정에서 각 물체의 운동량은 보존되므로 \[ dp_1 + dp_2 = 0 \longrightarrow \frac{dp_1}{dt} = -\frac{dp_2}{dt} \] $F_1 = - F_2$를 고려하면 다음과 같이 힘을 정의하는 것이 자연스럽다. \[ F = \frac{dp}{dt} = \frac{d}{dt} (mu) = \frac{d}{dt} \left(\frac{m_0 u}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \right) \] 이처럼 운동제2법칙은 뉴턴의 것과 같은 형식으로 표현된다.

c는 돌파할 수 없는 한계속력이다.

전하가 균일한 전기장에 놓여 있으면 물체는 일정한 힘을 받는다. 뉴턴역학에서는 힘이 일정하게 걸리면 물체는 계속 가속되어 속도가 제한없이 커질 것이다. 상대론적으로는 어떨까? 여기서 처음 시간에 정지해 있다고 하고 입자에 가해지는 $x$ 방향으로의 일정한 힘이 $F$라고 하자. 앞의 식에 의하면, \[ p = \gamma_u m_0 u = Ft \] 따라서 $t$ 시간에 물체가 가지는 속도는 \[ u(t) = \frac{c}{\sqrt{1+(m_0 c/Ft)^2}} \] 이다. 이로부터 시간에 따라 속도가 증가하기는 하나 $c~$에 접근할수록 증가비율이 점점 작아져서 상한값 $c~$에 한없이 접근하는 것을 알 수 있다. 즉 빛의 속도보다 느리게 움직이는 물체에 힘을 가해서 $v~$를 돌파할 수 없고, 이 때문에 $c~$를 한계의 속도라고 하는 것이다. 한편 $t \ll m_0 c/F $일 때는 물체의 속력은 거의 일정하게 증가하여 물체의 가속도가 $F/m_0$이라는 뉴턴의 관점으로 회기한다는 것을 확인할 수 있다.

_ 운동제2법칙_ 운동량_ 전기장_ 전하