입자계와 질량중심

입자계의 운동량

입자계의 총운동량은 전체 질량 M에 질량중심의 속도를 곱한 것과 같다.

운동량이 벡터이기 때문에 여러 입자가 가지고 있는 총운동량은 각각의 운동량을 더한 것이다. $$\vec{P} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \cdots + \vec{p}_n = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + \cdots + m_n \vec{v}_n$$ 따라서 이는 마치 질량중심에 단일질량 $M$이 있고, 이것이 질량중심의 속도로 운동하는 것과 같아진다. 즉, $$\vec{P} = M \vec{v}_{\mathrm{com}}$$ 이제 이를 시간에 대해 미분하면, $$\frac{d \vec{P}}{dt} = M \frac{d \vec{v}}{dt} = M \vec{a}_{\mathrm{com}}$$ 이는 외부에서 작용하는 모든 힘, 즉 총외력과 같다. 따라서 다음과 같이 입자계의 총외력은 총운동량의 시간에 대한 변화율과 같음을 알 수 있다. $$\vec{F}_{\mathrm{net}} = \frac{d \vec{P}}{dt}$$

_ 운동량

입자계의 운동량보존법칙

입자에 작용하는 알짜힘이 0이면 입자의 운동량은 일정한 값을 유지한다.

한 입자에 작용하는 힘은 그 입자의 운동량을 변화시킨다. 따라서 어떤 입자가 외부로부터 완벽하게 고립되어 있다면 그것의 운동량은 시간이 지나더라도 같은 값을 가진다. 이를 운동량보존법칙(law of conservation of momentum)이라 한다

입자계에 작용하는 알짜힘이 0이면 입자계의 총운동량은 일정한 값을 유지한다.

이러한 관계는 입자가 많이 있는 경우에도 성립한다. 입자가 많이 모여 있는 입자계의 총운동량 $\vec{P}$은 그 입자가 외부에서 받는 전체의 힘 $\vec{F}$에 의해 변화된다. 만일 입자계가 외부로 부터 고립되어 있거나 고립되어 있지 않더라도 외부에서 미치는 힘들이 상쇄되어 총외력이 0 이라면 운동량의 총 합, 즉 총운동량은 보존된다. 이를 입자계의 운동량보존법칙이라 한다. 즉, $$\vec{F}_{\mathrm{net}} = 0$$ $$\frac{d \vec{P}}{dt} = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{P} = \mathrm{const}$$

_ 운동량