불확정성원리

측정에서의 불확정성 2

전자의 회절도 불확정성원리를 설명한다.

다음 그림은 단일슬릿 회절의 장치로서 여기서는 전자를 회절시킨다. 전자는 화면의 왼쪽에서 오른쪽으로 쏘여지며, 폭이 $b$인 슬릿을 통과한 전자는 스크린에 회절무늬를 만든다. 이제 전자가 슬릿을 막 통과할 때의 세로 방향의 위치와 운동량을 측정한다고 하자. 통과한 전자는 슬릿의 내부 어디를 통과했는지 모르기 때문에 이때의 위치 불확정도는 $b$이다. 즉, \[ \Delta x= b \] 여기서는 수직방향을 $x$방향으로 삼았다.

한편, 전자는 이제 퍼져버린다. 전자가 스크린의 특정한 지점에 도착했다는 것을 안다면 슬릿의 중심으로 부터 그 지점까지 연장선을 그어서 슬릿을 통과한 순간의 운동량의 수직성분을 추정할 수 있지만 회절효과는 이를 불가능하게 한다. 한편 그 퍼짐의 정도는 회절이론에서 \[ \Delta \theta \sim \frac{\lambda}{b} \] 이고, 그림을 통해서 알 수 있듯이 $x$축의 운동량의 폭, 즉 불확정도는 \[ \Delta p_x \sim p \Delta \theta \sim \frac{h}{\lambda} \frac{\lambda}{b} \] 따라서 현미경으로 전자를 관찰할 때와 같은 관계가 나온다.

이 예는 입자가 물질파로 되어 있다고 생각했을 때에도 불확정 관계를 피할 수 없다는 것을 보여준다. 그림에서 왼편의 전자살은 실제로 매우 많은 전자들이 쇄도하는 것일 수 있지만 각각의 전자가 독립적으로 회절해서 이 결과가 스크린에 반영된 것이다. 즉 슬릿을 통과하는 여러 전자가 서로 간섭한 결과로 스크린에 무늬를 만든 것이 아니라, 동일한 전자가 슬릿의 불특정한 지점에서 동시에 통과하면서 무늬를 만든 것이다. 이는 전자살의 세기를 매우 약하게 해서 수초에 하나의 전자가 비추어지는 상황으로 실험해서 확인할 수 있었다.

지금까지 실험적인 절차를 가상하여 위치와 운동량이 정확하게 정해지지 않는다는 것을 살펴보았다. 앞서 현미경으로 물체의 위치를 관찰하는 경우 불확정 관계가 본질적으로 나타날 수 밖에 없다는 것을 보았는 데 여기서 빛보다 더 적게 교란시키는 탐침을 동원할 수도 있지 않을까 하는 의문이 생길 수도 있다. 그러나 빛이 아닌 다른 어떠한 것을 쓰더라도 자연이 보편적으로 파동성을 갖는 다는 사실 때문에 이 불확정성을 피할 방법이 없다. 측정이라는 과정을 통해서 물질의 상태가 교란되어 버리고, 그 교란은 파동성 때문에 제멋대로 일어나기 때문이다. 따라서 애초에 운동량과 위치가 동시에 정해진다는 고전역학의 전제는 틀린 출발이었다.

_ 단일슬릿 회절_ 운동량_ 물질파_ 현미경_ 간섭_ 파동

에너지-시간 불확정성원리

에너지와 시간의 측정도 불확정적이다!

에너지와 시간의 쌍도 위치-운동량의 불확정성원리와 비슷한 관계가 성립한다. 우선 위 그림에서 보는 것처럼 오른쪽으로 움직이는 자유입자가 한 지점을 통과하는 시각과 에너지를 측정하는 것을 생각해 보자. $x$축을 따라 운동하는 하나의 입자는 실제로 파동묶음으로 나타낼 수 있어 $\Delta x$의 불확정도를 가진다. 따라서 한 지점을 통과하는 시간도 파동의 폭이 통과하는 만큼 불확실하다. \[ \Delta t = \frac{\Delta x}{v_g} \] 여기서 $v_g$는 파동묶음의 속도인 군속도로 고전적인 입자의 속도와 같다.

한편 이의 에너지는 운동량이 불확실한 만큼 역시 불확실하다. $E=p^2/2m$이므로 \[ \Delta E = \frac{p}{m} \Delta p = v_g \Delta p \] $p$가 $\Delta p$만큼의 불확정도를 가지고 있다면 역시 $E$도 불확정도를 가지는 것이다. 따라서 \[ \Delta E \Delta t = \Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2} \] 가 된다.

에너지-시간 불확정성원리의 의미

에너지와 시간의 불확정성원리는 위치와 운동량의 불확정성원리와 의미가 사뭇 다르다. 위치와 운동량은 서로 완벽하게 대칭적인 개념이다. 즉 이들은 주어진 시간에 대하여 동시에 측정된다. 따라서 특정한 시간에서 이들의 통계적인(확률적인) 분포가 이들의 불확정성을 결정하는 것이다.

그러나 에너지와 시간은 근본적으로 서로 다른 역할을 하는 양이다. 에너지는 어떤 계의 동력학적 양이지만 시간은 파라미터로 작용하는 양이다. 따라서 앞서 유도한 이들 사이의 불확정성은 계의 상태가 변하는 특성시간 간격 $\Delta t$와 에너지의 불확정도 $\Delta E$를 연결하고 있다.

[질문1] 어떤 원자가 들뜬 상태로 되었을 때 거의 10^-8 sec의 짧은 시간 이내에 바닥상태로 떨어지면서 500 nm의 광자를 방출한다고 하자. 이 경우, 이 광자의 진동수의 불확정도는 얼마인가? 또한 이 들뜬 상태의 에너지의 준위의 불확정도 $\Delta E$는 얼마인가?

[질문2] 어떤 입자의 정지질량이 1000 MeV/c²이라 하자. 또한 이 입자는 10^-20 sec의 수명을 가진다. 이 입자의 정지질량의 불확정도는 얼마인가?

[질문3] 각운동량($L$)과 각도($\theta$) 사이에서도 다음과 같은 불확성정원리가 성립한다. \[ \Delta \theta \Delta L \ge \frac{\hbar}{2} \] 등속원운동을 하는 물체를 생각하자. 원호를 따라가는 거리를 $x$로 하고, 회전각을 $\theta$로 보는 간단한 설정으로 부터 이 관계가 성립하는 것을 보여라.

_ 바닥상태_ 파동묶음_ 정지질량_ 운동량_ 군속도_ 진동수