불확정성원리

불확정성원리의 응용

불확정성원리를 특정 짓는 플랑크 상수는 너무 작은 값을 가지고 있기 때문에 우리의 일상생활에서 이 원리가 영향을 미치는 경우는 없다. 그러나 원자의 규모가 되면 이제 이것은 계의 행동에 결정적인 요인이 된다.

원자핵 속에 전자가 존재하는가?

원자핵이 발견되어 핵에 대한 이해가 커지는 시점에 핵 속에서 전자가 튀어나오는 것을 관찰하였다. 처음에는 전자가 핵의 구성요소이라고 생각했으나 이는 불확정성원리에 의해 부정되었다.

만일 전자가 5 x 10^-15 m의 규모인 원자핵 속에 있기 위해서는 얼마의 에너지를 가져야 하는지를 계산해 보자. 먼저 운동량 불확정도는 \[ \Delta p \ge \frac{\hbar}{2 \Delta x} = \frac{1.054 \times 10^{-34}\mathrm{J\cdot s}}{2 \times 5 \times 10^{-15} ~\mathrm{m}} = 1.1 \times 10^{-20} ~\mathrm{kg\cdot m/s} \] 불확정도가 이 정도면 운동량 자체는 이보다 훨씬 커야 한다. 따라서 이보다 큰 운동량을 갖는 전자의 운동에너지는 \[ K = pc \ge 3.3 \times 10^{-12} ~ \mathrm{J} \] 이다. 그러나 핵에서 방출되는 전자의 에너지는 이보다 훨씬 적어서 핵 속에 전자가 존재하지 않는다고 할 수 있다. 실제로 이 전자는 핵 속의 중성자가 변환하는 베타붕괴에서 생겨난 것으로 판명되었다.

원자의 방출스펙트럼의 폭

들뜬 상태의 원자는 광자를 내며 낮은 상태로 내려오게 된다. 이때 방출하는 빛의 진동수는 보어의 가설에 의해 결정된다. 방출되는 광자의 진동수 불확정도는 얼마일까? 단 전자가 들뜬 상태에서 내려앉는 데 걸리는 시간이 10^-8 s 정도이다.

이 경우 광자의 에너지 불확정도와 진동수 불확정도는 각각 \[ \Delta E \ge \frac{\hbar}{2\Delta t} = \frac{1.054 \times 10^{-34}\mathrm{J\cdot s}}{2 \times 10^{-8} \mathrm{s}} = 5.3 \times 10^{-27}~\mathrm{J} \] \[ \Delta \nu = \frac{\Delta E}{h} \ge 8 \times 10^{6} ~\mathrm{Hz} \] 두 상태의 에너지 $E_2, E_1$의 차이에 의한 빛의 진동수 \[ \nu = \frac{E_2 - E_1}{h} \] 에서 $\Delta \nu$ 만큼의 불확정성을 가지고 있다는 것이다. 보통의 원자의 경우 $\nu$는 10¹⁴ Hz 정도이므로 진동수 불확정도는 이의 10^-8비율이다. 이 효과 때문에 원자의 스펙트럼이 약간의 폭을 가지게 되고, 이를 자연선폭(natural width)라 한다. 실제로 스펙트럼의 선폭은 이 외에도 빛을 방출하는 원자의 열적 움직임에 의한 도플러 확장(doppler broadening)이 있는 데 실은 이 효과가 자연선폭보다 더 크게 나타난다.

수소원자의 바닥상태

불확정성원리는 양자역학적인 계의 바닥상태 에너지를 짐작하는 데도 유용하게 쓰인다. 이는 보통 바닥상태가 불확정도가 최소로 주어지는 극한에 있는 경우가 많기 때문이다. 수소원자의 경우, 에너지는 \[ E = \frac{p^2}{2m} - \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r} \] 만일 전자가 $r$의 반경 내에 들어 있다면 운동량의 불확정도는 $\Delta p = \hbar/r$ 정도 되어 이것이 $p$의 최솟값이라 할 수 있다. 따라서 \[ E(r) = \frac{\hbar^2}{2mr^2} - \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r} \] $r$의 함수로 주어진 에너지가 최소가 되는 극한에서 바닥상태가 있다고 생각할 수 있으므로 \[ \frac{E(r)}{dr} = - \frac{\hbar^2}{mr^3} + \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2} = 0 \] 를 만족하는 반경이 바닥상태의 궤도반경이 될 것이다. \[ r = \frac{4\pi \varepsilon_0 \hbar^2}{me^2} \] 이는 정확하게 보어 반지름 $a_0$와 일치한다. 여기서 $\Delta x \Delta p \sim \hbar$의 관계를 이용하였기에 일치하였으나 만일 이를 $ \sim \hbar/2$를 썼다면 결과가 조금 달라질 것이다. 실제로 불확정성원리로는 최소에너지를 어림할 수 있는 정도이다.

[질문1] 질량이 10 kg인 포탄과 질량이 $9.1 \times 10^{-31}$kg인 전자가 모두 1,000 m/s의 속력으로 날아가고 있다. 이들의 속도는 0.01%의 정확도로 측정된다고 하자. 만일 이 두 물체의 위치와 속력을 동시에 측정한다고 했을 때 위치 불확정도의 한계는? 이 결과가 무엇을 의미하는지 생각해 보자.

[질문2] 1 m 상자 안에 갇혀있는 10 kg의 포탄과 전자의 속도 불확정도를 계산하라. 그리고 이 결과를 비교하여 설명하라.

[질문3] 어떤 입자가 처음 시간에 $\Delta x_0$의 불확정도를 가지고 관찰되었다. 시간이 $t$만큼 흐른 후 위치의 불확정도는 얼마만큼 달라질까? (처음의 위치 불확정도부터 운동량의 불확정도와 속도의 불확정도의 한계를 구하고, 속도의 불확정도가 $t$ 시간 이후 도달하게 되는 물체의 위치를 얼마만큼 다르게 결정하는지를 계산하자)

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