베타붕괴

베타붕괴

베타붕괴의 에너지

에너지를 세 입자가 나누어 가진다.

graphic

베타입자의 운동_베타붕괴가 끝난 후 세 입자가 에너지를 나누어 가진다. 알파나 감마붕괴와 달리 운동은 평면에서 이루어진다.

베타붕괴의 경우 핵이 붕괴하여 전자와 반중성미자가 생기므로 핵심 반응식은

_{0}^{1} n ⟶_{1}^{1} p +_{- 1}^{0} e + \bar{ν}

$^{1}_{0}\mathrm{n} ~ \longrightarrow ~ {^{1}_{1}\mathrm{p}} ~+~ {^{~~~0}_{-1}\mathrm{e}} ~+~ \bar{\nu}$ 이다. 실제로 이 반응이 핵에서 일어나므로 다음과 같이 어미핵

_{Z}^{A} X

$^{A}_{Z}\mathrm{X}$ 이 딸핵

_{Z + 1}^{A} X^{'}

$^{~~~~A}_{Z+1}\mathrm{X}'$ 으로 변한다.

_{Z}^{A} X ⟶_{Z + 1}^{A} X^{'} +_{- 1}^{0} e + \bar{ν}

$^{A}_{Z}\mathrm{X} ~ \longrightarrow ~ ^{~~~~A}_{Z+1}\mathrm{X}' ~+~ {^{~~~0}_{-1}\mathrm{e}} ~+~ \bar{\nu}$ 이때 방출되는 에너지는 다음과 같이 딸핵을 포함해서 세 입자가 나누어 가진다.

Q = (m_{P} - m_{D} - m_{e}) c^{2} = K_{D} + K_{e} + K_{\bar{ν}}

$Q = (m_P - m_D - m_e) c^2 = K_D + K_e + K_\bar{\nu}$ 여기서 전자의 질량은

m_{e}

$m_e$ 이고,

m_{P}

$m_P$ 와

m_{D}

$m_D$ 는 각각 어미핵과 딸핵의 질량이다. 중성미자는 질량을 무시할 수 있으나 운동에너지

K_{\bar{ν}}

$K_\bar{\nu}$ 는 일부분 가지고 나간다. 한편 다음과 같이 운동량보존법칙을 만족해야 한다.

0 = {\vec{p}}_{D} + {\vec{p}}_{e} + {\vec{p}}_{\bar{ν}}

$0 = \vec{p}_D + \vec{p}_e + \vec{p}_\bar{\nu}$ 처음 운동량은 0 이었으므로 붕괴 후 세 입자의 운동량의 합이 0 이 되어야 한다. 이 경우는 알파붕괴나 감마붕괴와는 달리 세 입자가 관여하므로 2차원에서 이해해야 하고, 따라서 각각의 입자가 향하게 될 방향이나 크기를 확정할 수는 없다. 그러나 알파붕괴에서와 같이 딸핵의 운동에너지는 무시할 수 있으므로

\begin{aligned} Q & = & (m_{P} - m_{D} - m_{e}) c^{2} ≅ [M (A, Z) - M (A, Z + 1)] c^{2} \\ ≅ & K_{e} + K_{\bar{ν}} \end{aligned}

$\begin{equation*} \begin{split} Q & = & (m_P - m_D - m_e) c^2 \cong [M(A,Z) - M(A, Z+1)] c^2 \\ & \cong & K_e + K_\bar{\nu} \end{split} \end{equation*}$ 으로 정리할 수 있다.

M (A, Z)

$M(A,Z)$ 는

A

$A$ 의 질량수와

Z

$Z$ 의 원자번호를 가진 원자의 질량으로 순수한 핵의 질량에

Z

$Z$ 개의 전자의 질량이 합해지고, 이들 전자의 결합에너지를 뺀 값을 가진다. 여기서 전자와 핵의 결합에너지는 이들 반응에 관여하는 에너지에 비하여 무시할 수 있으나 전자의 질량은 반영해야 한다. 딸핵은 원자번호가 1 증가하여 추가로 전자를 하나 가졌기 때문에 베타붕괴에서 방출되는 한 전자의 질량이 딸핵이 이루는 원자의 질량에 포함되어 있다. 결국 어미원자와 딸원자의 질량차가 방출되는 에너지, 곧 Q 값으로 볼 수 있다. 따라서 기본적으로

\begin{matrix} (1) & M (A, Z) > M (A, Z + 1) \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq1} {\large \boxed{ M(A,Z) \gt M(A, Z+1) }} \end{equation}$ 인 조건에서 베타붕괴가 가능하다. 한편, 앞서 언급한 것처럼 전자나 중성미자의 방출방향과 속도가 확정되지 않으므로 반응양상에 따라서

K_{e}

$K_e$ 와

K_{\bar{ν}}

$K_\bar{\nu}$ 가 특정한 값을 가지지 않고 어떤 분포를 이룬다. 단 중성미자의 에너지가 최소일 때는 다음과 같이

Q

$Q$ 의 대부분이 전자의 운동에너지로 변환된다.

Q = K_{e} |_{m a x}

$Q = K_e|_\mathrm{max}$

전자와 중성미자가 서로 비슷하게 에너지를 나누어 가진다.

다음 그림은 전형적인 베타붕괴에서 전자의 운동에너지를 나타내고 있다. 거의 0 으로부터 넓은 분포를하고 있으나 $K_e|_\mathrm{max} \sim 0.63 \mathrm{MeV}$ 에서 끝난다. 중성미자는 나머지 에너지를 가지는 것으로 이것을 설명할 수 있었다.

graph

베타붕괴에서 방출되는 전자의 에너지 분포_베타붕괴를 할 때 핵 밖으로 나오는 전자의 운동에너지는 넓은 값의 분포를 하고 있지만 그 상한이 존재한다.

[질문1] 삼중수소( $^{3}_{1}\mathrm{H}$ )의 원자질량은 2805.205 MeV, 헬룸-3( $^{3}_{2}\mathrm{He}$ )의 원자질량은 2804.676 MeV이다. 삼중수소는 베타붕괴를 할 수 있을까? 만일 하게 된다면 베타입자의 최대 에너지는 얼마일까?

_ Q 값_ 운동량보존법칙_ 전자의 운동_ 삼중수소_ 감마붕괴_ 알파붕괴_ 중성미자_ 어미핵_ 딸핵

양전자방출과 전자포획

양전자방출의 에너지

한편, 양전자방출의 베타붕괴는 원자가 양전자를 방출하고, 원자번호가 하나 줄어든다. 이의 핵심 반응식은

_{1}^{1} p ⟶_{0}^{1} n +_{1}^{0} e^{+} + ν

${^{1}_{1}\mathrm{p}} ~ \longrightarrow ~ ^{1}_{0}\mathrm{n} ~+~ {^{0}_{1}\mathrm{e}^+} ~+~ \nu$ 이다. 여기서는 추가로 어미원자에 있던 전자를 하나 더 방출하므로 결국 원자 입장에서는 어미원자가 딸원자로 바뀌면서 양전자-전자 쌍을 만들어 내게 되어 다음 관계가 성립한다.

\begin{aligned} Q & = & (m_{P} - m_{D} - m_{e^{+}}) c^{2} ≅ [M (A, Z) - M (A, Z - 1) - 2 m_{e}] c^{2} \\ ≅ & K_{e^{+}} + K_{ν} \end{aligned}

$\begin{equation*} \begin{split} Q & ~=~ & (m_P - m_D - m_{e^+}) c^2 \cong [M(A,Z) - M(A, Z-1) - 2m_e] c^2 \\ & ~\cong~ & K_{e^+} + K_\nu \end{split} \end{equation*}$ 따라서

\begin{matrix} (2) & M (A, Z) > M (A, Z - 1) + 2 m_{e} \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq2} {\large \boxed{ M(A,Z) \gt M(A, Z-1)+2m_e }} \end{equation}$ 인 조건에서 양전자방출이 일어날 수 있다.

양전자방출은 핵에서 질량수 대비 중성자가 적어서 이의 비율을 늘리는 것으로 이는 알파붕괴의 경우와 마찬가지이다. 그러나 이 반응은 알파붕괴가 에너지 측면에서 일어나기 어려울 때 일어날 수 있으며, 이때 방출되는 양전자는 아주 짧은 순간 주위에 충만해 있을 전자와 쌍소멸해서 각각 0.511 MeV의 에너지를 가진 감마선 두 개를 방출한다.

전자포획의 에너지

graph

전자포획_전자포획은 원자의 궤도전자가 핵의 양성자와 반응해서 중성자로 바뀌는 과정이다. 그림은 K 껍질의 전자가 포획된다. 이 과정에서 방출되는 에너지의 대부분은 중성미자가 가지고 나온다.

전자포획은 원자의 궤도전자가 핵과 반응하여 양성자가 중성자로 바뀌면서 중성미자를 방출하는 현상이다. 보통 가장 내부의 K 껍질 전자가 핵과 겹치게 될 확률이 많아서 이 반응에 관여하게 된다. 이에 따라 전자포획을 K 포획(K capture)이라고도 한다. 이 과정의 핵심 반응식은

_{- 1}^{0} e +_{1}^{1} p ⟶_{0}^{1} n + ν

$^{~~~0}_{-1}\mathrm{e} ~+~ {^{1}_{1}\mathrm{p}} ~ \longrightarrow ~ {^{1}_{0}\mathrm{n}} ~+~ \nu$ 이다. 역시 이 과정에서도 에너지가 보존되어야 하기 때문에

Q = (m_{P} + m_{e} - m_{D}) c^{2} - E_{B} ≅ [M (A, Z) - M (A, Z - 1)] c^{2}

$Q = (m_P + m_e - m_D)c^2 - E_B ~ \cong ~ [M(A,Z) - M(A, Z-1)] c^2$ 으로, 어미핵에 하나의 전자의 질량을 더한 것과 딸핵의 질량차에다가 전자의 결합에너지

E_{B}

$E_B$ 를 보상한 값이다. 여기서 딸핵이 만든 딸원자는 전자를 하나 제거한 것으로 질량

M (A, Z - 1)

$M(A, Z-1)$ 에는

m_{e} c^{2}

$m_e c^2$ 항이 반영되어 있다. 따라서

\begin{matrix} (3) & M (A, Z) > M (A, Z - 1) \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq3} {\large \boxed{ M(A,Z) \gt M(A, Z-1) }} \end{equation}$ 인 조건에서 이 반응이 일어날 수 있다는 것을 알 수 있다. 이는 앞서의

(2)

$\eqref{eq2}$ 식의 양전자방출에서 보다 약한 조건이어서 어미원자의 질량이 딸원자의 질량보다 크기만 하면 일어날 수가 있다. 즉, 두 원자의 질량차이가 전자-양전자 쌍을 생성할 만큼 되지 않는다면 전자포획이 일어날 수 있다.

전자포획의 과정에서 방출된 에너지는 결국 딸핵과 중성미자의 운동에너지로 나뉘는 데 핵은 질량이 중성미자에 비해서 상대적으로 훨씬 커서 거의 모든 에너지를 중성미자가 가지게 된다. 즉

Q ≅ K_{ν}

$Q \cong K_\nu$ 한편 이 반응에서 생성된 딸핵은 외부 전자가 비게된 내부 전자의 자리를 차지하면서 연쇄적으로 X선이나 오제 전자(Auger electron)를 방출한다.

[질문1] $^{22}_{11}\mathrm{Na}$ 은 $K$ 각의 전자를 포획해서 $^{22}_{10}\mathrm{Ne}$ 으로 변한다. $^{22}_{11}\mathrm{Na}$ 과 $^{22}_{10}\mathrm{Ne}$ 의 질량은 각각 22.001404 u, 21.998352 u 이고, $K$ 전자의 결합에너지가 1.08 keV 이다. 이 반응에서의 Q 값은 얼마인가? 이 반응이 일어날 때 1.277 MeV의 감마선이 덩달아 나온다. 이 경우 중성미자가 가지는 에너지는 얼마인가?

[질문2] $A=7$ 인 핵은 두 가지로 하나는 원자질량이 7.01600 u 인 $^{7}_{3}\mathrm{Li}$ 이고 다른 하나는 원자질량이 7.01693 u 인 $^{7}_{4}\mathrm{Be}$ 이다. 이들 둘 중에서 하나는 여러 형태의 베타붕괴 중 하나를 할 가능성이 있다. 어떤 것일까? 또한 이것은 어떤 베타붕괴를 할 수 있을까?

_ Q 값_ 껍질_ 양전자방출_ 알파붕괴_ 중성미자_ 전자포획_ 어미핵_ 중성자_ 감마선_ 양성자_ 딸핵_ X선