베타붕괴

베타붕괴의 에너지

에너지를 세 입자가 나누어 가진다.

베타붕괴의 경우 핵이 붕괴하여 전자와 반중성미자가 생기므로 핵심 반응식은 \[ ^{1}_{0}\mathrm{n} ~ \longrightarrow ~ {^{1}_{1}\mathrm{p}} ~+~ {^{~~~0}_{-1}\mathrm{e}} ~+~ \bar{\nu} \] 이다. 실제로 이 반응이 핵에서 일어나므로 다음과 같이 어미핵 $^{A}_{Z}\mathrm{X}$이 딸핵 $^{~~~~A}_{Z+1}\mathrm{X}'$으로 변한다. \[ ^{A}_{Z}\mathrm{X} ~ \longrightarrow ~ ^{~~~~A}_{Z+1}\mathrm{X}' ~+~ {^{~~~0}_{-1}\mathrm{e}} ~+~ \bar{\nu} \] 이때 방출되는 에너지는 다음과 같이 딸핵을 포함해서 세 입자가 나누어 가진다. \[ Q = (m_P - m_D - m_e) c^2 = K_D + K_e + K_\bar{\nu} \] 여기서 전자의 질량은 $m_e$이고, $m_P$와 $m_D$는 각각 어미핵과 딸핵의 질량이다. 중성미자는 질량을 무시할 수 있으나 운동에너지 $K_\bar{\nu}$는 일부분 가지고 나간다. 한편 다음과 같이 운동량보존법칙을 만족해야 한다. \[ 0 = \vec{p}_D + \vec{p}_e + \vec{p}_\bar{\nu} \] 처음 운동량은 0 이었으므로 붕괴 후 세 입자의 운동량의 합이 0 이 되어야 한다. 이 경우는 알파붕괴나 감마붕괴와는 달리 세 입자가 관여하므로 2차원에서 이해해야 하고, 따라서 각각의 입자가 향하게 될 방향이나 크기를 확정할 수는 없다. 그러나 알파붕괴에서와 같이 딸핵의 운동에너지는 무시할 수 있으므로 \[ \begin{equation*} \begin{split} Q & = & (m_P - m_D - m_e) c^2 \cong [M(A,Z) - M(A, Z+1)] c^2 \\ & \cong & K_e + K_\bar{\nu} \end{split} \end{equation*} \] 으로 정리할 수 있다. $M(A,Z)$는 $A$의 질량수와 $Z$의 원자번호를 가진 원자의 질량으로 순수한 핵의 질량에 $Z$ 개의 전자의 질량이 합해지고, 이들 전자의 결합에너지를 뺀 값을 가진다. 여기서 전자와 핵의 결합에너지는 이들 반응에 관여하는 에너지에 비하여 무시할 수 있으나 전자의 질량은 반영해야 한다. 딸핵은 원자번호가 1 증가하여 추가로 전자를 하나 가졌기 때문에 베타붕괴에서 방출되는 한 전자의 질량이 딸핵이 이루는 원자의 질량에 포함되어 있다. 결국 어미원자와 딸원자의 질량차가 방출되는 에너지, 곧 Q 값으로 볼 수 있다. 따라서 기본적으로 \[ \begin{equation} \label{eq1} {\large \boxed{ M(A,Z) \gt M(A, Z+1) }} \end{equation} \] 인 조건에서 베타붕괴가 가능하다. 한편, 앞서 언급한 것처럼 전자나 중성미자의 방출방향과 속도가 확정되지 않으므로 반응양상에 따라서 $K_e$와 $K_\bar{\nu}$가 특정한 값을 가지지 않고 어떤 분포를 이룬다. 단 중성미자의 에너지가 최소일 때는 다음과 같이 $Q$의 대부분이 전자의 운동에너지로 변환된다. \[ Q = K_e|_\mathrm{max} \]

전자와 중성미자가 서로 비슷하게 에너지를 나누어 가진다.

다음 그림은 전형적인 베타붕괴에서 전자의 운동에너지를 나타내고 있다. 거의 0 으로부터 넓은 분포를하고 있으나 $K_e|_\mathrm{max} \sim 0.63 \mathrm{MeV}$에서 끝난다. 중성미자는 나머지 에너지를 가지는 것으로 이것을 설명할 수 있었다.

[질문1] 삼중수소($^{3}_{1}\mathrm{H}$)의 원자질량은 2805.205 MeV, 헬룸-3($^{3}_{2}\mathrm{He}$)의 원자질량은 2804.676 MeV이다. 삼중수소는 베타붕괴를 할 수 있을까? 만일 하게 된다면 베타입자의 최대 에너지는 얼마일까?

_ Q 값_ 운동량보존법칙_ 전자의 운동_ 삼중수소_ 감마붕괴_ 알파붕괴_ 중성미자_ 어미핵_ 딸핵

양전자방출과 전자포획

양전자방출의 에너지

한편, 양전자방출의 베타붕괴는 원자가 양전자를 방출하고, 원자번호가 하나 줄어든다. 이의 핵심 반응식은 \[ {^{1}_{1}\mathrm{p}} ~ \longrightarrow ~ ^{1}_{0}\mathrm{n} ~+~ {^{0}_{1}\mathrm{e}^+} ~+~ \nu \] 이다. 여기서는 추가로 어미원자에 있던 전자를 하나 더 방출하므로 결국 원자 입장에서는 어미원자가 딸원자로 바뀌면서 양전자-전자 쌍을 만들어 내게 되어 다음 관계가 성립한다. \[ \begin{equation*} \begin{split} Q & ~=~ & (m_P - m_D - m_{e^+}) c^2 \cong [M(A,Z) - M(A, Z-1) - 2m_e] c^2 \\ & ~\cong~ & K_{e^+} + K_\nu \end{split} \end{equation*} \] 따라서 \[ \begin{equation} \label{eq2} {\large \boxed{ M(A,Z) \gt M(A, Z-1)+2m_e }} \end{equation} \] 인 조건에서 양전자방출이 일어날 수 있다.

양전자방출은 핵에서 질량수 대비 중성자가 적어서 이의 비율을 늘리는 것으로 이는 알파붕괴의 경우와 마찬가지이다. 그러나 이 반응은 알파붕괴가 에너지 측면에서 일어나기 어려울 때 일어날 수 있으며, 이때 방출되는 양전자는 아주 짧은 순간 주위에 충만해 있을 전자와 쌍소멸해서 각각 0.511 MeV의 에너지를 가진 감마선 두 개를 방출한다.

전자포획의 에너지

전자포획은 원자의 궤도전자가 핵과 반응하여 양성자가 중성자로 바뀌면서 중성미자를 방출하는 현상이다. 보통 가장 내부의 K 껍질 전자가 핵과 겹치게 될 확률이 많아서 이 반응에 관여하게 된다. 이에 따라 전자포획을 K 포획(K capture)이라고도 한다. 이 과정의 핵심 반응식은 \[ ^{~~~0}_{-1}\mathrm{e} ~+~ {^{1}_{1}\mathrm{p}} ~ \longrightarrow ~ {^{1}_{0}\mathrm{n}} ~+~ \nu \] 이다. 역시 이 과정에서도 에너지가 보존되어야 하기 때문에 \[ Q = (m_P + m_e - m_D)c^2 - E_B ~ \cong ~ [M(A,Z) - M(A, Z-1)] c^2 \] 으로, 어미핵에 하나의 전자의 질량을 더한 것과 딸핵의 질량차에다가 전자의 결합에너지 $E_B$를 보상한 값이다. 여기서 딸핵이 만든 딸원자는 전자를 하나 제거한 것으로 질량 $M(A, Z-1)$에는 $m_e c^2$ 항이 반영되어 있다. 따라서 \[ \begin{equation} \label{eq3} {\large \boxed{ M(A,Z) \gt M(A, Z-1) }} \end{equation} \] 인 조건에서 이 반응이 일어날 수 있다는 것을 알 수 있다. 이는 앞서의 \eqref{eq2} 식의 양전자방출에서 보다 약한 조건이어서 어미원자의 질량이 딸원자의 질량보다 크기만 하면 일어날 수가 있다. 즉, 두 원자의 질량차이가 전자-양전자 쌍을 생성할 만큼 되지 않는다면 전자포획이 일어날 수 있다.

전자포획의 과정에서 방출된 에너지는 결국 딸핵과 중성미자의 운동에너지로 나뉘는 데 핵은 질량이 중성미자에 비해서 상대적으로 훨씬 커서 거의 모든 에너지를 중성미자가 가지게 된다. 즉 \[ Q \cong K_\nu \] 한편 이 반응에서 생성된 딸핵은 외부 전자가 비게된 내부 전자의 자리를 차지하면서 연쇄적으로 X선이나 오제 전자(Auger electron)를 방출한다.

[질문1] $^{22}_{11}\mathrm{Na}$은 $K$ 각의 전자를 포획해서 $^{22}_{10}\mathrm{Ne}$으로 변한다. $^{22}_{11}\mathrm{Na}$과 $^{22}_{10}\mathrm{Ne}$의 질량은 각각 22.001404 u, 21.998352 u 이고, $K$ 전자의 결합에너지가 1.08 keV 이다. 이 반응에서의 Q 값은 얼마인가? 이 반응이 일어날 때 1.277 MeV의 감마선이 덩달아 나온다. 이 경우 중성미자가 가지는 에너지는 얼마인가?

[질문2] $A=7$인 핵은 두 가지로 하나는 원자질량이 7.01600 u 인 $^{7}_{3}\mathrm{Li}$이고 다른 하나는 원자질량이 7.01693 u 인 $^{7}_{4}\mathrm{Be}$이다. 이들 둘 중에서 하나는 여러 형태의 베타붕괴 중 하나를 할 가능성이 있다. 어떤 것일까? 또한 이것은 어떤 베타붕괴를 할 수 있을까?

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