알파붕괴

알파붕괴의 에너지

알파붕괴는 핵에서 오직 하나의 알파입자가 방출되는 현상이므로 마치 두 물체의 충돌과 같아서 에너지와 운동량에 대한 보존법칙을 고려하면 튀어나오는 알파입자의 에너지가 하나의 값으로 정해진다. 붕괴하는 처음 핵이 정지해 있다고 하면 이 과정에서 방출되는 에너지, 즉 Q 값은 \[ Q = (m_P - m_D - m_\alpha) c^2 \cong [M(A,Z) - M(A-4, Z-2) - M(4,2)] c^2 \] 이다. 여기서 $m_P$은 어미핵의 질량, $m_D$은 딸핵의 질량, $m_\alpha$은 알파입자의 질량이다. 그리고, 이들을 $M(A,Z)$ 처럼 원자의 질량을 써도 무방한 데 이는 전자의 질량이나 전자가 결합하여 원자를 구성하는 과정에서의 결합에너지 등은 미미해서 무시할 수 있기 때문이다. 이제 이 붕괴과정에서 방출되는 에너지, 즉 $Q$는 광자 등 이 에너지의 일부분을 가질 다른 입자가 없으므로 오직 딸핵과 알파입자의 운동에너지에 보태진다. 따라서 \[ Q = K_D + K_\alpha \] 이다.

한편 이 붕괴과정에서 운동량보존법칙도 만족해햐 하므로 \[ m_D v_D = m_\alpha v_\alpha \] 이다. 이로부터 딸핵과 알파입자가 각각 얼마의 $Q$를 가지는 지를 쉽게 계산할 수 있다. \[ K_\alpha = \frac{m_D}{m_\alpha + m_D}Q \] \[ K_D = Q - K_\alpha = \frac{m_\alpha}{m_\alpha + m_D} Q \] 이 결과는 $Q$를 자신의 질량의 역비로 나눠 가지는 것을 나타낸다. 주로 알파붕괴는 핵의 질량수가 큰 경우에 일어나므로 대부분의 경우 딸핵의 질량이 알파입자의 질량에 비해서 훨씬 크다. 따라서 $Q$의 대부분은 알파입자가 가진다. 이제 이들 핵의 질량이 질량수 $A$에 비례하는 것을 고려하면 \[ \begin{equation} \label{eq:eq1} K_\alpha \cong \frac{A-4}{A}Q \end{equation} \] \[ K_D \cong \frac{4}{A}Q \] 이다. 특정한 핵의 알파붕괴에서 Q 값이 정해져 있으므로 알파입자의 운동에너지 역시 한 값으로 정해진다.

한 예로서 $^{240}_{~~94}\mathrm{Pu}$는 두 종류의 알파붕괴를 해서 $^{236}_{~~92}\mathrm{U}$가 되는 데 이때 방출되는 알파입자는 각각 5.17 MeV, 5.12 MeV의 운동에너지를 가진다. 이 반응에 해당하는 각각의 Q 값은 \eqref{eq:eq1} 식으로부터 계산된다. \[ Q_1 \cong \frac{240}{236} \times 5.17 ~\mathrm{MeV} \cong 5.26~ \mathrm{MeV} \] \[ Q_2 \cong \frac{240}{236} \times 5.12~ \mathrm{MeV} \cong 5.21~ \mathrm{MeV} \] 이 예를 보면 5.21 MeV 의 붕괴에서의 생성되는 딸핵 $^{236}_{~~92}\mathrm{U}$ 는 이 핵의 여기상태로서 다시 붕괴를 해서 0.05 MeV의 에너지를 방출하여 바닥상태로 떨어질 것으로 쉽게 예상할 수 있다.

다음 그림은 $^{228}_{~~90}\mathrm{Th}$이 다섯 종류의 알파붕괴를 해서 $^{224}_{~~88}\mathrm{Ra}$의 들뜬상태나 바닥상태로 떨어지는 것을 보여준다. 라듐의 들뜬상태는 적절한 감마붕괴를 통해서 최종적으로 바닥상태로 간다.

[질문1] 위 그림에서 나타낸 토륨의 알파붕괴에서 알파입자의 운동에너지 $K_\alpha$로부터 각각의 $Q$값을 계산하라. 이로부터 토륨의 다섯가지 감마붕괴 각각의 방출에너지를 추정하라.

[질문2] 가상의 핵 X의 질량수는 204이고 이의 핵자당 결합에너지는 8 MeV이다. 이들을 전부 양성자와 중성자로 분리하는 데는 얼마의 에너지가 필요로 할까? 한편 이 핵이 알파 붕괴를 하여 Y 핵이 된다. 이 핵의 핵자당 결합에너지가 8.1 MeV라고 할 때 방출되는 에너지는 모두 얼마일까? 단 알파입자의 결합에너지는 28 MeV라고 가정하자.

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