알파붕괴

알파붕괴의 확률

알파붕괴는 장벽을 투과하는 영자역학적인 현상이다.

알파붕괴는 앞에서 정성적으로 설명한 것처럼 알파입자가 핵의 가장자리에 형성한 퍼텐셜장벽을 통과해서 나가는 양자역학적의 장벽투과(터널효과)로 이해할 수 있다. 오른쪽 그래프에서 핵 속의 알파입자가 핵의 나머지 구성으로부터 느끼는 퍼턴셜을 나타내었다. 실제의 퍼텐셜은 푸른색 선으로 나타내었는 데 이는 핵 속에서는 강력한 핵력에 의해 퍼텐셜 우물이, 바깥에서는 양전하 사이의 척력의 퍼텐셜이 합해진 것이다. 고전적으로는 $Q$의 에너지를 가진 알파입자는 $U_{\text{peak}}$의 높은 퍼텐셜을 넘어서 바깥으로 나갈 수 없는 데 양자역학이라면 가능할 수 있다. 이제 양자역학을 적용해서 붕괴가 일어날 확률이나 수명 등을 정량적으로 다루어 보자. 이에 대해서는 앞서 '현대물리' 단원의 '퍼텐셜 장벽' 절에서 근사적인 접근을 하였다. 우선 뾰족하게 되어 있는 퍼텐셜을 직사각형으로 단순하게 보도록 하자. 즉 $d$의 두께를 가지고, 장벽의 높이가 $U_0$인 퍼텐셜 장벽에 $Q$인 에너지의 입자가 접근했을 때 \[ \begin{equation} \label{eq:eq1} |T|^2 \cong \left( \frac{4k\kappa}{k^2+\kappa^2} \right)^2 e^{-2\kappa d} \end{equation} \] 의 확률로 이 장벽을 투과할 수 있다. 여기서 \[ k = \frac{\sqrt{2m_\alpha Q}}{\hbar}, \] \[ \kappa=\frac{\sqrt{2m_\alpha (U_0-Q)}}{\hbar} \] 이다. 투과율 식에서 지수함수 부분이 결정적으로 값을 좌우하여 $\kappa d$의 크기에 따라 그 값은 크게 달라질 것을 예상할 수 있다.

토륨의 경우 장벽을 투과할 확률은 10^-40 정도로 너무 작다. 그러나 붕괴를 한다.

이 계산을 적용하는 하나의 예로서 \[ ^{232}_{~ ~ 90}\mathrm{Th} ~\longrightarrow ~{^{228}_{~~88}\mathrm{Ra}} ~+~ {^{4}_{2}\mathrm{He}} \] 의 붕괴를 고려해 보자. 이때 방출되는 알파입자의 에너지는 4.05 MeV로, 이 반응의 반감기는 140.5억 년이다.

딸핵인 라듐의 핵반경은 $R_{\mathrm{Ra}} = 1.2 A^{1/3} \mathrm{fm} \cong 7.33 ~ \mathrm{fm}$이다. 한편 퍼텐셜장벽의 높이 $U_0$는 토륨에서 알파입자가 제거된 라듐과 알파입자 사이에 작용하는 정전퍼텐셜에 의한 것으로 볼 수 있다. 장벽의 뾰족한 끝은 라듐과 알파입자의 반경을 합한 $R = 9.24~\mathrm{fm}$로 볼 수 있어서 \[ U_{\text{peak}} \sim \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{2 \times 88 \times e^2}{R} \sim 27.4~\mathrm{MeV} \] 이나 이를 직사각형의 퍼텐셜로 단순화시켜서 \[ U_0 = 14 ~ \mathrm{MeV} \] \[ d = 32 ~\mathrm{fm} \] 정도로 보자. 이들 값에 대해서 \[ k \sim 0.91 ~ \mathrm{fm}^{-1} \] \[ \kappa \sim 1.43 ~ \mathrm{fm}^{-1} \] 이다. 이제 투과율은 \eqref{eq:eq1} 식에 의해 \[ |T|^2 \sim 3.29 \times e^{-91.7} = 5.14 \times 10^{-40} \] 따라서 핵 속에서 가장자리에 1회 충돌한 알파입자는 위와 같이 매우 작은 확률로 장벽을 통과해서 밖으로 방출될 수 있다.

이렇게 거의 불가능해 보이는 확률로 장벽투과를 한다면 어째서 알파붕괴가 그런대로 일어나는 것일까? 이는 알파입자가 핵에서 매우 빠르게 운동하기 때문이다. 실제 알파입자가 핵력에 의해 핵속에서 느끼는 퍼텐셜은 앞서 페르미 기체모형에서 알아본 것처럼 40 MeV 정도 되는 데 여기에 약 4 MeV의 운동에너지를 더한 44 MeV로 돌아다닌다. 구형의 핵속에서 왕복운동을 한다고 보면 $2R_{\mathrm{Ra}}$의 거리를 수없이 오가게 된다. 이때 양쪽 가장자리를 오가는 시간은 \[ t \sim \frac{2R_{\mathrm{Ra}}}{v_\alpha} = 3.3 \times 10^{-22} ~ \mathrm{sec} \] 으로 1초에 약 $3.1 \times 10^{21}$회의 충돌을 하게 된다. 따라서 1초에 붕괴가 일어날 확률 즉, 붕괴상수는 이 충돌회수에 투과율을 곱하면 된다. \[ \lambda_\alpha \sim 1.6 \times 10^{-18} ~ \mathrm{sec}^{-1}. \] 이로부터 계산되는 평균수명은 약 200억 년, 반감기는 약 140억 년으로 토륨의 붕괴특성을 잘 맞추고 있다. 여기서의 계산은 퍼텐셜 모양을 단순화 한 것으로 실제로 두께나 높이를 조금만 달리 잡아도 결과는 크게 달라진다. 즉 정확한 결과가 나온 것은 우연에 가깝다. 그러나 예를 들어 WKB 근사법 등으로 보다 정교하게 계산하면 결과는 정확해진다. (다음 페이지에서 다룬다)

[질문1] 토륨의 예에서 방출되는 알파입자의 에너지가 5 MeV이라면 붕괴확률은 훨씬 커질 것으로 예상할 수 있다. 위와 똑같이 퍼텐셜을 단순화해서 같은 계산을 해 보자. 붕괴상수는 얼마가 될까?

[질문2] 토륨의 예에서 퍼텐셜을 직사각형으로 단순하게 취급하였다. 만일 $U_0 = 13 ~ \mathrm{MeV}$으로 하였다면 붕괴확률은 얼마로 달라질까?

[질문3] 토륨의 예에서 퍼텐셜을 실제 모양 그대로로 계산해야 하는 것뿐만 아니라 (a) 알파입자가 방출되면서 가지는 에너지 대신 $Q$를 써야 하고, (b) 알파입자의 질량 대신 이의 환산질량을 써야 하고, (c) 퍼텐셜 장벽의 모형을 핵에서 우물형태로 깊어진 모형을 써야 하고, (d) 3차원의 중심력장의 퍼텐셜로 보아야 하는 점 등 개선할 여러 가지가 있다. 이들 각각을 구체적으로 설명하라.

_ 페르미 기체모형_ WKB 근사법_ 퍼텐셜 장벽_ 터널효과_ 환산질량_ 붕괴상수_ 평균수명_ 양자역학_ 반감기_ 투과율_ 딸핵_ 핵력