알파붕괴

알파붕괴의 양자역학적 해석

WKB 근사법으로 알파붕괴 과정을 정교하게 계산한다.

'WKB 근사법' 절에서 설명한 대로 임의의 함수의 퍼텐셜 장벽을 통과하는 파동함수의 투과율을 보다 정교하게 계산할 수 있다. 즉 투과율은 \[ \mathcal{T} = \exp (-2 \gamma) = \exp \left(- \frac{2}{\hbar} \int dr \sqrt{2m[U(r)-E]} \right) \] 으로 퍼텐셜의 장벽 영역에 대해 적분하여 계산할 수 있다. 여기서 $E$는 입자의 에너지로 이것이 방출되었을 때의 운동에너지인 Q 값과 거의 같다. 핵속에서 알파입자가 자신을 제외한 핵의 나머지 부분, 즉 딸핵으로부터 느끼는 퍼텐셜은 다음 그림처럼 두 영역으로 나누어 생각할 수 있다. 즉 핵 내부의 핵력에 의한 강한 인력과 핵 바깥의 양성자에 의한 전자기적인 척력을 만드는 퍼텐셜이다. 핵력은 상대적으로 짧은 거리에서 전자기력보다 훨씬 크게 작용하므로 핵 내부에서는 약 40 MeV의 깊이를 가지는 퍼텐셜 우물을 만들고, 핵을 벗어난 지점부터는 전자기 퍼텐셜이 퍼텐셜 장벽을 형성하는 것으로 간략화시킨다.

중심으로부터 거리 $r$에서 알파입자가 느끼는 퍼텐셜은 \[ U(r) = \begin{cases} -U_b & r \lt R, \\ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 }\frac{2 Z_D e^2}{r} & r\ge R \\ \end{cases} \] 이다. 여기서 정전퍼텐셜은 딸핵의 전하량 $Z_D e$와 알파입자의 전하량 $2e$에 의한 것이다. 한편 이 퍼텐셜에서 장벽으로 작용하는 구간은 핵의 반경 $R$부터 $b$까지인 데 이 $b$는 정전퍼텐셜이 $Q$와 같아지는 지점이다. \[ b = \frac{Z_D e^2}{2\pi \varepsilon_0 Q}. \] 이제 WKB 근사법에서의 적분은 다음과 같다. \[ \begin{equation} \label{eq1} \gamma = \frac{1}{\hbar} \int^b_R \sqrt{2m\left(\frac{Z_D e^2}{2\pi \varepsilon_0 r } - Q \right)} dr =\frac{\sqrt{2mQ}}{\hbar} \int^b_R \sqrt{\left(\frac{b}{r} - 1 \right)} dr \end{equation} \] 이는 해석적으로 적분이 된다. 즉 \[ \gamma = \frac{1}{\hbar} \sqrt{\frac{m}{2Q}} \frac{Z_D e^2}{\pi \varepsilon_0 } \left[ \cos^{-1} \sqrt{\frac{R}{b}} - \sqrt{\frac{R}{b} \left( 1-\frac{R}{b} \right) } ~ \right] \] 이다. 이로부터 딸핵의 종류와 Q 값이 주어진다면 $\gamma$가 바로 계산된다.

한편 장벽이 높고 넓다면 $y=\frac{R}{b}$가 1 보다 훨씬 작은 값이 되므로 \[ \cos^{-1} \sqrt{y} - \sqrt{y ( 1-y ) } \cong \frac{1}{2} \pi - 2 \sqrt{y} \] 으로 근사시킬 수 있다. 이 경우, \[ \gamma \cong \frac{1}{\hbar} \sqrt{\frac{m}{8Q}} \frac{Z_D e^2}{\varepsilon_0 } - \frac{2}{\hbar} \sqrt{\frac{Z_D e^2 m R}{ \pi \varepsilon_0}} \] 으로 된다.

앞서 퍼텐셜을 직사각형으로 간결하게 처리할 때 고려했던 것처럼 같은 절차로 핵 속을 왕복운동하는 충돌횟수를 반영해서 붕괴확률을 계산한다. 즉 반경 $R$의 구를 가로지르는 시간은 \[ t = \frac{2R}{v} = \sqrt{\frac{2mR^2}{Q+U_b}} \] 여기서 핵 속에서 알파입자의 속력 $v$를 계산할 때 퍼텐셜 깊이 $U_b$를 반영하여 이의 운동에너지가 $Q+U_b$인 것을 이용하였다. 이제 붕괴상수는 \[ \lambda_\alpha = \frac{e^{-2\gamma}}{t} \] 이고 반감기는 다음과 같이 붕괴상수로 부터 구해진다. \[ \begin{equation} \label{eq2} T_{\frac{1}{2}} = \frac{\ln 2}{\lambda_\alpha} = \ln 2 ~ e^{2\gamma} ~ t \end{equation} \] 이는 $\gamma$가 $Q$에 대해 상수항과 $\frac{1}{\sqrt{Q}}$의 의존항이 있다는 것으로부터 다음과 같은 형식으로 정리되어 이를 가이거-너톨 법칙(Geiger-Nuttall law)이라 한다. \[ \fbox{$ \ln T_{\frac{1}{2}} = a + \frac{d}{\sqrt{Q}} $} \] 여기서 $a$와 $d$는 $z_D, m, R$ 등과 관련되어 이들로 부터 구할 수 있지만 여러 종류의 알파붕괴에서 측정한 반감기로부터도 확인된다. 반감기를 sec로, $Q$를 MeV로 나타낼 때 이들 값은 다음과 같다. \[ a \cong -1.61 Z_D^{\frac{2}{3}} - 21.4, \] \[ d \cong 1.61 Z_D. \] 이러한 경험값은 \eqref{eq2} 식으로 구한 값과 차이가 있을 수 있는 데 이는 WKB 근사를 쓴 점과 핵의 반경 $R$을 $Z_D$로부터 추정하는 데 따른 모호함 등이 영향을 미치기 때문이다. 실제로 핵의 반경 $R$을 $r_0 A^{\frac{1}{3}}$으로 볼 때의 $r_0$가 보편값 1.2 fm 이 아니라 1.4 fm 과 1.5 fm 사이의 어떤 값일 때 경험식에 잘 맞는다. 이는 앞서 직사각형 장벽으로 간단하게 취급할 때 알파입자의 반경까지 고려한 것처럼 $R$이 핵의 반경보다 크게 평가되어야 한다는 것을 말한다.

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가이거(Hans Geiger, 1882-1945)_ 가이거는 독일의 물리학자로서 1908년 알파입자를 계측하는 가이거 계수기를 고안하였다. 이 계수기는 뒤에 뮐러(W. Muller)에 의해 개량되어서 가이거-뮐러 계수기(Geiger-Muller counter: GM 계수기)로도 불린다. 또한 1911년 너톨(J. M. Nuttal)과 함께 알파붕괴의 수명과 $Q$ 값의 간단한 관계를 측정치로부터 맞추었다.

위 그래프는 원자번호 70인 Yb부터 88인 Ra까지 양성자와 중성자가 모두 짝수인 동위원소의 알파붕괴의 Q 값과 반감기의 관계를 보여주고 있다. 각각의 직선은 측정값을 가이거-노톨 법칙으로 맞춘 것이다. 동위원소들은 $Z_D$가 같으므로 $a$와 $d$가 동일한 값을 가지는 것으로 볼 수 있다. 직선의 기울기는 $Z_D$에 비례하므로 $Z_D$가 커짐에 따라 점점 커지는 것을 보여준다. 대체로 10개의 동위원소들이 직선에 놓여 있으나 Po의 경우는 많이 벗어나 있다.

한편 구형의 퍼텐셜 장벽에 둘러싸인 알파입자를 3차원으로 다룰 때는 각운동량에 의한 기여를 퍼텐셜에 반영해서 1차원으로 해석할 수 있다. 따라서 여기서 다룬 내용은 각운동량이 0 인 경우에 해당한다. 양성자와 중성자가 모두 짝수일 때에는 알파입자의 각운동량이 0 이므로 위의 경험식에 잘 들어맞는다. 한편, 각운동량이 있는 일반적인 상황은 \[ U^*(r) = U(r) + \frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2} \] 의 유효퍼텐셜을 도입하여 풀이한다. 따라서 $l\neq 0$인 경우는 위 식의 맨 오른쪽 항에 의해 퍼텐셜 장벽은 더욱 높아지고 알파붕괴의 확률도 줄어들 것으로 예상할 수 있다.

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