알파붕괴

알파입자와 물질의 상호작용

방사선은 물질을 이온화시키면서 점차 에너지를 잃는다.

알파입자는 투과율이 매우 약하다. 상당한 에너지를 가진 것이라도 공기 중에서 수 cm 진행을 하고, 더구나 피부조직에서는 수 μm 진행하면 모든 에너지를 잃어버린다. 운동에너지를 다 잃은 알파입자는 주변의 전자 둘을 붙잡아서 헬륨 원자가 될 것이다. 알파입자가 물질 속으로 들어가면 물질을 구성하는 전자들과 정전기력으로 이들을 여기시키거나 이온화시키면서 에너지를 잃어버린다. 이렇게 잃어버리는 에너지는 고전론의 기반으로 보어가 처음으로 계산했다.

옆 그림에서 나타낸 것처럼 $ze$의 전하를 가진 무거운 입자가 물질을 구성하는 전자와 충돌하는 상황을 생각하자. 중간자$(\pi^{\pm})$나 뮤온$(\mu)$, 양성자$(p)$, 알파입자$(\alpha)$ 등은 전자보다 200배 이상으로 무거워서 이러한 입자로 생각할 수 있다. 질량 $m$의 입자선은 속도 $v$로 진행하여 물질 속의 전자에게 에너지를 전달한다. 전자는 기껏 수십 eV 정도의 에너지로 구성원자에 잡혀 있으므로 MeV의 입자선의 에너지와 견주어서 거의 자유롭게 움직인다고 볼 수 있고, 또 처음에는 정지상태로 있다고 볼 수 있다. 그리고 입자선은 상대적으로 무거워서 하나의 전자와의 상호작용으로는 거의 운동경로가 변하지 않을 것이다. 이 과정에서 입사입자의 진행경로에서 $b$ 떨어진 하나의 전자에게 전달하는 운동량은 \[ \begin{equation} \begin{split} \Delta p_{\bot} &= \int F_{\bot}(x) dt = \int F_{\bot}(x) \frac{dt }{dx} dx = \int F_{\bot}(x) \frac{1}{v} dx \\ &= \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ze^2}{x^2+b^2} \frac{b}{\sqrt{x^2+b^2}} \frac{1}{v} dx = \frac{ze^2b}{4\pi \varepsilon_0 v} \left[ \frac{x}{b^2 \sqrt{x^2+b^2}} \right]_{-\infty}^{\infty} \\ &= \frac{ze^2}{2\pi \varepsilon_0 bv} \end{split} \label{eq1} \end{equation} \] 이다. 이 계산에서 입자의 경로에 대해 수직인 방향으로의 힘만 고려했다. 빠른 입자가 전자를 통과하는 과정에서 전자는 거의 그 위치를 고수하므로 힘의 수평성분은 평균적으로 0 으로 볼 수 있기 때문이다.

전자는 입자선의 경로에 수직한 방향으로 약간의 운동량을 얻게 되어 다음의 에너지를 얻을 것이다. \[ \Delta K_e(b) = \frac{\Delta p_{\bot}^2}{2m_e} \] 물질에는 전자가 풍부하게 있으므로 각각의 전자로부터 잃는 에너지를 모두 반영해야 한다. 이때 물질이 가지는 모든 전자를 대상으로 삼아야 하며, 이의 밀도를 $n$이라 하자. 충격변수(impact parameter)가 $b\sim b+db$이며, 길이가 $dx$인 원기둥의 껍질에는 $n \cdot 2\pi b~db~dx$개의 전자가 있으므로 (오른쪽 그림) 입자의 운동에너지의 손실은 \[ -dK(b) = \frac{\Delta p_{\bot}^2}{2m_e} n \cdot 2\pi b ~ db ~ dx = \frac{nz^2 e^4}{4\pi \varepsilon_0^2 m_e v^2 } \frac{db}{b} dx \] 이다. $b_{\text{min}}\sim b_{\text{max}}$ 범위의 전자 모두에 대해 단위길이 진행에 대해 잃는 에너지를 계산하면, \[ \begin{equation} \label{eq2} -\frac{dK}{dx} =\frac{nz^2 e^4}{4\pi \varepsilon_0^2 m_e v^2 } \int_{b_{\text{min}}}^{b_{\text{max}}} \frac{db}{b} = \frac{nz^2 e^4}{4\pi \varepsilon_0^2 m_e v^2 } \ln \left( \frac{b_{\text{max}}}{b_{\text{min}}} \right) \end{equation} \] 이다.

여기서 당연히 $b_{\text{min}}=0$인 데 이렇게 두면 적분결과가 $\infty$로 발산하여 문제가 생긴다. 실제로 이 상황은 정면충돌에 해당되어 앞서와 같은 근사를 적용할 수 없다. 상대적으로 아주 무거운 입자가 전자를 정면충돌$(b=0)$하므로 전자는 $2v$의 속도를 얻게 되고, 입자선은 $\frac{1}{2}m_e(2v)^2=2m_ev^2$의 에너지를 잃는다. 이에 해당하는 $b$를 $b_{\text{min}}$으로 두는 것이 합리적이다. 즉, \[ \begin{equation} \label{eq3} b_{\text{min}} = \frac{ze^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e v^2} \end{equation} \] 이 논의를 불확정성원리로 바꾸어 해석할 수 있다. 입자선이 보기에는 전자가 $v$로 다가오고 있으므로 상대론적인 운동량은 $\gamma m_e v$이다. 여기서 $\gamma$는 로렌츠 인수 $1/\sqrt{1-v^2/c^2}$이다. 이러한 운동량을 가지는 전자는 그 위치가 최소한 $b_{\text{min}}$의 정도의 불확정도를 가지는 것으로 볼 수 있으므로 \[ \begin{equation} \label{eq4} b_{\text{min}} \approx \frac{\hbar}{p_e} = \frac{\hbar}{\gamma m_e v} \end{equation} \] 이 된다.

한편 $b_{\text{max}}$도 최댓값이 무한대이므로 \eqref{eq2} 식은 역시 무한대가 된다. 이것도 에너지-시간 불확정성원리원리를 적용하여 해석하자. 입자선이 빠르게 전자를 스쳐 지나가므로 아주 짧은 순간 전자에 힘을 작용한다. 즉, 힘은 대체로 $b$의 거리를 입자선이 가로지르는 시간 동안 작용하는 펄스로 볼 수 있다. 이 거리는 상대론적 길이수축에 의해 $b/\gamma$이고, 따라서 힘이 작용하는 시간은 $\Delta t \approx b/\gamma v$이다. 한편 입자선은 물질의 구성원자에 매달린 전자를 이온화시키는 데 이의 에너지는 물질에 따라 다르지만 대체로 그 평균값은 정해져 있다. 이 값을 평균이온화퍼텐셜(mean ionization potential)이라 하는 데, 이를 $\bar I$로 표기하자. 에너지-시간 불확정성원리에 의하면 이러한 에너지의 변화를 수반하는 데는 $\Delta t \approx \hbar/\Delta E \approx \hbar/\bar I$ 정도의 시간보다 짧은 시간이 필요하여 $b$의 상한선이 정해진다. 즉, \[ \begin{equation} \label{eq5} b_{\text{max}} \approx \gamma v \frac{\hbar}{\bar I} \end{equation} \] 이제 \eqref{eq4}의 $b_{\text{min}}$와 \eqref{eq5}의 $b_{\text{max}}$를 반영해서 에너지 손실률을 정리하면, \[ -\frac{dK}{dx} = \frac{nz^2 e^4}{4\pi \varepsilon_0^2 m_e c^2 \beta^2 } \ln \left( \frac{m_e c^2 \beta^2 \gamma^2}{\bar I} \right) \] 이다. 여기서 $\beta = v/c$이다. 평균이온화퍼텐셜은 물질을 구성하는 원자번호에 비례하여 $\bar I \sim 10\cdot Z ~ \text{eV}$ 정도 된다.

베테-블로흐 공식: 무거운 이온이 물질 속의 전자로부터 에너지를 빼앗기는 비율이다.

앞의 계산과정에서 부분적으로 양자론의 논리를 이용하였으나 양자역학의 산란이론으로부터 베테(Bethe) 등이 이를 엄밀히 계산할 수 있었다. 이를 베테-블로흐 공식(Bethe-Bloch Formula)이라 하며, \[ \begin{equation} \label{eq6} {\large \boxed{ -\frac{dK}{dx} = \frac{nz^2 e^4}{4\pi \varepsilon_0^2 m_e c^2 \beta^2 } \left[ \ln \left( \frac{ \color{#2222FF}{2} ~ m_e c^2 \beta^2 \gamma^2}{\bar I} \right) \color{#2222FF}{ - \beta^2 } \right] }} \end{equation} \] 이다. 고전론에 비해서 $\ln$ 항에서는 단지 2배 차이난다. 어쨌거나 이는 무거운 하전입자의 에너지의 손실이 그것의 질량에는 무관하고 단지 전하량 $ze$와 속도 $v$(즉, $\beta$와 $\gamma$)에만 관련되어 있다는 것을 보여준다. 여기서 마지막 항은 전자의 밀집 때문에 전기장을 가려막는 효과를 반영한 보정항으로 경우에 따라 추가의 보정항이 더 도입될 수도 있다.

베테-블로흐 공식에서 전자의 밀도 $n$은 물질에 포함된 모든 전자를 반영해야 하므로 아보가드로 수 $N_A$와 원자번호 $Z$, 질량수 $A$, 밀도 $\rho$, 몰질량상수 $M_u$로부터 다음과 같이 계산된다. \[ \begin{equation} \label{eq7} n = \frac{N_A\cdot \rho Z}{M_u A} \end{equation} \]

저지능, 저지범위: 입사입자는 저지당하여 결국 정지하게 된다.

\eqref{eq6}의 베테-블로흐 공식에서 우측 $[\cdots]$의 앞 항은 \eqref{eq7} 식을 이용하면 \[ \frac{\rho z^2}{\beta^2} \frac{Z}{A} \left\{ \frac{N_A e^4}{4\pi \varepsilon_0^2 M_u m_e c^2 } \right\} \] 이다. 이 식에서 $\{\cdots\}$은 전부 기본상수들로 표현되어 있다. 이것을 계산하면 다음과 같다. \[ \begin{equation} \label{eq8} \Lambda = \left\{ \frac{N_A e^4}{4\pi \varepsilon_0^2 M_u m_e c^2} \right\} ~\approx 4.92 \times 10^{-15} ~ \text{J m}^2\text{/kg} ~\approx 0.307 ~ \text{MeV cm}^2\text{/g} \end{equation} \] 베테-블로흐 공식 보다 실용적으로 \[ \begin{equation} \label{eq9} -\frac{dK}{dx} = \frac{\rho z^2}{\beta^2} \frac{Z}{A} \Lambda \left[ \ln \left( \frac{2 m_e c^2 \beta^2 \gamma^2}{\bar I} \right) - \beta^2 -\delta \frac{\beta \gamma}{2} \right] \end{equation} \] 으로 표현된다. 여기서 $-dK/dx$는 입자가 진행하는 반대방향으로 받는 일종의 힘으로 이 때문에 입사입자는 속도를 점차 잃어서 결국 멈춘다. 따라서 이를 저지능(stopping power)이라 한다. 저지능은 입사입자의 에너지와 물질의 밀도, 원자량 등으로 결정되는 값이다. 이 저지능을 물질의 밀도로 나눈 값을 질량저지능(mass stopping power)이라 한다. 한편 입사입자는 물질 속에서 멈추게 되는 거리로 저지범위(stopping range)를 정의한다. 처음에 $K_0$의 입자가 진입한다고 하면 저지범위는 \[ R(K_0) = \int_{0}^R dx = \int_{K_0}^0 \frac{dx}{dK} dK = \int_0^{K_0} \frac{1}{-dK/dx} dK \] 이다. $-dK/dx$이 대체로 $\beta^{-2}$에 의존하며, 또한 $\beta^2 = 2K/mc^2$이므로 \[ R(K_0) \approx \frac{2}{mc^2 \rho z^2~\Lambda} \frac{A}{Z}\int_0^{K_0} \frac{K}{[\cdots]} dK ~\sim~ \frac{1}{mc^2 \rho z^2 ~\Lambda} \frac{A}{Z} \frac{1}{[\cdots]} K_0^2 ~\propto ~ K_0^2 \] 으로 대체로 $K_0^2$에 의존한다. 여기서 $[\cdots]$는 \eqref{eq9}에서의 $[\cdots]$항으로 $K_0$의 의존정도가 작으며, 보통 10 정도의 크기를 가진다. 이로부터 5 MeV의 알파입자가 물질에서 얼마의 거리를 진행하는지를 추정해보자. 이 경우 $z^2 = 4$이고, 또한 $\beta^2 \sim 2.5 \times 10^{-3}$ 이므로 이의 질량저지능은 $\sim 2.0 \times 10^3 ~ \text{MeV cm}^2\text{/g}$이다. 알파입자가 플라스틱처럼 가벼운 물질에 진입하게 되면 ~ 0.03 mm 정도에서 모두 저지(차단)될 것이다.

[질문1] \eqref{eq1} 식의 전개과정을 가우스 법칙으로 계산하라. 힌트: 전자를 중심으로 두고, 입자의 경로방향$(x)$으로 반경 $b$인 무한히 긴 원통을 가정하여 가우스 법칙을 적용한다. 이때 입자는 원통의 표면을 원통이 놓인 방향으로의 직선으로 따라가게 될 것이다. 이 경로의 각 위치에서의 전기장$(E)$의 표면에 수직한 성분은 다음 식을 만족한다. \[ \int_{\text{cylinder}} E_{\bot}(x) da = \int_{-\infty}^{\infty} E_{\bot}(x) (2\pi b) dx = \frac{ze}{\varepsilon_0} \]

[질문2] \eqref{eq8}의 계산을 확인하라. 여기서 $M_u$는 몰질량상수(molar mass constant)로 $^{12}\mathrm{C}$의 몰당 질량을 이 상숫값의 12배가 되도록 정의한 것이다. 따라서 이 값은 $10^{-3}\text{kg/mol} = 1\text{g/mol}$이다.

[질문3] 공기의 평균이온화퍼텐셜$(\bar I)$는 $1.38 \times 10^{-17} \text{J}$이다. 5 MeV의 알파입자가 정지하기까지 얼마나 많은 이온쌍을 만들까? 이때의 각 이온이 2차의 이온을 생성하지 않는다면 음극에 얼마나 많은 양전하가 쌓이게 되는가?

[질문4] 베테-블로흐 공식은 입사입자의 속력 $\beta=v/c$의 함수로 표현되어 있다. $\beta$의 함수로서의 그래프의 대강 모양을 그려보아라. 적절한 $\beta$에서 최솟값을 가진다. 이 값에서의 입사입자의 운동에너지를 추정하라. $\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}$임을 유의해야 한다. (단 $\delta=0$으로 두자)

[질문5] 같은 초기속도를 가진 알파입자와 양성자의 저지범위가 거의 같이 주어지는 것을 보여라. 보다 엄밀하게 계산하면 이는 맞지 않는 데 왜 그런가? 어느 입자의 저지범위가 더 짧을지를 추정하라.

[질문6] 단열불변의 원리(adiabatic invariant)에 의하면 두 에너지 준위 사이의 전이 시간보다 더 느리게 일어나는 과정, 즉 단열과정에서는 양자상태 사이의 전이가 일어나지 않는다. 따라서 $\tau$는 충분히 짧아서 $1/\omega_e$은 되어야 전자의 상태변화가 유발되는 것이다. 여기서 $\omega_e$는 물질의 원자나 분자에 속박된 전자의 진동수로 $\bar I = \hbar \omega_e$이다. 이러한 논지로 \eqref{eq5}를 해석하라.

[질문7] 여기서는 $b_{\text{min}}$와 $b_{\text{max}}$를 불확정원리나 단열불변의 원리를 이용하여 \eqref{eq2}를 계산했다. 한편 \eqref{eq3} 식에서처럼 $b_{\text{max}}$도 고전론에 입각해서 계산할 수 있다. 한 전자에 의해 전달받는 에너지 $\Delta K_e$는 적어도 $\bar I$가 되어야 원자에 속박된 전자를 이온화시킬 수 있다는 것으로부터 $b_{\text{max}}$를 구하고, 이 관계와 \eqref{eq3}을 이용해서 $-dK/dx$를 계산하라. (※ 이 결과는 본문의 결과와 상수 정도의 차이가 있을 것이다)

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