보어의 원자모형

고에너지의 알파입자가 핵을 지나칠 때 핵의 + 전하에 의해 밀려나면서 진로가 꺾어진다. 접근하는 거리에 따라서 알파입자가 편향되는 각도를 간단한 이론으로 전개해 보자. 알파입자의 $+2e$의 전하는 핵의 $+Ze$의 전하에 의해 쿨롱힘을 받는 데 핵 가까이로 쏘여진 입자일수록 그 힘은 더 크게 작용해서 큰 각으로 편향될 것이다. 대칭성에 의해서 편향각은 힘이 없을 때 핵을 스쳐지나가는 거리에만 의존할 것이다. 이 거리, 즉 처음에 입자가 향하는 직선과 핵 사이의 거리를 충격변수( impact parameter) 라고 한다. 이제 이 충격변수 $b~$의 함수로 편향각 $\theta~$을 표현하는 식을 유도할 수 있다.

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라더포드 산란_ 알파입자가 핵에 접근할 때 밀어나는 힘에 의해 편향되는 것을 나타내고 있다.

쿨롱의 척력이 전 운동과정에서 작용하여 알파입자를 밀어낼 때 작용하는 충격량만큼 운동량이 변한다. 즉, \[ \Delta p_y = \int F_y dt = 2e \int E_y dt = 2e\int E_y \left( \frac{ds}{v} \right) \] 이다. 여기서 $2e$는 알파입자의 전하로 핵에 의해 형성된 전기장 $\mathbf{E}$에 의해 힘을 받는다. $y$ 방향만 나타낸 것은 이론을 간단히 하기 위해서 편향각이 작다고 가정하여 운동량의 변화에서 $y$ 방향만 주목하기 위해서이다. $y$는 운동이 이루어지는 평면에서 처음에 알파입자가 향하는 방향($x$)에 수직한 성분을 나타낸다. 이 경우 알파입자의 경로는 거의 $x$ 방향으로 형성될 것이고, 따라서 $ds\approx dx$으로 볼 수 있다. \[ \Delta p_y \approx \frac{2e}{v} \int E_y dx = \frac{2e}{(2\pi b)v} \int E_y (2\pi b) dx \] 이다. 여기서 $2\pi b dx$는 $b$의 반경을 가진 원통형 고리의 면적 $dA$ 이므로 \[ \Delta p_y \approx \frac{e}{\pi bv} \oint \mathbf{E} \cdot d \mathbf{A}. \] 이 적분은 핵을 반경 $b$인 원기둥의 중심에 놓고 이에 대해 가우스 법칙을 적용하면 이 식은 다음과 같이 된다. \[ \Delta p_y \approx \frac{e}{\pi bv} \left( \frac{Ze}{\varepsilon_0} \right) = \frac{Z e^2}{\pi\varepsilon_0 bv} \] 앞의 그림에서 나타낸 것 처럼 $\Delta p_y = p \tan \theta~$이므로 이를 위 식에 대입해서 \[ \begin{equation} \label{eq0} p \tan \theta \approx \frac{Z e^2}{\pi \varepsilon_0 bv} \end{equation} \] 을 얻는다.

엄밀한 산란 관계식

실제의 라더포드 실험조건에서 앞서 근사적으로 전개한대로 편향이 매우 작게 일어나지만 경우에 따라서 아주 큰 산란각으로 편향되는 경우가 있다. 이때에는 연속적으로 변화되는 경로를 따라가면서 이 과정에서의 전체 충격량을 정교하게 계산해야 한다. 이렇게 계산하면 단지 \eqref{eq0} 식의 $\tan \theta~$를 $2 \tan \theta/2~$로 대치하면 되는 데 이들은 편향각이 작을 경우에는 일치하는 양이다. 이제 정확한 산란 관계식은 \[ b = \frac{Z e^2}{2\pi \varepsilon_0 pv \tan \theta/2 } \] 이 된다. 만일 알파입자의 속력 $v$ 대신에 이의 운동에너지 $K$로 이 관계를 쓰면, \[ \begin{equation} \label{eq1} b = \frac{Ze^2}{4\pi \varepsilon_0 K} \cot \frac{\theta}{2} \end{equation} \] 이다. 이는 처음에 유도하려던 대로 $b~$를 $\theta~$로 나타낸 식이다.

[질문1] 알파입자 대신에 $-e$의 전하를 가진 전자를 핵에 접근시키면 어떤 방향으로 편향될까? 이 경우 편향각의 관계가 \eqref{eq1} 식에서 어떻게 달라질까?

[질문2] 전자가 핵과 직접 충돌하면 질문1의 공식이 더 이상 적용되지 않는다. 이 식이 적용되는 최대 산란각을 $\theta_\text{max}$라고 한다면 핵의 반경이 다음과 같이 표현되는 것을 보여라. \[ R = \frac{Ze^2}{4\pi \varepsilon_0 pv} \cot \frac{\theta_\text{max}}{2} \]

[질문3] 100 MeV의 전자를 납의 핵($R=7.5 \text{fm}$)에 쏘았다. 이때 핵에 부딪히지 않는 조건에서 가장 크게 산란하는 각은 얼마일까?