보어의 원자모형

보어의 원자모형

러더퍼드의 산란 공식

편향각이 작을 때로 근사계산한다.

고에너지의 알파입자가 핵을 지나칠 때 핵의 + 전하에 의해 밀려나면서 진로가 꺾어진다. 접근하는 거리에 따라서 알파입자가 편향되는 각도를 간단한 이론으로 전개해 보자. 알파입자의 $+2e$ 의 전하는 핵의 $+Ze$ 의 전하에 의해 쿨롱힘을 받는 데 핵 가까이로 쏘여진 입자일수록 그 힘은 더 크게 작용해서 큰 각으로 편향될 것이다. 대칭성에 의해서 편향각은 힘이 없을 때 핵을 스쳐지나가는 거리에만 의존할 것이다. 이 거리, 즉 처음에 입자가 향하는 직선과 핵 사이의 거리를 충격변수( impact parameter) 라고 한다. 이제 이 충격변수 $b~$ 의 함수로 편향각 $\theta~$ 을 표현하는 식을 유도할 수 있다.

ani

라더포드 산란_ 알파입자가 핵에 접근할 때 밀어나는 힘에 의해 편향되는 것을 나타내고 있다.

쿨롱의 척력이 전 운동과정에서 작용하여 알파입자를 밀어낼 때 작용하는 충격량만큼 운동량이 변한다. 즉,

Δ p_{y} = \int F_{y} d t = 2 e \int E_{y} d t = 2 e \int E_{y} (\frac{d s}{v})

$\Delta p_y = \int F_y dt = 2e \int E_y dt = 2e\int E_y \left( \frac{ds}{v} \right)$ 이다. 여기서

2 e

$2e$ 는 알파입자의 전하로 핵에 의해 형성된 전기장

E

$\mathbf{E}$ 에 의해 힘을 받는다.

y

$y$ 방향만 나타낸 것은 이론을 간단히 하기 위해서 편향각이 작다고 가정하여 운동량의 변화에서

y

$y$ 방향만 주목하기 위해서이다.

y

$y$ 는 운동이 이루어지는 평면에서 처음에 알파입자가 향하는 방향(

x

$x$ )에 수직한 성분을 나타낸다. 이 경우 알파입자의 경로는 거의

x

$x$ 방향으로 형성될 것이고, 따라서

d s \approx d x

$ds\approx dx$ 으로 볼 수 있다.

Δ p_{y} \approx \frac{2 e}{v} \int E_{y} d x = \frac{2 e}{(2 π b) v} \int E_{y} (2 π b) d x

$\Delta p_y \approx \frac{2e}{v} \int E_y dx = \frac{2e}{(2\pi b)v} \int E_y (2\pi b) dx$ 이다. 여기서

2 π b d x

$2\pi b dx$ 는

b

$b$ 의 반경을 가진 원통형 고리의 면적

d A

$dA$ 이므로

Δ p_{y} \approx \frac{e}{π b v} \oint E \cdot d A .

$\Delta p_y \approx \frac{e}{\pi bv} \oint \mathbf{E} \cdot d \mathbf{A}.$ 이 적분은 핵을 반경

b

$b$ 인 원기둥의 중심에 놓고 이에 대해 가우스 법칙을 적용하면 이 식은 다음과 같이 된다.

Δ p_{y} \approx \frac{e}{π b v} (\frac{Z e}{ε_{0}}) = \frac{Z e^{2}}{π ε_{0} b v}

$\Delta p_y \approx \frac{e}{\pi bv} \left( \frac{Ze}{\varepsilon_0} \right) = \frac{Z e^2}{\pi\varepsilon_0 bv}$ 앞의 그림에서 나타낸 것 처럼

Δ p_{y} = p \tan θ

$\Delta p_y = p \tan \theta~$ 이므로 이를 위 식에 대입해서

\begin{matrix} (1) & p \tan θ \approx \frac{Z e^{2}}{π ε_{0} b v} \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq0} p \tan \theta \approx \frac{Z e^2}{\pi \varepsilon_0 bv} \end{equation}$ 을 얻는다.

엄밀한 산란 관계식

실제의 라더포드 실험조건에서 앞서 근사적으로 전개한대로 편향이 매우 작게 일어나지만 경우에 따라서 아주 큰 산란각으로 편향되는 경우가 있다. 이때에는 연속적으로 변화되는 경로를 따라가면서 이 과정에서의 전체 충격량을 정교하게 계산해야 한다. 이렇게 계산하면 단지 $\eqref{eq0}$ 식의 $\tan \theta~$ 를 $2 \tan \theta/2~$ 로 대치하면 되는 데 이들은 편향각이 작을 경우에는 일치하는 양이다. 이제 정확한 산란 관계식은