충격량

충격량

충격량 만큼 입자의 운동량이 변화된다.

야구공을 방망이로 쳐서 날려 보내거나 당구공 두 개가 충돌하여 되튀어 나가는 것처럼 극히 짧은 시간 동안에 큰 힘이 작용하는 경우가 있다. 야구 방망이는 야구공과 접촉하는 짧은 시간 동안 공을 되밀어 운동의 방향을 바꾸어 버린다. 방망이가 공을 미는 힘은 접촉하는 순간에만 나타나는 데 이 힘의 크기는 접촉 상황에 따라 크게 변하므로 시시각각의 힘을 측정하는 것은 거의 불가능하다. 따라서 이러한 경우에는 방망이가 공을 밀기 시작해서 끝내기까지의 총체적인 영향을 나타낼 수 있는 충격량을 도입하게 된다.

$t_i \~ t_f$ 동안 물체가 받은 충격량은 물체가 시시각각 받은 힘을 시간에 대해 누적시킨 개념으로 정의하여, \[ \vec{J}= \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}dt \] 이 된다. 만일에 이 힘이 물체가 받은 유일한 힘이라면 $F = dp/dt$ 의 관계를 이용하여 이 충격량이 물체의 운동량을 변화시킨 정도와 같다는 것을 알 수 있다. \[ \vec{J} = \int_{t_i}^{t_f} \left( \frac{d \vec{p}}{dt} \right) dt = \int_{p_i}^{p_f} d \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i. \] 이 관계에서 알 수 있듯이 충격량과 운동량은 다 벡터량으로서 같은 단위를 가지고 있다.

[질문1] 20 m/s 로 달리던 2,000 kg의 자동차가 벽에 충돌해서 0.01 sec 만에 정지한다. 이 시간 동안 자동차에 가해진 충격량은 얼마인가? 이 과정에서 작용하는 평균력(힘의 시간평균값)은 얼마인가?

[질문2] 앞 질문과 같은 상황에서 충돌시작 후 힘이 일정하게 작용하고, 벽은 매우 견고하다고 생각하자. 충돌이 끝난 후 자동차는 얼마나 찌그러져 들어가겠는가?

_ 운동량

충돌과 운동량보존

두 물체의 충돌에서 각각의 충격량은 서로 반대의 값을 갖는다.

그림과 같이 1, 2의 두 공이 서로 충돌하여 되튀어 나가는 과정을 생각해 보자. 이때 충돌이 일어나는 극히 짧은 시간 동안 두 공은 서로에게 큰 힘을 미치게 된다. 공1이 2로부터 받는 힘을 $F_1$, 공2가 1로부터 받는 힘을 $F_2$로 한다면 이 두 힘은 작용과 반작용으로서 크기가 같고 방향이 반대가 된다.

따라서 각각이 받는 충격량은 역시 크기가 같고 부호가 반대가 되어 이들이 변화시킨 운동량도 반대의 값을 갖는다. 즉, \[ \vec{J}_1 = - \vec{J}_2 \quad \Rightarrow \quad \vec{p}_{1f} - \vec{p}_{1i} = -(\vec{p}_{2f}-\vec{p}_{2i}), \] \[ \vec{p}_{1i} + \vec{p}_{2i} = \vec{p}_{1f}+\vec{p}_{2f} \] 이다. 따라서 충돌하는 과정에서 두 공의 운동량의 합은 항상 일정하게 유지된다. 물론 두 물체가 외부에 고립되어 있어 외력을 받지 않는다면 입자계의 운동량보존법칙에 따라 당연히 위 관계가 성립해야 한다. 그러나 충돌이 극히 짧은 시간에 일어난다면 비록 외력이 있더라도 충돌 전후의 운동량은 보존된다고 말 할 수 있다. 예를 들어 방망이로 야구공을 치는 경우라면 공이 중력을 받고 있어 외부와 고립된 것이 아니지만 과격이 일어나는 시간이 극히 짧고 그 시간 동안의 접촉력은 중력에 비하여 훨씬 커서 중력의 영향을 무시할 수 있는 것이다.

_ 입자계의 운동량보존법칙