가우스 법칙

점전하의 선속

점전하를 중심으로 한 구면을 통과하여 밖으로 나가는 전기선속은 구의 반경과 무관하게 $Q/\varepsilon_0$로 주어져서 중심에 있는 전하 $Q$에 비례한다.

아래 그림에서 나타낸 것처럼 점전하를 감싸고 있는 곡면이 구면이 아닌 임의의 것이라도 이것을 통과하는 선속은 역시 $Q/\varepsilon_0$ 로 주어지게 된다. 이는 전기력선이 전하가 없는 허공에서는 새로 생성되거나 끊어지지 않기 때문에 한 폐곡면을 나간 역선은 반드시 다른 폐곡면을 나가게 된다.

전하 Q을 감싸고 있는 임의의 폐곡면을 빠져나가는 선속은 \[ \Phi = \oint \mathbf{E} \cdot d \mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0} \] 여기서 적분은 폐곡면에 대한 것으로 적분기호에 O의 표시가 되어 있다. 이러한 적분면을 가우스 면(gaussian surface)이라고 한다.

_ 전기력선_ 전하

가우스 법칙

어떤 폐곡면을 생각하자. 이 폐곡면을 통과하여 바깥으로 나가는 선속은 그 내부에 있는 전하량에 비례한다. 그러면 폐곡면 바깥에 점전하 Q가 있다면 어떻게 될까? 폐곡면 밖에 있는 전하는 폐곡면에 전기력선을 다음 그림처럼 유입시키고 결국 그만큼 다시 유출시키게 된다. 따라서 바깥의 전하는 폐곡면의 선속을 만들지 않는다는 것을 알 수 있다. 한편 유입과 유출을 따질때 유의해야할 점은 면적벡터의 방향이다. 폐곡면이 아닌 개곡면경우, 그것을 무한히 작은 구간으로 분할한 평면의 면적벡터는 그 면에 수직한 방향으로 앞뒤 아무 것으로나 삼을 수 있지만 폐곡면의 경우에는 반드시 바깥으로 향하는 방향을 면적벡터의 방향으로 삼는다.

그렇다면 폐곡면 내부에 두 개의 점전하가 있다면 어떻게 될까? 이것은 다음과 같은 수식의 전개로 쉽게 정리해 볼 수 있다. \[ \eqalign{ \Phi &=& \oint \mathbf{E} \cdot d \mathbf{A} = \oint (\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2) \cdot d \mathbf{A} \\ &=& \oint \mathbf{E}_1 \cdot d \mathbf{A} + \oint \mathbf{E}_2 \cdot d \mathbf{A} \\ &=& \frac{Q_1}{\varepsilon_0} + \frac{Q_2}{\varepsilon_0} \\ &=& \frac{(Q_1 + Q_2)}{\varepsilon_0} } \]

내부의 전하의 수가 많더라도 그 폐곡면이 둘러싸고 있는 총전하량에 비례할 것이라는 것을 쉽게 알 수 있다. 만약에 전하가 - 이라면 폐곡면을 통하여 역선이 안으로 들어가게 되어 선속은 음의 값을 가지게 된다. 또다른 예로서 아래에 전기쌍극자를 감싸고 있는 폐곡면의 경우 총 선속이 0이라는 것을 보여주고 있다.

이에 따라 가우스 법칙을 다음과 같은 식으로 정리할 수 있다. \[ \oint \mathbf{E} \cdot d \mathbf{A} = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{\mathrm{inside}} Q_i \] 즉 어떤 폐곡면을 통과하는 역선의 수는 그 폐곡면이 감싸고 있는 내부의 총 전하량을 $\varepsilon_0$으로 나눈 것이다.

가우스 법칙은 전자기의 기본법칙 중의 하나이다. 전하가 흩어져 있을 때 전기장의 분포는 기본적으로 가우스 법칙으로부터 계산해 낼 수 있다. 따라서 점전하에 대한 전기장의 계산식과 가우스 법칙은 동등하다고 말 할 수 있다. 전하의 분포가 대칭성이 있을 때 가우스 법칙으로부터 전기장을 쉽게 계산할 수 있는 경우가 있다.

_ 전기쌍극자_ 전기력선_ 전기장_ 전하