전기장

쌍극자에 의한 전기장

자연을 구성하는 기본입자들은 중성이거나 기본전하량의 전하를 가지고 있다. 그러나 양의 기본전하를 가진 입자와 음의 기본전하를 가진 입자들의 수가 정확하게 일치하기 때문에 큰 규모로 보면 중성을 띠게 되는 경우가 대부분이다.

물질계는 전체적으로 보면 중성이지만 양과 음의 전하의 위치가 약간 어긋나 있으므로 이 효과가 주변에 전기장을 형성시키는 근원이 되는 경우가 많다. 이의 가장 단순한 형태로서 부호가 반대이고 크기가 $q$로 같은 두 전하가 거리 $d$ 떨어져 있는 경우를 생각하자. 이을 전기쌍극자라 부른다. 전기쌍극자는 전체적으로 중성을 띠고 있지만 각 전하의 위치가 흩어져 있는 원자나 분자에서 나타날 수 있어 물질의 전기적인 성질을 결정하는 중요한 개념이 된다. 이 전기쌍극자의 정도를 다음의 전기쌍극자모멘트(electric dipole moment)으로 나타낸다. $$\mathbf{p} = q \mathbf{d}$$ 여기서 $\mathbf{d}$는 음의 전하로부터 양의 전하에 이르는 변위벡터이다. 따라서 쌍극자모멘트는 전하량이 크고, 서로 떨어진 거리가 멀면 크게 나타난다.

기본적으로 쌍극자에 의한 전기장은 양과 음의 각 전하가 만드는 전기장의 합으로 주어지기 때문에 새로울 것은 없으나 서로 떨어진 거리 $d$가 줄어들면서 전하량 $q$가 이에 반비례하여 커지는 상황에서는 비교적 단순한 형태로 주어진다. 쌍극자모멘트 $p$가 일정하면서 거의 공간의 한 점에 두 전하가 존재하는 상황은 가장 이상적인 쌍극자(점쌍극자)로서 이것이 만드는 전기장을 계산해 보자.

우선 원점에 $-q$가, $\mathbf{d}$에 $+q$가 있는 쌍극자($\mathbf{p}=q\mathbf{d}$)에 의해 만들어지는 전기장은, $$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[\frac{\mathbf{r}-\mathbf{d}}{|\mathbf{r}-\mathbf{d}|^3} - \frac{\mathbf{r}}{r^3}\right]$$ 여기서 오른쪽 첫 항을 다음과 같이 근사식으로 쓰면, $$|\mathbf{r}-\mathbf{d}|^{-3} = [r^2 - 2 \mathbf{r} \cdot \mathbf{d} + d^2] ^{-3/2} = r^{-3} \left[1- \frac{ 2 \mathbf{r} \cdot \mathbf{d}}{r^2} + \frac{d^2}{r^2} \right]^{-3/2} = r^{-3} \left[ 1- \frac{ 3 \mathbf{r} \cdot \mathbf{d}}{r^2} + ... \right]$$ 여기서 만일 $\mathbf{p}$를 일정하게 하는 상황에서 $|\mathbf{d}|$를 0의 극한으로 보내면 $\mathbf{r}$ 점에서의 전기장은 $$\mathbf{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{3(\mathbf{p}\cdot \mathbf{\hat{r}})\mathbf{\hat{r}}-\mathbf{p}}{r^3}$$ 이다. 이는 기본적으로 쌍극자가 만드는 전기장이 거리의 세제곱에 반비례하여 줄어드는 것을 말한다. 따라서 중성의 물질 속에서 형성되는 전기장은 내부에서는 크게 나타나게 되지만 물질을 벗어나면 그 크기가 급격하게 줄어들어 국소적인 전기적인 성질에 주로 영향을 미친다.

오른편 그림은 쌍극자가 만드는 전기장의 방향분포를 보여준다. 전기장은 양전하에서 나와 음전하로 빨려 들어가는 방향으로 꼬리에 꼬리를 물고 형성된다. 여기서 두 전하를 이어준 축에 대해 회전대칭으로 전기장이 형성된다. 공간에서의 전기장의 분포는 아래의 3D 도형으로 관찰할 수 있다.

_ 전하_ 대전