가우스 법칙

전하 밀도

연속적인 전하분포

전하는 전자나 양성자 등 소립자의 속성으로서 (거의) 점에 밀집된 물리량이라고 할 수 있다. 그러나 물질 내부에는 전자나 양성자가 무수히 많이 존재하므로 전하는 연속된 개념으로 이해할 수 있다. 미시적인 관점에서는 점전하의 위치나 행동에 대해 이해할 필요가 있지만 거시적인 관점에서는 전하가 공간에 연속적으로 퍼져 있는 것으로 가정해도 무방하다.

이러한 연속적인 전하분포에 대한 이론을 세우기 위해 다음처럼 단위부피에 포함되어 있는 전하량, 즉 전하밀도를 정의하자. \[ \rho = \frac{Q}{V} \] 여기서 $V$속에 $Q$의 전하가 있는 상황이다. 전하의 분포가 위치에 따라 달리지는 경우에는 $V$를 0 으로 가는 극한으로 하면 전하밀도는 한 지점의 값으로 정의될 것이다. \[ \rho(\mathbf{r}) = \frac{\Delta Q}{\Delta V} \] 여기서 $\Delta V$는 $\mathbf{r}$을 포함하고 있는 체적으로 이를 0 으로 보내는 극한으로 삼는다. 따라서 이 속에 포함된 전하량 $\Delta Q$도 0 으로 가게 된다. (엄밀하게는 $\Delta V$이 보통 미분을 정의할 때 0 으로 보내는 수학적인 극한은 아니다. 실제로 물질계에서는 $\Delta V$ 속에 그래도 매우 많은 원자가 존재하는 충분한 크기를 가지고 있고, 전하밀도는 거시적인 개념이다)

전하밀도의 분포가 $\rho(\mathbf{r})$로 주어진 공간의 특정한 영역에 포함된 전하량은 \[ Q = \int_{V} \rho(\mathbf{r}) dV \] 이다. 따라서 가우스 법칙은 \[ \oint \mathbf{E} \cdot d \mathbf{A} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_{V} \rho(\mathbf{r}) dV \] 여기서 오른쪽의 $V$에 대한 적분은 가우스 폐곡면이 감싸고 있는 영역에 대한 것이다.

_ 양성자_ 전하

가우스 법칙의 미분 표현

어떤 폐표면을 통과해서 바깥으로 나가는 벡터장의 총량은 폐곡면이 감싸고 있는 부피에 대해 $\nabla \cdot \mathbf{E}$를 적분한 것과 같다. 이것을 가우스 정리, 혹은 발산정리라 하는 데 다음으로 표현된다. \[ \oint \mathbf{E} \cdot d \mathbf{A} = \int_{V} \nabla \cdot \mathbf{E} dV \] 가우스 법칙은 임의의 적분공간에 대해 다 성립하므로 다음과 같이 체적에 대한 적분이 없는 채로의 등식이 성립한다. \[ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\varepsilon_0} \rho \] 이는 가우스 법칙의 미분형으로 전기장이 전하밀도에 의존하는 형태를 공간의 국소적인 형태로 표현한 것이다.

_ 가우스 정리_ 발산정리_ 전기장_ 전하