프레넬 방정식

프레넬 방정식

앞에서 s-편광의 경우나 p-편광의 경우, 반사파나 굴절파의 진폭이 모두 입사파의 진폭에 비례하는 것을 알았다. 입사파에 대한 반사파와 굴절파의 진폭의 비를 각각 반사계수(reflection coefficient), 투과계수(transmission coefficient)라 한다. (여기서 굴절계수라 하지 않고 투과계수라 하게 된 것은 영어로 굴절이 reffraction으로 반사의 reflection과 첫자가 같아서 이를 식별하기 위한 궁여지책이다. 따라서 우리의 용어로는 굴절계수라 하는 것이 마땅할 것이다) \[ R_s = \frac{\cos\theta_i-n\cos\theta_t}{\cos\theta_i+n\cos\theta_t} \] \[ R_p = \frac{n\cos\theta_i-\cos\theta_t}{n\cos\theta_i+\cos\theta_t} \] \[ T_s = \frac{2\cos\theta_i}{\cos\theta_i+n\cos\theta_t} \] \[ T_p = \frac{2\cos\theta_i}{n\cos\theta_i+\cos\theta_t} \] 반사계수와 투과계수를 그 편광상태에 따라 나타낸 이 식들이 바로 프레넬 방정식(Fresnel equation)이다.

위 식은 모두 입사각 $\theta_i$, 굴절각 $\theta_t$, 상대굴절률 $n$으로 나타내고 있으나 스넬의 굴절의 법칙을 이용하여 입사각과 상대굴절률로 반사계수를 나타내면 다음과 같다. \[ R_s = \frac{\cos\theta_i-\sqrt{n^2-\sin^2\theta_i}}{\cos\theta_i+\sqrt{n^2-\sin^2\theta_i}} \] \[ R_p = \frac{n^2\cos\theta_i-\sqrt{n^2-\sin^2\theta_i}}{n^2\cos\theta_i+\sqrt{n^2-\sin^2\theta_i}} \]

한편 반사계수를 입사각과 굴절각으로 나타내면, \[ R_s = - \frac{\sin(\theta_i - \theta_t)}{\sin(\theta_i + \theta_t)} \] \[ R_p = \frac{\tan(\theta_i - \theta_t)}{\tan(\theta_i + \theta_t)} \] 이다.

입사각 $\theta_i$가 주어지게 되면 굴절각 $\theta_t$가 정해지므로 이 계수들은 특정한 상대굴절률($n$) 값에 대해 입사각의 함수로 그래프를 그릴 수 있다. 다음 그래프는 굴절률을 0.3으로부터 3.0까지 변경시켜 이의 변화를 보게 한다.

한편 위 그래프에서 '반사율 보기'를 선택하게 되면 반사계수의 제곱, 즉 입사하는 빛의 밝기에 대해 반사하는 빛의 밝기인 반사율(reflectance) $\mathcal{R}=|R|^2$을 붉은 색의 그래프로 보여주게 된다. 마찬가지로 입사하는 빛의 밝기에 대해 투과하는 빛의 밝기는 투과율(transmittance) $\mathcal{T}=|T|^2$로서 이는 단순히 투과계수의 제곱으로 정의되지는 않는다. 이는 두 매질에서의 굴절률이 다른 것과 함께 단면적(cross section)이 달라지기 때문이다. $\mathcal{R}$과 $\mathcal{T}$ 사이에는 $\mathcal{R}+\mathcal{T}=1$의 관계가 성립된다. (실은 이 관계는 에너지보존법칙이다. 즉 유전체의 경계에서는 전류가 흐르지 않아 손실되는 에너지가 없고 따라서 에너지가 흡수되어 소모되는 곳이 없다)

p-편광의 경우 반사계수가 0이 되는 특정한 입사각이 존재한다. 공기에서 $n=1.5$의 유리로 진입하는 경우 이 각은 56.3도인 데 이 각으로 입사하는 빛의 경우 p-편광은 반사되지 않고 100% 굴절할 것이다. 이 각을 브루스터 각(Brewster's angle) 혹은 편광각(polarization angle)이라 한다. 이 각 $\theta_p$는 앞의 프레넬 방정식에서 $R_p=0$이 되는 조건의 입사각이 된다. \[ n^2 \cos \theta_i - \sqrt{n^2 - \sin^2 \theta_i} = 0 \] 이 식을 풀이하여 간단한 형태로 바꾸면 \[ \begin{equation} \label{eq2} \tan \theta_p = n \end{equation} \] 이 된다.

위 그래프에서 상대굴절률을 1.5로 두면 공기에서 유리로 진입하는 상황이 된다. 이때 수직으로 입사한다면 $R_s=-0.2$, $R_p=0.2$의 반사계수 값을 가지게 된다. 따라서 반사율은 $\mathcal{R}=0.04$로서 4%의 밝기로 반사된다. 이것은 투명한 유리를 통해서도 우리의 얼굴을 비쳐 볼 수 있는 이유가 된다.

만일에 유리에서 공기로 빛이 진행하는 경우에는 어떻게 반사와 투과를 하게 될까? 위 그래프에서 $n=0.67$로 두면 이러한 상황에 가까운 결과를 보여준다. 이 경우 특정한 입사각 이상에서는 100% 반사되어 굴절되는 파는 소멸하게 되는 데 이를 전반사(total reflection)이라 한다. 이 각을 임계각(critical angle)이라 하며 실제의 유리에서 공기로 나가는 경우 41.8도 부근이다. 임계각 이상의 입사각에서 반사계수는 그 크기가 1인 복소수의 값을 가지게 된다. 임계각$\theta_c$는

로서 $n$이 1보다 적을 때에만 정해진다. 이렇게 굴절률이 더 적은 매질로 진입하는 경우의 반사를 내부반사(internal reflection)이라 하고 그 반대의 경우를 외부반사(external reflection)이라 한다. 내부반사에서 임계각 이상의 입사각일 때 전반사 현상이 있으며 앞의 그래프에서 반사계수를 1.0으로 그렸지만 실제로는 복소수의 크기가 1.0 이고 위상은 입사각에 따라 0도 부터 180도 사이로 변한다. 이 위상의 변화에 대해서는 다음에 언급한다.

[질문1] 굴절률이 같으나 서로 다른 매질이 경계를 이루고 있다. 이 경우 마치 경계가 없는 동일매질을 진행하는 빛인 것처럼 반사없이 그대로 직진하는 것을 검증하라. (따라서 빛의 진행은 오직 매질의 굴절률에만 의존한다)

[질문2] 수직입사의 경우 반사계수는 다음과 같이 표현되는 것을 보여라. \[ R_s = \frac{1-n}{n+1}, ~~~~ R_p = \frac{n-1}{n+1} \] 수직입사의 경우 s-편광과 p-편광이 구분되지 않으나 여기서의 결과는 반사계수의 부호가 반대로 되어 있다. 이 두 결과가 실제로 같은 결과라는 것을 여기서 채택한 전기장의 $+$ 방향을 고려하여 설명하라.

[질문3] 프레넬 방정식이나 이의 적절한 표현식을 이용하여 거의 수직입사(즉, $\theta_i \sim 0$)일 때 \[ -R_s \approx \left( \frac{n-1}{n+1} \right) \left( 1 + \frac{\theta_i^2}{n} \right) \] \[ R_p \approx \left( \frac{n-1}{n+1} \right) \left( 1 - \frac{\theta_i^2}{n} \right) \] 인 것을 보여라. (앞 문제를 통해서 알아 본 것처럼 $-R_s$가 $R_p$와 비교된다)

[질문4] 물($n=1.33$)에서 다이아몬드($n=2.42$)의 내부반사에서의 임계각은 얼마인가? 이 상황에서의 브루스터 각은 얼마인가?

[질문5] 브루스터 각 $\theta_p$은 반사파와 굴절파의 진행방향이 90°를 이룰 때의 입사각인 것을 \eqref{eq2} 식으로 부터 증명하라.

[질문6] 내부반사에서의 임계각이 45°라 하자. 이의 외부반사에서의 브루스터 각은 얼마일까?

[질문7] 브루스터 각에 가까운 입사각에서는 $s$ 편광이 주된 반사광이 된다. 이것을 제거하기 위해서 편광판(polarizer)으로 된 편광안경을 쓸 수 있다. 자동차를 운전할 때 운전자가 도로에서 반사되는 태양빛이나 하늘 빛 등이 반사되어 도로가 명확하게 식별되지 않는 데 편광안경으로 이를 대부분 제거할 수 있다. 이 원리를 설명하라.

_ 복소수의 크기_ 굴절의 법칙_ 반사와 투과_ 상대굴절률_ 내부반사_ 편광상태_ 전반사_ 임계각_ 편광판_ 전기장_ 진폭_ 위상_ 전류