프레넬 방정식

반사파의 위상변화

앞에서 반사계수의 그래프를 통해 살펴본 것처럼 반사계수는 -1.0 으로부터 1.0의 값을 갖는다. -의 값을 갖는 경우에는 입사파에 대하여 반사파의 위상이 180°, 즉 $\pi$ 변하는 것으로 이해하면 될 것이다. 그러나 s-편광과 p-편광 각각의 경우에 대해 반사파 전기장의 $+$ 방향을 정한 것을 고려하여 위상의 변화를 면밀히 판단해야 할 것이다. 입사각이 0인 수직입사의 경우 $R_s=-R_p$이 되는 데 수직입사에서는 s-편광과 p-편광을 구분하는 것은 무의미하여 모순인 것처럼 보인다. 실제 s-편광의 경우에는 전기장의 $+$ 방향을 반대로 삼았으면 이러한 혼란은 없었을 것이다. 따라서 s-편광의 경우는 반사계수가 $+$인 경우가 위상이 180°만큼 변한 것으로 생각해야 한다. 성긴 매질에서 조밀한 매질로 진입시 반사하는 파동은 위상이 180° 변한다는 것은 s-편광의 경우 전 입사각에서 다 성립하고, p-편광의 경우 브루스터 각 이하의 입사각에서 성립한다.

한편 내부반사의 전반사 영역에서는 임계각으로부터 점차 입사각을 증가시켜 90°까지 변경시키면 위상변화값이 0 으로부터 180°로 연속적으로 변하게 된다. 이를 아래 그래프로부터 살펴볼 수 있다. 이 그래프는 우선 $n=0.67$ 즉 유리에서 공기로 진입하는 경우에 대한 반사파의 위상변화를 보여주고 있다. 여기서 s-편광의 경우 앞에서 언급한 전기장의 방향에 대한 고려를 하지 않았다. 즉 반사계수가 + 실수값이면 위상변화를 0°, - 실수값이면 180°로 하였다. 이는 s-편광과 p-편광을 동반하여 생각할 때 편리하다. 즉 두 파의 위상변화의 차이를 계산할 때 이 방식이 편리하다.

위상변화의 수식 표현

앞서 프레넬 방정식의 반사계수에 대한 $n, ~ \theta_i$에 대한 표현식에서 전반사가 일어나는 조건이라면 다음처럼 나타내는 것이 편리하다. \[ R_s = \frac{\cos\theta_i-i\sqrt{\sin^2\theta_i-n^2}}{\cos\theta_i+i\sqrt{\sin^2\theta_i-n^2}} \] \[ R_p = \frac{n^2\cos\theta_i-i\sqrt{\sin^2\theta_i-n^2}}{n^2\cos\theta_i+i\sqrt{\sin^2\theta_i-n^2}} \] 이로부터 $|R_s|^2 = |R_p|^2 = 1$임을 쉽게 학인할 수 있다. 따라서 빛은 100% 반사된다. 이제 $R_{s,p}$를 각각 위상을 분리하기 위해 다음과 같이 표현하자. \[ R_s = |R_s| e^{-i\delta_s} = e^{-i\delta_s} = \frac{a e^{-i\alpha}}{a e^{i\alpha}} = e^{-2i\alpha} \] \[ R_p = |R_p| e^{-i\delta_p} = e^{-i\delta_p} = \frac{b e^{-i\beta}}{b e^{i\beta}} = e^{-2i\beta} \] 위 그래프는 이 식에서의 $\delta_s$와 $\delta_p$를 나타낸 것이다. 그리고 $\alpha$와 $\beta$는 각각 $R_s$와 $R_p$의 복소수 표현에서 분모를 극형식으로 나타냈을 때의 편각(argument)이다. 따라서 이의 $\tan$ 값을 정리하면, \[ \tan \alpha = \tan \left( \frac{\delta_s}{2} \right) = \frac{\sqrt{\sin^2 \theta_i -n^2}}{\cos \theta_i} \] \[ \tan \beta = \tan \left( \frac{\delta_p}{2} \right) = \frac{\sqrt{\sin^2 \theta_i -n^2}}{n^2\cos \theta_i} \] 이다. 이제 둘의 위상차 $\Delta = \delta_p - \delta_s$를 정리하여 최종적으로 $n, ~ \theta_i$로 표현한다. \[ \tan \left( \frac{\Delta}{2} \right) = \tan\left( \frac{\delta_p}{2} - \frac{\delta_s}{2} \right) = \frac{\tan \frac{\delta_p}{2} - \tan \frac{\delta_s}{2}}{1+\tan \frac{\delta_p}{2}\tan \frac{\delta_s}{2}} = \frac{\cos \theta_i \sqrt{\sin^2 \theta_i -n^2}}{\sin^2\theta_i} \]

[질문1] 오른편 그림은 전반사를 두 번 거치게 해서 최종적으로 투과하는 빛의 두 편광에 대한 위상차이를 $\pi/2$, 즉, 90°가 되게 한 것으로 프레넬 사방정계(Fresnel rhomb) 위상지연자(retarder)라고 한다. 이것을 $n=1.5$의 유리로 만든다고 했을 때 꼭지각 $\rho = 54.6$°로 하는 데 이 각으로 설계하는 이유와 이 기기의 작동원리를 설명하라.

[질문2] 위 문제의 편광기에 $s$와 $p$의 두 편광 사이의 45° 기울어진 편광파가 진입했을 때 최종적으로 빠져나가는 빛은 전기장이 어떻게 진동할까? $s$와 $p$의 두 방향으로의 파동을 따로, 또한 둘이 합성된 파동의 모양을 스케치하고 이 파의 특성을 설명하라. (입사하는 빛은 $s$와 $p$ 편광의 두 파가 같은 진폭과 위상으로 합성된 것으로 45° 기울어진 선편광이다. 또한 출사파는 원편광이다. 이에 대해서는 '편광' 단원을 참고하라)

_ 상대굴절률_ 내부반사_ 전반사_ 임계각_ 복소수_ 편광기_ 원편광_ 선편광_ 전기장_ 진폭_ 위상_ 진동_ 편각_ 파동