프레넬 방정식


반사파의 위상변화

앞에서 반사계수의 그래프를 통해 살펴본 것처럼 반사계수는 -1.0 으로부터 1.0의 값을 갖는다. -의 값을 갖는 경우에는 입사파에 대하여 반사파의 위상이 180°, 즉 π 변하는 것으로 이해하면 될 것이다. 그러나 s-편광p-편광 각각의 경우에 대해 반사파 전기장+ 방향을 정한 것을 고려하여 위상의 변화를 면밀히 판단해야 할 것이다. 입사각이 0인 수직입사의 경우 Rs=Rp이 되는 데 수직입사에서는 s-편광p-편광을 구분하는 것은 무의미하여 모순인 것처럼 보인다. 실제 s-편광의 경우에는 전기장+ 방향을 반대로 삼았으면 이러한 혼란은 없었을 것이다. 따라서 s-편광의 경우는 반사계수+인 경우가 위상이 180°만큼 변한 것으로 생각해야 한다. 성긴 매질에서 조밀한 매질로 진입시 반사하는 파동위상이 180° 변한다는 것은 s-편광의 경우 전 입사각에서 다 성립하고, p-편광의 경우 브루스터 각 이하의 입사각에서 성립한다.

한편 내부반사전반사 영역에서는 임계각으로부터 점차 입사각을 증가시켜 90°까지 변경시키면 위상변화값이 0 으로부터 180°로 연속적으로 변하게 된다. 이를 아래 그래프로부터 살펴볼 수 있다. 이 그래프는 우선 n=0.67 즉 유리에서 공기로 진입하는 경우에 대한 반사파의 위상변화를 보여주고 있다. 여기서 s-편광의 경우 앞에서 언급한 전기장의 방향에 대한 고려를 하지 않았다. 즉 반사계수가 + 실수값이면 위상변화를 0°, - 실수값이면 180°로 하였다. 이는 s-편광p-편광을 동반하여 생각할 때 편리하다. 즉 두 파의 위상변화의 차이를 계산할 때 이 방식이 편리하다.

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편광상태에 따른 반사파의 위상변화_ 입사각에 대한 반사파의 위상변화 함수를 그래프로 나타내었다. 상대굴절률은 0.3으로부터 3.0까지 변화시킬 수 있으며 전반사가 아닌 경우는 단순하게 0 혹은 180°의 위상변화를 가지게 되지만 전반사의 조건에서는 입사각에 따라 0으로부터 180° 사이의 연속적인 위상변화 값을 갖는다. '위상차 보기'를 선택하면 p-편광s-편광위상변화의 차이의 그래프를 보여준다.

위상변화의 수식 표현

앞서 프레넬 방정식반사계수에 대한 n, θi에 대한 표현식에서 전반사가 일어나는 조건이라면 다음처럼 나타내는 것이 편리하다. Rs=cosθiisin2θin2cosθi+isin2θin2

Rp=n2cosθiisin2θin2n2cosθi+isin2θin2
이로부터 |Rs|2=|Rp|2=1임을 쉽게 학인할 수 있다. 따라서 빛은 100% 반사된다. 이제 Rs,p를 각각 위상을 분리하기 위해 다음과 같이 표현하자. Rs=|Rs|eiδs=eiδs=aeiαaeiα=e2iα
Rp=|Rp|eiδp=eiδp=beiβbeiβ=e2iβ
위 그래프는 이 식에서의 δsδp를 나타낸 것이다. 그리고 αβ는 각각 RsRp복소수 표현에서 분모를 극형식으로 나타냈을 때의 편각(argument)이다. 따라서 이의 tan 값을 정리하면, tanα=tan(δs2)=sin2θin2cosθi
tanβ=tan(δp2)=sin2θin2n2cosθi
이다. 이제 둘의 위상Δ=δpδs를 정리하여 최종적으로 n, θi로 표현한다. tan(Δ2)=tan(δp2δs2)=tanδp2tanδs21+tanδp2tanδs2=cosθisin2θin2sin2θi



graph

프레넬 사방정계 위상지연자_ 두 번의 반사를 거치면서 sp의 두 파의 위상차가 90°가 되게 하는 것으로 선편광원편광을 만드는 데 쓰인다.

[질문1] 오른편 그림은 전반사를 두 번 거치게 해서 최종적으로 투과하는 빛의 두 편광에 대한 위상차이를 π/2, 즉, 90°가 되게 한 것으로 프레넬 사방정계(Fresnel rhomb) 위상지연자(retarder)라고 한다. 이것을 n=1.5의 유리로 만든다고 했을 때 꼭지각 ρ=54.6°로 하는 데 이 각으로 설계하는 이유와 이 기기의 작동원리를 설명하라.

[질문2] 위 문제의 편광기sp의 두 편광 사이의 45° 기울어진 편광파가 진입했을 때 최종적으로 빠져나가는 빛은 전기장이 어떻게 진동할까? sp의 두 방향으로의 파동을 따로, 또한 둘이 합성된 파동의 모양을 스케치하고 이 파의 특성을 설명하라. (입사하는 빛은 sp 편광의 두 파가 같은 진폭위상으로 합성된 것으로 45° 기울어진 선편광이다. 또한 출사파는 원편광이다. 이에 대해서는 '편광' 단원을 참고하라)


_ 상대굴절률_ 내부반사_ 전반사_ 임계각_ 복소수_ 편광기_ 원편광_ 선편광_ 전기장_ 진폭_ 위상_ 진동_ 편각_ 파동



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