프레넬 방정식

프레넬 방정식

반사파의 위상변화

앞에서 반사계수의 그래프를 통해 살펴본 것처럼 반사계수는 -1.0 으로부터 1.0의 값을 갖는다. -의 값을 갖는 경우에는 입사파에 대하여 반사파의 위상이 180°, 즉 $\pi$ 변하는 것으로 이해하면 될 것이다. 그러나 s-편광과 p-편광 각각의 경우에 대해 반사파 전기장의 $+$ 방향을 정한 것을 고려하여 위상의 변화를 면밀히 판단해야 할 것이다. 입사각이 0인 수직입사의 경우 $R_s=-R_p$ 이 되는 데 수직입사에서는 s-편광과 p-편광을 구분하는 것은 무의미하여 모순인 것처럼 보인다. 실제 s-편광의 경우에는 전기장의 $+$ 방향을 반대로 삼았으면 이러한 혼란은 없었을 것이다. 따라서 s-편광의 경우는 반사계수가 $+$ 인 경우가 위상이 180°만큼 변한 것으로 생각해야 한다. 성긴 매질에서 조밀한 매질로 진입시 반사하는 파동은 위상이 180° 변한다는 것은 s-편광의 경우 전 입사각에서 다 성립하고, p-편광의 경우 브루스터 각 이하의 입사각에서 성립한다.

한편 내부반사의 전반사 영역에서는 임계각으로부터 점차 입사각을 증가시켜 90°까지 변경시키면 위상변화값이 0 으로부터 180°로 연속적으로 변하게 된다. 이를 아래 그래프로부터 살펴볼 수 있다. 이 그래프는 우선 $n=0.67$ 즉 유리에서 공기로 진입하는 경우에 대한 반사파의 위상변화를 보여주고 있다. 여기서 s-편광의 경우 앞에서 언급한 전기장의 방향에 대한 고려를 하지 않았다. 즉 반사계수가 + 실수값이면 위상변화를 0°, - 실수값이면 180°로 하였다. 이는 s-편광과 p-편광을 동반하여 생각할 때 편리하다. 즉 두 파의 위상변화의 차이를 계산할 때 이 방식이 편리하다.

graph

편광상태에 따른 반사파의 위상변화_ 입사각에 대한 반사파의 위상변화 함수를 그래프로 나타내었다. 상대굴절률은 0.3으로부터 3.0까지 변화시킬 수 있으며 전반사가 아닌 경우는 단순하게 0 혹은 180°의 위상변화를 가지게 되지만 전반사의 조건에서는 입사각에 따라 0으로부터 180° 사이의 연속적인 위상변화 값을 갖는다. '위상차 보기'를 선택하면 p-편광과 s-편광의 위상변화의 차이의 그래프를 보여준다.

위상변화의 수식 표현

앞서 프레넬 방정식의 반사계수에 대한 $n, ~ \theta_i$ 에 대한 표현식에서 전반사가 일어나는 조건이라면 다음처럼 나타내는 것이 편리하다.

R_{s} = \frac{\cos θ_{i} - i \sqrt{\sin^{2} θ_{i} - n^{2}}}{\cos θ_{i} + i \sqrt{\sin^{2} θ_{i} - n^{2}}}

$R_s = \frac{\cos\theta_i-i\sqrt{\sin^2\theta_i-n^2}}{\cos\theta_i+i\sqrt{\sin^2\theta_i-n^2}}$

R_{p} = \frac{n^{2} \cos θ_{i} - i \sqrt{\sin^{2} θ_{i} - n^{2}}}{n^{2} \cos θ_{i} + i \sqrt{\sin^{2} θ_{i} - n^{2}}}

$R_p = \frac{n^2\cos\theta_i-i\sqrt{\sin^2\theta_i-n^2}}{n^2\cos\theta_i+i\sqrt{\sin^2\theta_i-n^2}}$ 이로부터

| R_{s} |^{2} = | R_{p} |^{2} = 1

$|R_s|^2 = |R_p|^2 = 1$ 임을 쉽게 학인할 수 있다. 따라서 빛은 100% 반사된다. 이제

R_{s, p}

$R_{s,p}$ 를 각각 위상을 분리하기 위해 다음과 같이 표현하자.

R_{s} = | R_{s} | e^{- i δ_{s}} = e^{- i δ_{s}} = \frac{a e^{- i α}}{a e^{i α}} = e^{- 2 i α}

$R_s = |R_s| e^{-i\delta_s} = e^{-i\delta_s} = \frac{a e^{-i\alpha}}{a e^{i\alpha}} = e^{-2i\alpha}$

R_{p} = | R_{p} | e^{- i δ_{p}} = e^{- i δ_{p}} = \frac{b e^{- i β}}{b e^{i β}} = e^{- 2 i β}

$R_p = |R_p| e^{-i\delta_p} = e^{-i\delta_p} = \frac{b e^{-i\beta}}{b e^{i\beta}} = e^{-2i\beta}$ 위 그래프는 이 식에서의

δ_{s}

$\delta_s$ 와

δ_{p}

$\delta_p$ 를 나타낸 것이다. 그리고

α

$\alpha$ 와

β

$\beta$ 는 각각

R_{s}

$R_s$ 와

R_{p}

$R_p$ 의 복소수 표현에서 분모를 극형식으로 나타냈을 때의 편각(argument)이다. 따라서 이의

\tan

$\tan$ 값을 정리하면,

\tan α = \tan (\frac{δ_{s}}{2}) = \frac{\sqrt{\sin^{2} θ_{i} - n^{2}}}{\cos θ_{i}}

$\tan \alpha = \tan \left( \frac{\delta_s}{2} \right) = \frac{\sqrt{\sin^2 \theta_i -n^2}}{\cos \theta_i}$

\tan β = \tan (\frac{δ_{p}}{2}) = \frac{\sqrt{\sin^{2} θ_{i} - n^{2}}}{n^{2} \cos θ_{i}}

$\tan \beta = \tan \left( \frac{\delta_p}{2} \right) = \frac{\sqrt{\sin^2 \theta_i -n^2}}{n^2\cos \theta_i}$ 이다. 이제 둘의 위상차

Δ = δ_{p} - δ_{s}

$\Delta = \delta_p - \delta_s$ 를 정리하여 최종적으로

n, θ_{i}

$n, ~ \theta_i$ 로 표현한다.

\tan (\frac{Δ}{2}) = \tan (\frac{δ_{p}}{2} - \frac{δ_{s}}{2}) = \frac{\tan \frac{δ_{p}}{2} - \tan \frac{δ_{s}}{2}}{1 + \tan \frac{δ_{p}}{2} \tan \frac{δ_{s}}{2}} = \frac{\cos θ_{i} \sqrt{\sin^{2} θ_{i} - n^{2}}}{\sin^{2} θ_{i}}

$\tan \left( \frac{\Delta}{2} \right) = \tan\left( \frac{\delta_p}{2} - \frac{\delta_s}{2} \right) = \frac{\tan \frac{\delta_p}{2} - \tan \frac{\delta_s}{2}}{1+\tan \frac{\delta_p}{2}\tan \frac{\delta_s}{2}} = \frac{\cos \theta_i \sqrt{\sin^2 \theta_i -n^2}}{\sin^2\theta_i}$

graph

프레넬 사방정계 위상지연자_ 두 번의 반사를 거치면서 $s$ 와 $p$ 의 두 파의 위상차가 90°가 되게 하는 것으로 선편광을 원편광을 만드는 데 쓰인다.

[질문1] 오른편 그림은 전반사를 두 번 거치게 해서 최종적으로 투과하는 빛의 두 편광에 대한 위상차이를 $\pi/2$ , 즉, 90°가 되게 한 것으로 프레넬 사방정계(Fresnel rhomb) 위상지연자(retarder)라고 한다. 이것을 $n=1.5$ 의 유리로 만든다고 했을 때 꼭지각 $\rho = 54.6$ °로 하는 데 이 각으로 설계하는 이유와 이 기기의 작동원리를 설명하라.

[질문2] 위 문제의 편광기에 $s$ 와 $p$ 의 두 편광 사이의 45° 기울어진 편광파가 진입했을 때 최종적으로 빠져나가는 빛은 전기장이 어떻게 진동할까? $s$ 와 $p$ 의 두 방향으로의 파동을 따로, 또한 둘이 합성된 파동의 모양을 스케치하고 이 파의 특성을 설명하라. (입사하는 빛은 $s$ 와 $p$ 편광의 두 파가 같은 진폭과 위상으로 합성된 것으로 45° 기울어진 선편광이다. 또한 출사파는 원편광이다. 이에 대해서는 '편광' 단원을 참고하라)

_ 상대굴절률_ 내부반사_ 전반사_ 임계각_ 복소수_ 편광기_ 원편광_ 선편광_ 전기장_ 진폭_ 위상_ 진동_ 편각_ 파동