프레넬 방정식

프레넬 방정식

소멸파

전반사의 조건에서도 매질 건너 표면을 따라 파가 흐른다.

임계각보다 큰 각으로 입사하는 빛 모두가 반사되는 전반사의 상황에서는 빛이 가진 모든 에너지가 반사된다고 하더라도 매질 건너의 표면에는 약간의 전자기파가 존재한다. 이 파는 표면에서 멀리벗어나면서 급격하게 사라지기 때문에 소멸파, 또는 에버네센트 파(evanescent wave)라고 한다.

다음 굴절파의 표현식

\begin{matrix} (1) & E_{t} = E_{t 0} \exp [i (k_{t} \cdot r - ω t)] \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq1} \mathbf{E}_t = \mathbf{E}_{t0} \exp [ i(\mathbf{k}_t \cdot \mathbf{r} - \omega t)] \end{equation}$ 에서

r

$\mathbf{r}$ 에 의존하는 위상항을 정리하면,

\begin{aligned} k_{t} \cdot r & = & k_{t} x \sin θ_{t} - k_{t} y \cos θ_{t} \\ = & k_{t} x \sin θ_{t} - i k_{t} y \sqrt{\frac{\sin^{2} θ_{i}}{n^{2}} - 1} \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbf{k}_t \cdot \mathbf{r} &=& k_t x \sin \theta_t - k_t y \cos \theta_t \\ &=& k_t x \sin \theta_t - i k_t y \sqrt{\frac{\sin^2 \theta_i}{n^2}-1} }$ 이 된다. 여기서 굴절면을

x y

$xy$ 평면으로 하여 경계면에 수직한 방향을

y

$y$ 방향으로 삼아서 나타낸 것이다. (아래 그림의 좌표계 표시를 보라) 또한 마지막 항을 정리할 때 전반사의 경우라도

\sin θ_{t}

$\sin \theta_t$ 은 1보다 크지만 실수값을 가지고,

\cos θ_{t}

$\cos \theta_t$ 은 허수값을 가지는 것을 명확히 하여 표현하였다. 이제 이를

(1)

$\eqref{eq1}$ 식에 대입하여 정리하면,

E_{t} = E_{t 0} e^{- α | y |} e^{i (k_{e} x - ω t)}

$\mathbf{E}_t = \mathbf{E}_{t0} e^{-\alpha |y|} e^{i(k_e x - \omega t)}$ 으로 여기서

α = k_{t} \sqrt{\frac{\sin^{2} θ_{i}}{n^{2}} - 1}

$\alpha = k_t \sqrt{\frac{\sin^2 \theta_i}{n^2}-1}$ 이다. 따라서

| y |

$|y|$ 가 커지면(깊어지면) 지수적으로 파의 진폭이 감소하는 것을 나타낸다. 또한

k_{e} = \frac{\sin θ_{i}}{n} k_{t}

$k_e = \frac{\sin \theta_i}{n} k_t$ 는 매질을 통과하여 표면을 따라 흐르는 평면파의 파수로서 이는 파면이 경계면에 수직을 이루면서

x

$x$ 방향으로 진행하는 것을 나타낸다.

graph

소멸파_ 비스듬하게 입사한 평면파가 아래 매질에 소멸파(evanescent wave)를 만든다. 소멸파는 $x$ 방향으로 흐르며, 깊이( $|y|$ )에 따라 지수함수 줄어든다.

위 그림은 이렇게 형성된 소멸파가 경계면 바로 아래에 진행하는 모습을 보여준다. 깊이 $|y|$ 에 따라 진폭이 지수함수로 줄어들어서 파동이 거의 표면에만 형성된다고 볼 수 있어서 근접장(near-field)이라고도 한다. 매질의 경계에서 소멸파가 생기는 것은 파동이 가진 보편적인 특성으로서 표면에 근접해서 다른 매질이 있다면 파동이 일부분 건너갈 수도 있다. 양자역학에서 물질파의 파동이 그 에너지보다 더 높은 퍼텐셜 장벽을 넘어가는 터널효과가 이의 한 예이다.

빔분리기 - 파를 원하는 비율의 세기로 둘로 나눈다.

이러한 소멸파는 경계 아래 가까운 거리에 또다른 경계가 있다면 파가 건너갈 수 있는 것을 나타낸다. 아래 그림처럼 두 프리즘을 근접시키면 한쪽 프리즘에서 형성된 소멸파의 일부분이 건너의 프리즘에 맞닿아서 프리즘 내부로 파가 스며든다. 이 파는 경계조건에 의해 입사파와 나란한 평면파가 된다. 이때 프리즘끼리 접근한 거리를 조절하여 건너가는 파의 세기를 변화시킬 수도 있다. 결국 입사파가 전반사되는 파와 소멸파의 두 파로 나뉘는 데 이것이 광학장치의 구성에서 널리 활용되는 빔분리기(beam splitter)의 작동원리이다.

graph

소멸파를 이용한 빔분리기_ 왼쪽에서 입사한 평면파가 경사각 45°의 직각프리즘에서 전반사하지만 둘 사이에 형성된 소멸파는 오른쪽 프리즘으로 건너가게 된다. 여기서 왼쪽 프리즘에서 전반사한 파면은 나타내지 않았다.

[질문1] 소멸파는 경계면을 따라서 흐른다. 이 파의 속력을 유도하여 $c,~ n,~\theta_i$ 로 나타내어라.

[질문2] 위의 '소멸파를 이용한 빔분리기' 그림처럼 프리즘을 구성한다. 프리즘은 $n=1.5$ 의 유리로 만들고 둘 사이를 1 mm 떼어 놓았을 때 500 nm의 빛이 얼마의 비율로 건너가게 될까? 만일 50%의 빛이 건너가게 설계한다면 둘 사이는 얼마 떨어지게 해야 할까?

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