정상상태

퍼텐셜 장벽

중앙에 퍼텐셜 장벽이 놓여 있는 경우는 양자역학의 효과가 극명하게 나타나는 것으로 흥미있는 내용일 뿐더러 실제 여러 방면으로 응용되고 있다. 특히 장벽의 높이보다 입사하는 입자의 에너지가 낮아서 고전적으로는 통과하지 못하고 반사되는 경우라도 양자역학에서는 이 장벽을 통과하는 것이 가능하다. 이는 빛이 전반사하는 상황에서도 표면을 통과하는 소멸파(evanescent wave)가 있는 것과 아주 비슷하다.

오른편 그림처럼 $-a \sim a$에 $U_0$의 높이를 가진 퍼텐셜이 있다. 우선은 편의상 에너지 $E$가 $U_0$보다 크다고 하자. 그리고 퍼텐셜 계단의 경우와 같이 오른편을 입사하는 파동을 고려한다. 여기서 $U_0 \lt 0$일 때는 퍼텐셜 우물인 데 이 경우에는 $E$가 0 보다 작은 속박상태가 띄엄띄엄한 에너지 고윳값을 가지는 상태도 있을 수 있다. 여기서는 언제나 $E$가 0 보다 커서 속박상태는 아닌 것을 가정하자.

세 영역에서 각각은 일정한 퍼텐셜을 하고 있으므로 다음과 같이 정리해서 풀이할 수 있다. \[ \eqalign{ \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = -k^2 \psi(x)\quad & \text{for} \quad x \lt -a \quad &\text{I}, \\ \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = -q^2 \psi(x)\quad & \text{for} \quad |x| \lt a \quad &\text{II}, \\ \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = -k^2 \psi(x)\quad & \text{for} \quad x \gt a \quad &\text{III}. } \] 여기서의 $k$와 $q$는 \[ k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}, \] \[ q = \frac{\sqrt{2m(E-U_0)}}{\hbar}. \] 따라서 $\text{I}, ~\text{II},~ \text{III}$의 세 영역에서의 해는 각각 다음처럼 될 것이다. \[ \begin{equation} \label{eq1} \eqalign{ \psi(x) &= e^{ikx} + R e^{-ikx} \quad & \text{for} \quad x \lt -a \quad & \text{I}, \\ \psi(x) &= Ae^{iqx} + B e^{-iqx}\quad & \text{for} \quad |x| \lt a \quad & \text{II}, \\ \psi(x) &= Te^{ikx}\quad & \text{for} \quad x \gt a \quad & \text{III}. } \end{equation} \] 여기서도 퍼텐셜 계단과 마찬가지로 $\text{III}$ 영역에서는 오른쪽으로 흐르는 것만 고려하므로 $e^{-ikx}$의 항은 제외하였다. 이제 $x = -a$와 $x = a$의 두 경계에서 연속과 미분연속의 관계를 적용하면 네 관계식이 나온다. 마침 미지수도 반사와 투과에 관련된 $R, T$와 장벽부분의 $A, B$의 4개가 있으니 이들을 각각 다 구할 수 있다. 여기서는 이 계산 과정을 보이는 것은 생략하고 $R, T$의 결과만 정리한다. \[ R = i e^{-2ika} \frac{(q^2-k^2)\sin 2qa}{2kq \cos 2qa - i(k^2+q^2) \sin 2qa}, \] \[ T = e^{-2ika} \frac{2kq}{2kq \cos 2qa - i(k^2+q^2) \sin 2qa}. \]

입사파가 반사할 확률, 즉 반사율(반사확률)은 $\mathcal{R} = |R|^2$이이다. 이보다 더 흥미있는 것은 투과율(투과확률)로서 장벽을 통과할 확률 $\mathcal{T} = |T|^2$이다.

$U_0 \gt 0$ 이면서 $E \lt U_0$인 경우에는 고전적으로 입자가 장벽을 통과하지 못하고 되튀어 나오는 상황이다. 이 상황에서 퍼텐셜 계단에서도 계단 속을 일부 침투하기는 하지만 결국에는 100% 반사되었다. 그러나 장벽의 경우에는 장벽의 폭과 높이에 따라 달라지지만 일부 투과할 확률이 있다. 이를 해석은 앞의 $q$ 순허수라는 것을 고려해서 $ q \rightarrow -i\kappa$로 바꾸어서 해석하면 된다. 이로서 $T$를 다시 쓰면 \[ T = e^{-2ika} \frac{2k\kappa}{2k \kappa \cosh 2 \kappa a + i(k^2 - \kappa^2) \sinh 2 \kappa a}. \] 으로, 여기서 \[ \kappa = \frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar} \] 이다. 이제 투과율을 정리하면, \[ \begin{equation} \label{eq2} \mathcal{T} = |T|^2 = \frac{(2k\kappa)^2} {(2k \kappa)^2 + (k^2 + \kappa^2)^2 \sinh^2 2 \kappa a } = \frac{1}{1+ \frac{U_0^2}{4E(U_0-E)} \sinh^2 \left[ \frac{\sqrt{2m(U_0 - E)}}{\hbar} (2a) \right] } \end{equation} \] 와 같다. 마지막 결과에서 $(2a)$는 퍼텐셜 폭이다.

다음 그래프는 퍼텐셜의 폭과 높이에 대한 투과율과 반사율을 입사하는 파의 에너지에 대해 그린 것이다.

[질문1] 경계조건을 적용하여 \eqref{eq1} 식의 $R, ~T, ~A, ~B~$를 모두 구하라.

[질문2] 영역 $\text{II}$에서의 확률밀도 흐름을 계산하라. 이로부터 영역 $\text{I}$에서 장벽으로 들어오는 흐름이 어떻게 나뉘는지의 양상을 설명하라.

[질문3] 위 그래프를 통해서 알 수 있듯이 $E \gt U_0$인 경우에는 $E$에 따라 $\mathcal{T}$가 1로서 마치 퍼텐셜의 영향을 받지 않는 것처럼 전부 투과하는 경우가 있다. 이의 조건이 다음과 같다는 것을 보여라. \[ E = -U_0 + \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{8ma^2} \] 이 조건이 장벽속에서의 물질파의 파장과 $\text{III}$ 영역의 두께 $2a$와 어떻게 관련되어 있는가? 그 이유를 설명하라.

[질문4] 두께가 0.39 nm 이고 높이가 10 eV인 퍼텐셜 장벽에 5 eV의 전자가 입사할 때 장벽을 투과할 확률을 앞의 그래프를 이용해서 구하라. 단위의 환산은 '정상상태의 수치해석' 단원의 '정상상태의 수치해석의 단위계'에서 도움을 받을 수 있다. 두께가 0.1 m 이고 높이가 10 J인 퍼텐셜에 5 J의 에너지를 가진 1 kg의 구슬이 장벽에 충돌한다면 이 경우 투과할 확률을 앞의 $\mathcal{T}$에 대한 식을 이용해서 구하라.

_ 정상상태의 수치해석의 단위계_ 반사와 투과_ 양자역학_ 경계조건_ 물질파_ 전반사_ 소멸파_ 투과율_ 반사율_ 파동

WKB 근사법

임의의 퍼텐셜 장벽에서의 투과율을 근사식으로 표현한다.

\eqref{eq2} 식의 투과율의 식에서 만일 $U_0 \gg E$으로 장벽이 입자의 에너지에 비해 훨씬 높다면 $\kappa a \gg 1$으로 $\sinh^2 2\kappa a$는 거의 $e^{4\kappa a}/4$로 볼 수 있다. 따라서 \eqref{eq2} 식은 근사적으로 \[ \begin{equation}\label{eq3} \mathcal{T} \cong \left( \frac{4k\kappa}{k^2+\kappa^2} \right)^2 e^{-4\kappa a} = 16 \frac{E (U_0-E)}{U_0^2} \exp \left[ -2d \frac{\sqrt{2m(U_0 - E)}}{\hbar} \right] \end{equation} \] 이다. 마지막 항에서 장벽의 두께 $2a$를 $d$로 나타내었다.

이제 장벽이 직사각형이 아니라 임의의 형태를 하고 있다고 할 때 이들을 오른편 그림과 같이 직사각형이 겹쳐진 것으로 취급해서, \[ \mathcal{T} = \mathcal{T}_1 \mathcal{T}_2 ~ \cdots ~ \mathcal{T}_n \] 으로 볼 수 있다. 이에 로그를 취하며 정리하면, \[ \ln \mathcal{T} = \sum^n_{i=1} \ln \mathcal{T}_i \cong \sum^n_{i=1} \left[ - 2\kappa_i d_i \right] \] 이다. 여기서 $t$에 ln 취한 값에서 지수부분만이 상대적으로 큰 값을 가지므로 나머지를 무시하였다. 이제 각각의 장벽의 폭 $2a_i$를 극한의 $dx$로 줄여서 연속적인 상황으로 보면 $\sum$은 적분이 되어 다음과 같이 계산된다. \[ \ln \mathcal{T} \cong -2 \sum \kappa_x \delta x = - \frac{2}{\hbar} \int dx \sqrt{2m[U(x)-E]} \] 여기서 적분은 $U_0\gt E$인 영역으로 국한하도록 한다. 이로 부터 장벽 전체가 겹쳐져서 나타나는 투과율은 \[ \begin{equation} \label{eq10} \mathcal{T} \cong \exp \left(- \frac{2}{\hbar} \int dx \sqrt{2m[U(x)-E]} \right) \end{equation} \] 이다. 이 식은 장벽에서 투과하는 입자의 투과율의 근사값으로 WKB 근사법(WKB approximation)이라 한다. 이 방법은 벤첼(Wentzel), 크라머르스(Kramers), 브릴루앙(Brillouin)이 보다 엄밀한 방법으로 유도하여 이들의 이름을 붙였다.

[질문1] 1eV의 전자가 높이가 10eV, 폭이 0.2nm인 퍼텐셜 장벽에 충돌할 때 투과할 확률은 얼마일까? \eqref{eq2}와 \eqref{eq3} 식으로 각각 계산하고, \eqref{eq3} 식의 근사가 적합한지 평가하라.

[질문2] 높이가 1eV인 퍼텐셜 장벽에 0.05eV의 전자가 충돌할 때 투과확률이 $1\times 10^{-6}$이 되도록 반도체 소자를 설계한다. \eqref{eq3} 식을 이용하여 다음 물음에 답하라. (a) 장벽의 폭을 얼마로 해야할까? (b) 이 소자에서의 전자의 질량이 어떤 이유로 실제의 질량에 비해서 0.05배로 줄어들어 행동한다면 투과확률은 설계치에서 어떻게 달라질까? (실제로 반도체 결정에서의 전자는 유효질량으로 행동한다) (c) 이렇게 설계된 소자에 0.06eV의 전자가 충돌하면 투과확률이 처음 설계치의 몇 배가 될까?

[질문3] 알파붕괴는 큰 원자핵에서 알파입자가 장벽을 투과해서 나오는 것이다. 3MeV의 알파입자가 높이가 15MeV, 폭이 20fm인 퍼텐셜 장벽에 충돌할 때 투과확률은 얼마일까? (알파입자는 헬륨의 원자핵이다)

_ 유효질량_ 알파붕괴_ 반도체_ 투과율

터널효과

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가모브(G. Gamow: 1904~1968)_ 러시아 태생의 이론물리학자로서 미국으로 이주해서 양자역학, 우주론, 유전학 등 다양한 분야에서 업적을 남겼다. 특히 양자역학이 성립된 초창기인 1928년 터널효과를 제안하여 알파입자의 붕괴를 설명할 수 있었고, 1948년 기존의 팽창우주론을 수정하여 대폭발이론(빅뱅이론)을 제안하였다. 이후 상대론, 양자론 등에 대해 일반인들에게 소개하는 많은 책을 저술하여 과학의 대중화에 큰 업적을 남겼다.

장벽이 아무리 높아도 뚫고나갈 가능성은 있다.

퍼텐셜 장벽이 입자의 에너지보다 큰 경우에도 입자를 투과할 확률을 가진다는 것은 입자의 파동성과 파동함수의 확률적인 해석이 정당하다는 증거가 된다.

양자역학이 막 성립된 직후인 1928년 가모브(G. Gamow) 등은 이를 이용해서 핵의 알파붕괴를 설명할 수 있었다. 핵 속의 알파입자는 강한 핵력에 의해 핵에 붙잡혀 있다. 핵력은 짧은 거리에서만 작용하므로 만일 핵에서 조금만 벗어날 수 있다면 알파입자와 나머지 핵의 양전하 때문에 강하게 서로를 밀어내는 상황이다. 이 장벽의 높이가 알파입자가 가지는 에너지보다 높아서 고전적으로는 알파입자가 핵을 탈출하는 것은 불가능하다. 그러나 앞서 알아본 것처럼 양자역학의 해석으로는 핵을 탈출할 확률이 있는 것이다.

이렇게 퍼텐셜 장벽을 통과하여 나갈 수 있는 것을 터널효과(tunnel effect)하고, 이러한 과정으로 입자가 장벽을 뚫고 나가는 현상을 터널링(tunneling)이라 한다. 이 터널링은 현대의 여러 전자공학적 소자의 작동을 설명하는 필수적인 원리가 되었다. 특히 나노 과학에서 중요한 관측장비로 쓰이는 주사터널링현미경(STM: scanning tunneling microscope)도 이 현상을 이용한 기기이다.

_ 양자역학_ 파동함수_ 알파붕괴_ 핵력