정상상태의 수치해석

정상상태의 수치해석 기법

어떤 계에 대한 슈뢰딩거 방정식도 해석해 낼 수 있다.

1차원의 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 $m=\frac{1}{2}$, $\hbar = 1$로 둔 단위로 쓰면 다음과 같이 간단해진다. \[ \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = v(x)\psi(x) \quad \text{where} \quad v(x) = U(x) - E \] 이다. 이 방정식을 풀이한다는 것은 이를 만족하는 특정한 $E$와 $\psi(x)$를 동시에 구하는 일이다. 특히 $\psi(x)$는 물리적으로 합당하게 주어져야 하므로 보통의 경우 $E$가 아무 값이나 가지지 못하고 특정한 값만이 가능하다. 여느 미분방정식을 풀이하는 것보다 어려운 점은 바로 특정한 $E$를 잘 선택해야 하고 아울러 이에 대한 고유함수 $\psi(x)$를 구해야 하는 점이다.

이제 $x$ 축을 $\varepsilon$의 간격으로 띄엄띄엄한 격자로 잡는다. \[ x_i = x_0 + \varepsilon i \]

$\psi(x)$와 $v(x)$도 $x_i$에서만 정의하여 다음의 수열로 표현한다. \[ \psi(x) \Rightarrow \{ \psi(x_0), \psi(x_1), \psi(x_2), ... , \psi(x_i), \psi(x_{i+1}), ... \} \Rightarrow \{ \psi_0, \psi_1, \psi_2, ... , \psi_i, \psi_{i+1}, ... \} \] \[ v(x) \Rightarrow \{ v(x_0), v(x_1), v(x_2), ... , v(x_i), v(x_{i+1}), ... \} \Rightarrow \{ v_0, v_1, v_2, ... , v_i, v_{i+1}, ... \} \]

만일 $\varepsilon$를 작은 값으로 하면 $\psi_i$는 연속적으로 주어지는 $\psi(x)$의 정보를 거의 가진다고 할 수 있다. 이제 이들 이산적인 값들 $\{ \psi_0, ... , \psi_i, ... \}$ 사이의 관계를 슈뢰딩거 방정식으로부터 찾는다. 우선 $\psi(x)$를 $x$에 대해 미분한 근사식은 \[ \psi'(x_i) = \frac{\psi_{i+1}-\psi_{i}}{\varepsilon} + O(\varepsilon) = \frac{\psi_{i}-\psi_{i-1}}{\varepsilon} + O(\varepsilon) \] 이다. 여기서의 $O(\varepsilon)$은 $\varepsilon$에 비례하는 오차를 가진다는 것이다. 위 식에서 두 번째나 세 번째의 것은 같은 정도의 오차를 가진 것으로 전후의 두 함숫값이 계산에 관여되어 있기 때문에 2점 공식이라 한다. 한편 비록 $\varepsilon$이 0으로 접근할 때에는 앞의 것과 뒤의 것이 모두 정확한 값을 준다 할지라도 컴퓨터로 계산할 때에는 이를 지나치게 작게 잡을 수 없다. 즉, $\varepsilon$을 작게 잡으면 파동함수의 수열이 매우 커져서 컴퓨터의 연산시간이나 기억용량의 한계에 이르기도 하고, 컴퓨터의 계산자리수가 제한되어 있는 데 따른 반올림 오차(round-off error)가 커진다. 따라서 현실적으로 $\varepsilon$을 적절한 크기로 잡아야 해서 보다 정교한 근사식이 필요할 수 있다. 이 중 하나는 3점 공식이라 일컫는 다음 식이 있다. \[ \psi'(x_i) = \frac{\psi_{i+1}-\psi_{i-1}}{2\varepsilon} + O(\varepsilon^2) \]

이제 2차 미분은 1차 미분을 두 번 적용하면 \[ \psi''(x_i) = \frac{\psi_{i+1}-2\psi_{i}+\psi_{i-1}}{\varepsilon^2} + O(\varepsilon^2) \] 으로 이 관계는 역시 세 점에서의 $\psi$이 관련되어 있어 3점 공식이라 한다. 물론 이보다 정교한 여러 가지 식이 있지만 일반적인 상황을 이해하는 데 크게 달라질 것이 없으므로 여기서는 더 고급의 수치해석에 대한 언급은 하지 않는다. 그리고 각 식에 필연적으로 따라붙여야 할 $O(\varepsilon)$ 등도 생략하자.

이제 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 파동함수의 수열 $\{ \psi_0, ... , \psi_i, ... \}$의 관계로 다시 쓴다. \[ \frac{\psi_{i+1}-2\psi_{i}+\psi_{i-1}}{\varepsilon^2} = v_i \psi_i \] 따라서 퍼텐셜과 에너지로부터 계산되는 $\{v_i \}$의 수열이 주어진다면 이 식은 $\{\psi_i \}$ 사이의 점화관계식이 된다. 즉 인접한 두 지점의 $\psi$를 알면 이들 주변의 값을 구할 수 있고, 이로부터 모든 지점의 $\psi$를 알 수 있게된다. 실제로 인접한 두 지점이 아니라도 괜찮다. 이는 2계미분방정식이 두 지점에서의 함숫값을 알거나 한 지점의 함숫값, 다른 한 지점에서의 미분값을 알면 함수가 확정된다는 일반적인 이론과 부합된다.

왼쪽 가장자리 두 점의 함수를 알고, 순차적으로 오른쪽으로 전개하는 경우로 앞 식을 다시 정리하면, \[ \psi_{i+1} = -\psi_{i-1} + (2 + \varepsilon^2 v_i) \psi_i \] 이다.

_ 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식_ 고유함수_ 파동함수_ 격자

정상상태의 수치해석의 단위계

'슈뢰딩거 방정식의 수치해석에서의 단위계'에서 이미 $m=\frac{1}{2}$, $\hbar = 1$의 단위계의 의미를 살펴보았다. 여기서는 정상상태의 경우에는 시간은 명시적으로 나타나지 않으나 완전한 해가 \[ \Psi(x, t) = \psi(x) e^{-i \frac{E}{\hbar}t} \] 가 되어 시간에 따라 에너지 고유치에 상당하는 진동수로 진동을 하여 시간 의존성이 복구된다.

뒤에 수치해석의 예로 보이는 프로그램들은 입자가 전자인 경우로 하여 기본질량을 9.109 x 10^-31 kg 으로 하고 또한 에너지를 eV를 기본단위로 택하였다. 이러한 선택에 따라 길이와 시간은 선택의 여지가 없어진다. 즉

길이의 단위 = 1.95 x 10^-10m = 0.195 nm

시간의 단위 = 6.59 x 10^-16 sec

에너지의 단위 = 1.602 x 10^-19 Joule = 1 eV

이다. 다음에 이어지는 프로그램들은 이와 같은 단위에 따라서 길이나 에너지 값을 표현하지만 다른 축척을 선택하여 결과를 달리 해석할 수도 있을 것이다.

[질문1] 이 단위계에서 전자가 진동수 $\omega$의 조화진동자로 있을 때의 퍼텐셜은 어떻게 표현해야 할까?

[질문2] 1 kg 의 구슬이 Joule 정도의 에너지를 가지고 양자역학적으로 거동한다고 했을 때 이를 다루기 위해 선택하는 단위계는 어때야 할까? 이 경우 수치해석이 곤란한 상황에 놓일 수 있는 데 무엇일까?

_ 슈뢰딩거 방정식의 수치해석에서의 단위계_ 조화진동자_ 양자역학_ 정상상태_ 진동수