정상상태의 수치해석

시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식의 수치해석

어떤 계에 대한 슈뢰딩거 방정식도 해석해 낼 수 있다.

시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 풀이하는 예로서 1차원 상자, 조화진동자, 수소원자의 경우를 살펴보았다. 이들이 비록 물리적으로 의미가 큰 문제이기는 하지만 실제로 우리가 만나는 양자역학의 계는 이처럼 단순한 퍼텐셜로 되어 있지 않고, 대부분 대수적으로 풀리지 않는다.

그러나 지금의 수학으로 문제가 풀리거나 풀리지 않거나 자연은 관계하지 않고 그대로 존재할 뿐이다. 자연은 마치 수학적인 해를 알고 있는 것처럼 완벽하게 그가 가진 질서대로 행동한다. 슈뢰딩거 방정식도 그 질서의 하나이다. 그렇다면 대부분의 풀리지 않는 문제들을 우리는 어떻게 다루어야 할까?

이에 대한 해답이 바로 수치해석이다. 수치해석(numerical analysis)은 근사해를 구하는 한 방법으로 오래 전에 나온 것이지만 현대의 컴퓨터의 연산능력, 데이터 처리 능력에 힘입어 널리 쓰이고 있다. 수치해석에서는 연속적인 함수를 띄엄띄엄한 값의 집합으로 취급하여 컴퓨터가 다룰 수 있게 한다. 이 교재에서 보이는 대부분의 물리적인 움직임을 하는 프로그램들은 수치해석 기법을 이용한 것으로 이 기법은 양자역학뿐만 아니라 물리나 자연과학이나 공학 등 전반적인 분야에 응용된다. 양자역학에서와 같이 실제의 자연은 단순한 구조를 하고 있지 않기 때문이다.

어떤 물리계의 행동을 양자역학으로 해석하는 일은 역학에서의 질점으로서의 입자의 궤적을 해석해 내는 일보다 훨씬 어려운 일이다. 이는 양자역학이 공간에 널리 분포하는 파동함수로서 기술되는 데다가 이의 행동이 우리의 인지 영역에 벗어나 있어 이를 직관적으로 이해하는 것이 쉽지 않기 때문이다. 양자역학은 선형대수학의 구조를 하고 있어 어쩌면 순수 수학적인 문제로 보이기도 하다.

그러나 실제로 양자역학에서 다루는 물질파동도 우리가 눈으로 보는 수면파나 줄의 파동 등 보통의 파동과 크게 차이나지 않으며, 이를 앞서 '슈뢰딩거 방정식의 수치해석' 단원에서 다양한 퍼텐셜에서의 물질파동의 행동을 통해 살펴 볼 수 있었다. 거기서의 '파동묶음의 운동 모의실험'과 '2차원 파동묶음의 운동 모의실험'은 역시 수치해석으로 풀이 한 것이다. 한편, 물질파의 정상상태는 이처럼 역동적인 움직임이 있는 것이 아니라 시간이 흘러가도 파동함수가 복소평면을 회전할 뿐 고정된 크기를 유지하고 있는 것을 말한다. 그리고 이는 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식으로 해석할 수 있다.

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정상상태의 일반적인 성질

임의의 퍼텐셜을 하고 있는 경우, 비록 해석적으로 그 해를 구하기 어렵더라도 슈뢰딩거 방정식의 구조로부터 해의 일반적인 형태를 추정해 보는 것은 가능하다.

퍼텐셜과 에너지의 차이에 따른 파동함수의 행동

슈뢰딩거 방정식을 다음처럼 \[ \psi''(x) = \frac{2m}{\hbar^2} [U(x)-E]\psi(x) \] 쓰자. 여기서 $\frac{2m}{\hbar^2}$는 항상 양의 값이므로 $U(x)-E$의 부호에 따라 $\psi$의 행동이 달라지는 것을 쉽게 예상할 수 있다.

우선 $U(x)-E \gt 0$인 경우에는 항상 $\psi''$는 $\psi$와 부호가 같다. 따라서 $\psi$가 + 인 경우에는 $\psi''$도 $+$ 값이므로 아래로 볼록한 함수가 되어야 하여 $\psi$가 +의 기울기를 가졌다면 점점 더 기울어져야 하고, - 의 기울기를 가졌다면 점점 완만해져야 한다. 따라서 앞의 경우에는 0 을 지날 가능성이 없이 기하급수적으로 $\psi$가 커진다. 그러나 뒤의 경우에는 0을 지날 가능성이 있다. 이제 $\psi$가 - 인 경우에는 반대 상황이다. $\psi''$도 $-$ 값이므로 위로 볼록한 함수가 되어야 하고, 따라서 - 기울기를 가진 경우에는 기하급수적으로 감소하게 된다. 반면에 + 기울기를 가진 경우에는 더 완만해 져서 0 점을 지날 가능성이 있다. 즉, $\psi$가 + 이거나 - 이거나 취하는 행동은 $x$축을 중심으로 대칭이다. 한편 0 을 막 지난 후에는 $\psi$의 행동이 극적으로 달라지기 때문에 다시 되돌아와서 0 을 지나는 형태, 즉 진동의 양상이 결코 나타날 수 없다. 만일 $U(x)$가 $U$로서 일정하다면, 파동함수는 \[ \psi \propto e^{Kx}, e^{-Kx} \quad \text{where} \quad K = \frac{\sqrt{2m(U-E)}}{\hbar} \] 으로 지수함수적으로 감소하거나 증가하는 함수가 된다.

이제 $U(x)-E \lt 0$ 인 경우는 앞의 해석과 반대이다. 즉 $\psi$가 + 이면, 위로 볼록하고, - 이면 아래로 볼록해야 한다. 따라서 증가하거나 감소하고 있더라도 0 으로 되돌아 오는 방향이 되고, 0을 지나게 되면 다시 되돌아 올 가능성이 있다. 따라서 이 경우에는 0 을 중심으로 파동함수가 보통의 파동처럼 진동을 하는 모양이 되고 그 정도는 $|U(x)-E|$에 의존할 것이다. 즉 $|U(x)-E|$이 크면 $x$축을 따라서 빈번하게 $\psi$의 부호가 바뀌며, 따라서 파장이 작은 파형을 할 것이다. 만일 $U(x)$가 $U$로서 일정하다면, 파동함수는 \[ \psi \propto e^{ikx}, e^{-ikx} \quad \text{where} \quad k = \frac{\sqrt{2m(E-U)}}{\hbar} \] 로서 일정한 파장, 파수의 진동모양을 하게 된다.

이상의 결과를 정리하면,

1. 모든 $x$에서 $U(x)-E \gt 0$이라면 적합한 해가 없다. 모든 지점에서 $\psi$가 + 의 영역에서는 아래로 볼록하고, - 의 영역에서 위로 볼록한 조건과 $x=\pm \infty$에서 $\psi$가 0 이라는 기본적인 경계조건을 만족하는 상황을 만들 수 없기 때문이다. 이 경우는 고전적인 해 역시 없다.

2. 모든 $x$에서 $U(x)-E \lt 0$이라면 모든 $x$에서 진동하는 형태이다. 따라서 이 경우에는 $x=\pm \infty$에서 조차 진동이 계속될 수 밖에 없어 규격화에서 약간의 문제가 있으나 허용되지 않는 것은 아니다. 여기서는 $E$의 값이 어떻더라도 관계없기 때문에 연속적인 스펙트럼을 가진다.

3. 한정된 영역에서만 $U(x)-E \lt 0$인 경우 고전적으로는 그 영역에서만 실제 입자가 뛰놀 수 있다. 그 영역에서만 $\psi$가 진동형이 되고, 이 바깥에서는 앞의 1의 경우가 되므로 $x=\pm \infty$ 방향으로 지수함수적으로 감소하여 $x=\pm \infty$ 에서는 $\psi$가 0 이 되어야 한다. 따라서 이러한 경계조건을 만족하기 위한 $E$가 특별하게 주어지므로 띄엄띄엄한 값을 가질 수 밖에 없다. 한편 $E$가 커지면 점점 $U(x)-E \lt 0$의 영역도 넓어지고, 아울러 진동하는 그 파장도 점점 줄어들게 되고, 마디의 수는 늘어난다. $U(x)-E \lt 0$의 영역 바깥에서 지수함수적으로 감소하면서 영역내부에서 진동을 하는 것으로 가장 적은 $E$를 가지는 경우는 0을 지나지 않고 반의 진동이 있는 경우로서 이것이 바닥상태이다. 첫 번째 들뜬상태는 1개의 마디를 가지고 있고, 두 번째 들뜬 상태는 2개의 마디를 가진다. 따라서 $n$ 번째 들뜬상태는 $n$개의 마디를 가진다.

4. 퍼텐셜의 불연속이 있더라도 파동함수는 연속이고 1차 미분연속이어야 한다. 앞의 슈뢰딩거 방정식을 불연속이 있는 $x_0$전후로 같이 적분하면 다음과 같다. \[ \begin{equation} \label{eq4} \psi'(x_0+\epsilon) - \psi'(x_0-\epsilon) = \frac{2m}{\hbar^2} \int_{x_0 - \epsilon}^{x_0 + \epsilon} [U(x)-E]\psi(x) dx \end{equation} \] 이제 $\epsilon$을 0 으로 보내면 우항은 유한한 함수를 0의 구간으로 적분한 것이어서 0 이 된다. 따라서 1차 미분연속이어야 한다. 또한 $\psi$는 물리적 의미를 가진 함수로서 1가 함수이어야 한다.

5. $\delta$ 함수형의 퍼텐셜이 있으면 1차 미분은 연속이 아니다. 이는 앞의 \eqref{eq4} 식에서 $U(x) = \delta(x-a)$를 대입하면 오른쪽 적분이 $\psi(a)$가 되어 $x=a$에서 그 만큼의 1차 미분에 불연속이 있는 것이다.

6. 어떤 영역에서 $U=\infty$인 경우 $\psi=0$이어야 한다. 이는 $U(x)-E$이 $\infty$ 이므로 $K=\infty$가 되어 의미있는 지수함수가 0 일 수 밖에 없기 때문이다.

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