양자파동의 운동 2

아래 프로그램은 정사각형의 제한된 2차원 공간에서 여러 가지 퍼텐셜하에서 뛰노는 물질파의 행동을 알아보기 위한 것이다. 수치계산은 앞서 설명한 '2차원 물질파의 수치해석'을 이용하였다.

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2차원 파동묶음의 운동 모의실험_파동묶음의 조건과 퍼텐셜의 배치를 여러 가지로 변화시킬 수 있다. 왼쪽 그림은 퍼텐셜 그래프이고, 그 오른편은 입자의 파동함수의 그래프이다. 그리고 아래의 조절창을 통해 퍼텐셜의 모양, 초기의 파동함수 등을 조절할 수 있다. 수치해석의 영역은 정사각형으로 제한하였으며, 가장자리에 무한히 높은 퍼텐셜이 설정되어 있어 여기에서 파동은 위상이 반대가 되어 반사된다. 그물 형태의 그래프는 실제보다 성기게 표현하였으며 '크게보기'를 통하여 보다 세밀히 관찰할 수 있다.

프로그램 설명

1. 앞의 '2차원 조화진동자에서의 파동묶음의 운동'과 같은 조건으로, 공간격자점은 128 x 128개, 공간격자간격 $\varepsilon = 1/128$이다. 시간격자간격($\delta$)은 $\lambda = 2\varepsilon^2/\delta = 4$가 되도록 하였다.

2. 처음에 주어지는 파동함수는 앞서와 같이 회전대칭의 2차원 가우스함수 모양이다.

3. 파속의 중심위치 $(x_o, y_o)$는 '$\langle x \rangle$' 및 '$\langle y \rangle$'의 슬라이더로 조절할 수 있으며, 또한 초기의 중심 파수벡터 $(k_{xo}, k_{yo})$는 '$\langle k_x \rangle$' 및 '$\langle k_y \rangle$'로 조절할 수 있다. 그리고 파동함수의 퍼진 정도는 '$\Delta x$' 로 조절한다. 파동함수의 모양은 오른편에 다양한 형태의 그래프로 나타내었다.

4. 퍼텐셜은 조절창 왼편의 콤보박스로 선택하여 세부값들은 'Max Potential', 'x center', 'y center', 'scale' 등으로 설정할 수 있다. 퍼텐셜은 왼쪽의 그래프로 나타내었다.

5. 오른쪽의 파동함수 그래프는 표면형과 이미지로 표현한다. 표면형은 푸른 색조로 확률분포함수를 나타내나 위의 'view HVS color'를 선택하면 진폭을 높이로, 위상을 표면의 색채로 표현한다. 'Wave Ftn' 탭을 선택하면 전 공간영역의 파동함수를 HSV 색모형으로 나타낸다.

6. 파동함수의 표면형 그래프에서 녹색의 두 막대그래프는 각각 $x$와 $y$ 좌표에 투영시킨 확률밀도를 나타낸다.

7. 'start'버튼을 눌러 운동을 시작시키면 파동함수가 시간의 흐름에 따라 변화되며 이 결과가 오른편의 파동함수 그래프에 반영되어 나타난다.

자유입자의 운동

1. 'Select Thema'에서 'Free Particle Exp.'를 선택하면 상자 속에는 퍼텐셜이 0으로 주어진다. 이 조건에서 운동시켜 시간이 흐름에 따라 파동함수가 넓어지는 것을 관찰하자.

2. 파동묶음은 대체적으로 그 형태를 유지하면서 범위가 점차 넓어지는 것을 볼 수 있을 것이다. 이렇게 분산하는 것은 물질파의 특징이다. 만일에 이것이 고전적인 파동이었으면 그 행동이 어떻게 될까?

3. 가장자리에 이르면 무한히 높은 퍼텐셜에 의해 위상이 반전되어 반사된다. 입사파와 반사파가 만나는 영역에서는 정상파가 형성되는 데 격자 형태를 하게 되는 이유를 생각해 보자.

4. 이 상황은 전적으로 1차원의 파동묶음의 행동이 곱해진 것으로 볼 수 있다. 즉 초기에 주어지는 파동함수를 $x$와 $y$에 대해 분리할 수 있고, 아울러 파동방정식도 분리가 가능하다. 이를 구체적으로 확인해 보자. 여기서의 모의실험의 결과와 앞에서의 1차원 파동묶음의 모의실험의 결과를 비교해서 분석해 보자.

퍼텐셜 우물에 갇힌 입자

1. 'Select Thema'에서 'Potential Well (Bounded)'를 선택하면 원형의 퍼텐셜 우물이 주어지고 그 중심에 파동묶음이 놓이게 된다. '운동'시키면 파동함수가 거의 우물의 범위 내에서 뛰노는 것을 관찰할 수 있다.

2. 이 경우는 'Max Potential'의 슬라이더로 우물의 깊이를 조절할 수 있다. 깊이를 달리하여 파동함수가 존재하는 범위가 어떻게 달라지는지를 살펴보자.

3. 'Scale'로 우물의 반경을 조절할 수 있다. 우물의 반경을 변경시켜서 같은 실험을 반복해 보자.

4. '<k_x>'와 '<k_y>'의 슬라이더로 중심 파벡터를 0으로 두자. 이 선택은 처음의 파동함수가 거의 정적으로 설정된다. 이때의 파동의 운동은 우물의 중앙에 대한 대칭의 운동이 일어난다. 이러한 경우 파동방정식을 극좌표 $(r, \theta)$로 표현하면 $r$만의 일차원의 파동으로 전개할 수 있다. 이때 $\Psi(r, t)$의 파동함수가 만족하는 파동방정식을 세워보자.

퍼텐셜 계단을 올라가는 입자

1. 'Select Thema'에서 'Potential Step Exp.'를 선택하면 상자속의 대각선으로 퍼텐셜 계단이 형성된다. 이때 입자가 계단을 올라갈 때 그 경계에서 파동이 부분적으로 반사하는 것을 살펴보자.

2. 계단 아래와 위에서의 파동함수의 파장이 어떻게 달라지는지 살펴보자. 이때 파동함수는 'Wave Ftn(Complex Image)'로 보면 파동함수의 위상의 분포가 색채로 나타나서 파장의 측정이 용이하다.

3. 오랜 시간이 흘렀을 때 대체로 파동함수는 퍼텐셜이 낮은 영역에 머무르고 있는 것을 관찰 할 수 있다. 이를 확인하고 설명해 보자.

조화진동자 실험

1. 앞의 '2차원 조화진동자에서의 파동묶음의 운동'과 비슷한 상황이다.

2. 'Select Thema'에서 'Harmonic Oscillator Exp.'를 선택하면 상자의 중앙이 평형점인 조화진동자의 퍼텐셜이 만들어진다. '운동'시키면 처음에 주어진 파동묶음은 그 형태를 유지하면서 중앙을 중심으로 하여 거의 원운동을 하는 것을 볼 수 있다. 이 운동을 오랫동안 관찰하자. 그리고 다른 퍼텐셜에서와 달리 파동묶음이 그 형태를 유지하는 이유를 생각해 보자.

3. 처음에 주어지는 파동묶음의 파벡터 값을 약간 달리하여 '운동'시키면 전과는 조금 다른 운동을 하게 된다. 어떻게 달라졌는가? '<k_y>'는 0 으로 둔채 '<k_x>'를 25 에서 조금씩 줄이면서 오랫동안 운동을 관찰해 보자.

단일슬릿 회절 및 이중슬릿 간섭

1. 'Select Thema'에서 'Single Slit Diffraction'을 선택하면 상자의 대각선으로 좁은 틈이 있는 퍼텐셜 장벽이 형성된다. 이때 파동묶음을 운동시키면 $x, y$ 좌표의 원점 방향으로 다가오면서 틈을 통과한다. 통과한 후의 파동은 어떠한지 살펴보자.

2. '$\Delta x$'로서 파동묶음의 범위를 여러 가지로 하여 같은 틈에 대한 회절의 효과를 비교하여 관찰하고 그 결과를 분석해 보자. 빛에 대한 단일슬릿 회절과 유사한 상황이 어떤 조건에서 잘 만들어 지는가?

4. 'Select Thema'에서 'Double Slit Interference'를 선택하면 빛의 이중슬릿 간섭과 비슷한 상황이 된다. 두 틈의 간격이나 초기 파동의 조건을 달리하여 간섭이 일어나는 현상을 관찰하자.

라더포드 산란

1. 'Select Thema'에서 'Rutherford Scattering'를 선택하면 $1/r$의 퍼텐셜이 형성되어 마치 원자핵에 의해 알파입자가 받는 힘과 비슷하게 척력이 입자에 작용하여 라더포드 산란의 상황과 비슷해진다. 이 퍼텐셜에 의해 파동묶음이 산란하는 모양을 관찰하자.

2. 파동묶음의 위치를 조금 변경하여 중심에서 약간 어긋나게 입사하는 파동묶음을 만들어 같은 실험을 되풀이 하자. 파동묶음이 흩어지는 모양이 척력의 효과를 반영하는지와 충돌경수(impact parameter)와 꺾어지는 각도 사이에 어떤 관계가 있는 지를 살펴보자.

3. 비슷한 실험을 $-1/r$의 인력을 갖는 퍼텐셜이나 원기둥 형태의 퍼텐셜에 대해 해보고 퍼텐셜의 형태에 따라 달라지는 결과를 설명해 보자.

4. 여기서는 실험은 2차원인 경우이다. 실제의 라더포드 산란실험의 상황과 어떻게 다른지 생각해 보자.