양자파동의 운동 2

'조화력을 받는 파동묶음의 운동'에서 살펴본 것처럼 파동묶음이 고전론에서의 입자와 비슷하게 행동하는 경우가 조화력을 받고 있을 때이다 이러한 상황은 2차원이나 3차원에서도 마찬가지이다. 여기서는 앞서 설명한 2차원에 대한 슈뢰딩거 방정식의 수치해석 방법으로 2차원 조화진동에 대해 알아본다. 이 경우의 퍼텐셜은

$U(x, y) = \frac{1}{2}\left[ K_x (x-x_c)^2 + K_y (y-y_c)^2 \right]$ 이다. 고전입자라면

$x$ ,

$y$ 축에 대해 독립적으로 조화진동을 할 것이다. 만일 각 축에 대한 진동주기가 정수비를 하고 있다면 리사주 도형의 궤적을 그릴 것이다.

exp

Java?

2차원 조화진동자에서의 파동묶음의 운동_ 2차원 공간에서 조화력이 작용할 때의 파동묶음의 운동을 보여준다. 공간의 격자점은 128 x 128개이고, 중심에 조화력의 원점이 있다. 처음에 나타나는 그물 그래프는 확률밀도함수로서 가우스함수 모양을 한다. $x, y$ 방향으로의 용수철상수 'Kx', 'Ky'와 파동묶음의 모양을 다양하게 편집할 수 있다.

프로그램 설명

1. 공간격자점은 128 x 128개이고 공간격자간격은

$\varepsilon = 1/128$ 로 하였다. 따라서 공간의

$x, y$ 영역은

$0 \sim 1$ 으로 정사각형 공간내에 들어 있다. 시간격자간격(

$\delta$ )은

$\lambda = 2\varepsilon^2/\delta = 4$ 가 되도록 하였다.

2. 1차원의 경우와 비교하여 데이터의 양이 많아서 프로그램이 수행되는 데 시간이 많이 걸리고 또한 컴퓨터의 자원을 많이 요구한다. 여기서는 2회 내부 계산을 거쳐서 화면을 갱신한다. 즉 한 화면사이의 시간경과는

$2\delta$ 이다.

3. 화면의 오른쪽 상단에는 현재의 파동함수로부터 계산된 데이터를 표시한다. 여기서의 거리나 시간은

$m=\frac{1}{2}$ ,

$\hbar = 1$ 으로 둔 단위로 표시한다. 실제 상황에 적용하려면 물리적인 단위로 적절하게 환산하여야 한다. '슈뢰딩거 방정식의 수치해석에서의 단위계'을 참고하라.

4. 처음에 주어지는 파동함수는 다음과 같이 축대칭을 가진 2차원에서의 가우스함수이다.

$\Psi(x,y,0)= A\exp \left( - \frac{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}{4\Delta^2} \right) e^{i[k_{xo}(x-x_0)+k_{yo}(y-y_0)]}$

5. 파속의 중심위치

$(x_0, y_0)$ 는 '

$\langle x \rangle$ ' 및 '

$\langle y \rangle$ '의 슬라이더로 조절할 수 있으며, 또한 초기의 중심 파수벡터

$(k_{xo}, k_{yo})$ 는 '

$\langle k_x \rangle$ ' 및 '

$\langle k_y \rangle$ '로 조절할 수 있다. 그리고 파동함수의 퍼진 정도는 '

$\Delta x, \Delta y$ ' 로 조절한다. 이를 통해 변경된 파동함수의 모양은 즉각 왼편에 그래프로 나타낸다.

6. 퍼텐셜 중심

$(x_c, y_c)$ 는 화면의 중앙점인

$(0.5, 0.5)$ 로 고정하였다. 용수철 상수

$K_x$ 와

$K_y$ 는 각각 'Kx'와 'Ky' 슬라이더로 조절한다.

7. 파동함수 그래프는 표면형과 이미지로 표현한다. 표면형인 경우 푸른 색조로 확률 분포를 나타내나 위의 'view HVS color'를 선택하면 진폭을 높이로, 위상을 표면색채로 표현한다. 'Wave Ftn' 탭을 선택하면 전 공간영역의 파동함수를 HSV 색모형으로 나타낸다.

8. 파동함수의 표면형 그래프에서 녹색의 막대그래프들은 각각

$x$ 와

$y$ 좌표축에 투영시킨 확률밀도를 나타낸다. 이때 각 축에 붉은 점으로 나타낸 지점이 입자의 평균위치, 심홍색의 막대그래프 영역은 입자의 불확정범위이다.

9. 이미지형 그래프에서는 입자의 평균위치를 붉은 색 공 모양으로, 나타내고, 장시간에 걸친 입자의 궤적도 같이 표시한다.

10. 'start'버튼을 눌러 운동을 시작시키면 파동함수가 시간의 흐름에 따라 변화되며 이 결과가 오른편의 파동함수 그래프에 반영되어 나타난다.

파동묶음의 2차원 조화운동

1. __'조화력에서의 파동묶음의 운동'__에서 1차원의 조화운동에 대해 살펴본 것 처럼 이 경우도 입자의 평균위치가 만족하는 방정식이 고전역학에서와 동일하다. 따라서 '리사주 운동의 모의실험'에서의 운동을 비교해 볼 수 있다.

$K_x$ 와

$K_y$ 를 동일하게 설정하면 중심에서의 거리에 비례하는 복원력을 가진 상황으로 입자의 평균위치는 타원을 그리게 된다.

$x, y$ 를 분리하여 각 축에서의 입자의 평균위치

$\langle x \rangle$ 와

$\langle y \rangle$ 를 따로따로 관찰하면

$K_x$ 와

$K_y$ 로 부터 계산되는 고유진동수를 가진 1차원의 조화진동자가 결합된 운동으로 볼 수 있다.

4. 처음의 파동묶음의 중심을 퍼텐셜의 중심에 두고, 또한 중심 파벡터를 0으로 두고 파동함수의 운동을 살펴보자. 파동함수는 형태을 거의 그대로 유지하면서 폭이 넓어졌다가 좁아지는 운동을 되풀이 할 것이다. 이때 두 용수철상수를 동일하게 하면서 크기를 적절히 조절하면 파동함수가 거의 변하지 않고 일정한 형태를 유지하는 상항을 만들 수 있다. 이렇게 파동함수가 시간에 따라 변하지 않는 것을 정상파라고 하고 이 상태를 고유상태라 한다. 그리고 입자의 에너지도 단일한 값을 가지게 되는 데 이 에너지 값을 고유에너지라고 한다. 정상파는 보통의 파동에서와 마찬가지로 양자역학에서 아주 중요하게 취급하고 있다. 조화진동의 파동함수에서 기본모드가 마침 가우스함수를 하고 있어 이와 비슷한 상황을 만들어 볼 수 있다.