양자파동의 운동 2

2차원 슈뢰딩거 파동방정식의 수치해석

파동함수를 공간의 2차원 격자, 시간의 1차원 격자에서의 이산값으로 해석한다.

슈뢰딩거 방정식의 일반형은 \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,y;t) = H \Psi(x,y;t) \] 이다. 여기서 $H$는 해밀토니안 연산자로서 $H = T + U$로 표현된다. 운동에너지 연산자 $T$는 미분연산자 형태 $-(\hbar^2/2m)\nabla^2$으로 표현된다. 2차원의 경우 $\nabla^2$에는 $x$와 $y$에 대한 2계편미분항이 도입된다. 1차원 경우와 마찬가지로 $\hbar= 1, m = 1/2$의 단위계를 사용하여 2차원의 슈뢰딩거 벙정식을 정리하자. \[ \begin{equation} \label{eq2} \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,y;t) = -iH\Psi(x,y;t) = L\Psi(x,y;t) \end{equation} \] 여기서 \[ L = -iH = i \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) - i U \] 이다. 이제 \eqref{eq2} 식의 해는 \[ \Psi(x, y; t+\delta) = \exp(L\delta) \Psi(x, y; t) \] 으로 이는 다분히 형식적인 표현이다. 여기서 연산자 지수에 있는 $L\delta$는 $\exp$ 함수를 멱급수로 전개한 것으로 이해한다.

이제 1차원에서 했던 것처럼 공간과 시간의 공간의 좌표를 $\varepsilon$과 $\delta$의 격자로 나누어 $\Psi(j\varepsilon, m\varepsilon, n\delta) = \Psi_{jm}^n$으로 표현하여 위 식을 다시 쓰면 다음과 같이 행렬식 형태로 된다. \[ \begin{equation} \label{eq5} \Psi_{jm}^{n+1} = \exp(L\delta) \Psi_{jm}^n \end{equation} \] 여기서 $\exp(L\delta)$을 격자에 대한 식으로 바꾸어서 적용해야 하는 데 이를 $t=n\delta$ 시점의 것으로 택하면 처음에 주어진 $\Psi_{jm}^n$으로 부터 $\Psi_{jm}^{n+1}$을 모두 구할 수 있게 된다. 그러나 이 방법이 간편하기는 하지만 확률밀도가 보존되지 않아 계산오차가 심각하게 누적된다. 따라서 1차원에서 그랬던 것처럼 $t=n\delta$ 시점과 $t=(n+1)\delta$의 시점을 평균하여 적용하는 방법이 있다. 이 경우 $\Psi_{jm}^{n+1}$이 명시적으로 계산되지 않아서 이를 환산해 내는 데 어려운 점이 발생한다. 이러한 점을 고려해서 여기서는 다음과 같이 연산자의 근사관계를 이용하도록 한다. \eqref{eq5} 식을 다시 쓰면, \[ \begin{equation} \label{eq6} \exp(-\frac{L\delta}{2}) \Psi_{jm}^{n+1} = \exp(\frac{L\delta}{2}) \Psi_{jm}^n \end{equation} \] 파동함수에 걸리는 두 연산자는 각각 $n+1$시점과 $n$의 시점으로 적용하는 것으로 \eqref{eq5} 보다는 더 정교한 근사라 할 수 있다.

x, y의 두 단계로 나누어서 해석한다.

$\exp$함수로 된 연산자는 $\delta$가 작은 조건에서 다음과 같이 근사된다. \[ \eqalign{ \exp \left( \pm \frac{L\delta}{2} \right) & \approx \exp \left[ \pm \frac{i}{2} \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) \delta \right] \exp \left( \mp \frac{i}{2}U\delta \right) \\ & \approx \left[ 1 \pm \frac{i}{2} \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) \delta \right] \exp \left( \mp \frac{i}{2}U\delta \right) \\ & \approx \left( 1 \pm i \frac{\Delta_x^2}{\lambda} \right) \left( 1 \pm i \frac{\Delta_y^2}{\lambda} \right) \exp \left( \mp \frac{i}{2}U\delta \right) } \] 여기서 $\Delta_x, \Delta_y$는 거듭차분연산자로 $\Psi_{jm}^n$에 걸리는 경우 각각 $\Psi_{j+1,m}^n - 2 \Psi_{j,m}^n + \Psi_{j-1,m}^n$, $\Psi_{j,m+1}^n - 2 \Psi_{j,m}^n + \Psi_{j,m-1}^n$로 표현된다. 또한 1차원의 경우와 마찬가지로 $\lambda = 2\varepsilon^2/\delta$이다.

이제 이들 근사관계를 이용해서 \eqref{eq6}의 이산형 슈뢰딩거 방정식을 다음과 같이 정리할 수 있다. \[ \begin{equation} \label{eq8} \left( 1 - i \frac{\Delta_x^2}{\lambda} \right) \left( 1 - i \frac{\Delta_y^2}{\lambda} \right) e^{\frac{i}{2}U\delta } \Psi_{jm}^{n+1} = \left( 1 + i \frac{\Delta_x^2}{\lambda} \right) \left( 1 + i \frac{\Delta_y^2}{\lambda} \right) e^{-\frac{i}{2}U\delta } \Psi_{jm}^{n} \end{equation} \] 이 표현은 $n$과 $n+1$의 두 시점에 대해 대칭으로 표현되어 있다. 그러나 이 식에서 다음과 같이 몇 단계 조작과 근사를 거쳐야 $\Psi_{jm}^{n+1}$을 합당하게 계산할 수 있다.

\eqref{eq8}의 좌측 항의 일부분을 다음과 같이 놓을 수 있게 하는 새로운 복소함수 $\Phi$를 도입하자. \[ \begin{equation} \label{eq9} \left( 1 + i \frac{\Delta_x^2}{\lambda} \right) e^{-\frac{i}{2}U\delta } \Phi_{jm}^{n} = \left( 1 - i \frac{\Delta_y^2}{\lambda} \right) e^{\frac{i}{2}U\delta } \Psi_{jm}^{n+1} \end{equation} \] \eqref{eq8} 식은, \[ \begin{equation} \label{eq10} \left( 1 - i \frac{\Delta_x^2}{\lambda} \right) \Phi_{jm}^n = \left( 1 + i \frac{\Delta_y^2}{\lambda} \right) \Psi_{jm}^{n} \end{equation} \] 으로 분해된다. 이 전개에서 \[ \left( 1 - i \frac{\Delta_x^2}{\lambda} \right) \left( 1 + i \frac{\Delta_x^2}{\lambda} \right) \approx 1, \] \[ \left( 1 + i \frac{\Delta_x^2}{\lambda} \right) e^{-\frac{i}{2}U\delta } \approx e^{-\frac{i}{2}U\delta } \left( 1 + i \frac{\Delta_x^2}{\lambda} \right) \] 등의 근사관계를 이용하였다.

\eqref{eq10} 식으로 $\Psi_{jm}^{n}$에서 $\Phi_{jm}^{n}$을 구할 때 앞서 1차원의 경우와 같이 LC분해법을 이용한다. 이렇게 구한 $\Phi_{jm}^{n}$을 다시 \eqref{eq9} 식에 적용한다. 이때에도 다시 LU분해법을 이용하고, 최종적으로 $\Psi_{jm}^{n+1}$을 구할 수 있다. 이렇게 $x$와 $y$에 대해서 두 단계로 최종적인 해를 구할 수 있어서 2차원이라도 계산량이 극적으로 증가하지는 않는다. (계산량은 격자점의 수에 비례한다) 3차원이라면 LU분해법을 세 단계가 필요할 것이라고 예측할 수 있다. 이는 고전역학에서의 2차원, 3차원의 문제가 1차원의 운동이 2중, 3중으로 적용되는 것과 닮았다.

여기서 설명하는 근사법은 계산속도가 빠른 데다가 확률밀도가 보존되고, 오차의 수준이 적절해서 다음의 모의실험에서 이 방법을 채택한다. 그러나 분석하려는 계의 시간범위, 퍼텐셜의 종류, 결과의 정밀도 등 상황에 따라 보다 정교한 근사법이 필요할 수도 있다.

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