양자파동의 운동 2

양자파동의 운동 2

2차원 슈뢰딩거 파동방정식의 수치해석

파동함수를 공간의 2차원 격자, 시간의 1차원 격자에서의 이산값으로 해석한다.

슈뢰딩거 방정식의 일반형은

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ (x, y; t) = H Ψ (x, y; t)

$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,y;t) = H \Psi(x,y;t)$ 이다. 여기서

H

$H$ 는 해밀토니안 연산자로서

H = T + U

$H = T + U$ 로 표현된다. 운동에너지 연산자

T

$T$ 는 미분연산자 형태

- (ℏ^{2} / 2 m) \nabla^{2}

$-(\hbar^2/2m)\nabla^2$ 으로 표현된다. 2차원의 경우

\nabla^{2}

$\nabla^2$ 에는

x

$x$ 와

y

$y$ 에 대한 2계편미분항이 도입된다. 1차원 경우와 마찬가지로

ℏ = 1, m = 1 / 2

$\hbar= 1, m = 1/2$ 의 단위계를 사용하여 2차원의 슈뢰딩거 벙정식을 정리하자.

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial}{\partial t} Ψ (x, y; t) = - i H Ψ (x, y; t) = L Ψ (x, y; t) \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq2} \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,y;t) = -iH\Psi(x,y;t) = L\Psi(x,y;t) \end{equation}$ 여기서

L = - i H = i (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}) - i U

$L = -iH = i \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) - i U$ 이다. 이제

(1)

$\eqref{eq2}$ 식의 해는

Ψ (x, y; t + δ) = \exp (L δ) Ψ (x, y; t)

$\Psi(x, y; t+\delta) = \exp(L\delta) \Psi(x, y; t)$ 으로 이는 다분히 형식적인 표현이다. 여기서 연산자 지수에 있는

L δ

$L\delta$ 는

\exp

$\exp$ 함수를 멱급수로 전개한 것으로 이해한다.

graphic

2차원 공간과 시간 격자_ 공간을 $\varepsilon$ , 시간을 $\delta$ 의 일정한 간격으로 나누어 각 격자점 $(j\varepsilon, m\varepsilon, n\delta)$ 의 파동함수를 $\Psi_{jm}^n$ 로 나타낸다.

이제 1차원에서 했던 것처럼 공간과 시간의 공간의 좌표를 $\varepsilon$ 과 $\delta$ 의 격자로 나누어 $\Psi(j\varepsilon, m\varepsilon, n\delta) = \Psi_{jm}^n$ 으로 표현하여 위 식을 다시 쓰면 다음과 같이 행렬식 형태로 된다.

\begin{matrix} (2) & Ψ_{j m}^{n + 1} = \exp (L δ) Ψ_{j m}^{n} \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq5} \Psi_{jm}^{n+1} = \exp(L\delta) \Psi_{jm}^n \end{equation}$ 여기서

\exp (L δ)

$\exp(L\delta)$ 을 격자에 대한 식으로 바꾸어서 적용해야 하는 데 이를

t = n δ

$t=n\delta$ 시점의 것으로 택하면 처음에 주어진

Ψ_{j m}^{n}

$\Psi_{jm}^n$ 으로 부터

Ψ_{j m}^{n + 1}

$\Psi_{jm}^{n+1}$ 을 모두 구할 수 있게 된다. 그러나 이 방법이 간편하기는 하지만 확률밀도가 보존되지 않아 계산오차가 심각하게 누적된다. 따라서 1차원에서 그랬던 것처럼

t = n δ

$t=n\delta$ 시점과

t = (n + 1) δ

$t=(n+1)\delta$ 의 시점을 평균하여 적용하는 방법이 있다. 이 경우

Ψ_{j m}^{n + 1}

$\Psi_{jm}^{n+1}$ 이 명시적으로 계산되지 않아서 이를 환산해 내는 데 어려운 점이 발생한다. 이러한 점을 고려해서 여기서는 다음과 같이 연산자의 근사관계를 이용하도록 한다.

(2)

$\eqref{eq5}$ 식을 다시 쓰면,

\begin{matrix} (3) & \exp (- \frac{L δ}{2}) Ψ_{j m}^{n + 1} = \exp (\frac{L δ}{2}) Ψ_{j m}^{n} \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq6} \exp(-\frac{L\delta}{2}) \Psi_{jm}^{n+1} = \exp(\frac{L\delta}{2}) \Psi_{jm}^n \end{equation}$ 파동함수에 걸리는 두 연산자는 각각

n + 1

$n+1$ 시점과

n

$n$ 의 시점으로 적용하는 것으로

(2)

$\eqref{eq5}$ 보다는 더 정교한 근사라 할 수 있다.

x, y의 두 단계로 나누어서 해석한다.

$\exp$ 함수로 된 연산자는 $\delta$ 가 작은 조건에서 다음과 같이 근사된다.

\begin{aligned} \exp (\pm \frac{L δ}{2}) & \approx \exp [\pm \frac{i}{2} (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}) δ] \exp (\mp \frac{i}{2} U δ) \\ \approx [1 \pm \frac{i}{2} (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}) δ] \exp (\mp \frac{i}{2} U δ) \\ \approx (1 \pm i \frac{Δ_{x}^{2}}{λ}) (1 \pm i \frac{Δ_{y}^{2}}{λ}) \exp (\mp \frac{i}{2} U δ) \end{aligned}

$\eqalign{ \exp \left( \pm \frac{L\delta}{2} \right) & \approx \exp \left[ \pm \frac{i}{2} \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) \delta \right] \exp \left( \mp \frac{i}{2}U\delta \right) \\ & \approx \left[ 1 \pm \frac{i}{2} \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) \delta \right] \exp \left( \mp \frac{i}{2}U\delta \right) \\ & \approx \left( 1 \pm i \frac{\Delta_x^2}{\lambda} \right) \left( 1 \pm i \frac{\Delta_y^2}{\lambda} \right) \exp \left( \mp \frac{i}{2}U\delta \right) }$ 여기서

Δ_{x}, Δ_{y}

$\Delta_x, \Delta_y$ 는 거듭차분연산자로

Ψ_{j m}^{n}

$\Psi_{jm}^n$ 에 걸리는 경우 각각

Ψ_{j + 1, m}^{n} - 2 Ψ_{j, m}^{n} + Ψ_{j - 1, m}^{n}

$\Psi_{j+1,m}^n - 2 \Psi_{j,m}^n + \Psi_{j-1,m}^n$ ,

Ψ_{j, m + 1}^{n} - 2 Ψ_{j, m}^{n} + Ψ_{j, m - 1}^{n}

$\Psi_{j,m+1}^n - 2 \Psi_{j,m}^n + \Psi_{j,m-1}^n$ 로 표현된다. 또한 1차원의 경우와 마찬가지로

λ = 2 ε^{2} / δ

$\lambda = 2\varepsilon^2/\delta$ 이다.

이제 이들 근사관계를 이용해서 $\eqref{eq6}$ 의 이산형 슈뢰딩거 방정식을 다음과 같이 정리할 수 있다.

\begin{matrix} (4) & (1 - i \frac{Δ_{x}^{2}}{λ}) (1 - i \frac{Δ_{y}^{2}}{λ}) e^{\frac{i}{2} U δ} Ψ_{j m}^{n + 1} = (1 + i \frac{Δ_{x}^{2}}{λ}) (1 + i \frac{Δ_{y}^{2}}{λ}) e^{- \frac{i}{2} U δ} Ψ_{j m}^{n} \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq8} \left( 1 - i \frac{\Delta_x^2}{\lambda} \right) \left( 1 - i \frac{\Delta_y^2}{\lambda} \right) e^{\frac{i}{2}U\delta } \Psi_{jm}^{n+1} = \left( 1 + i \frac{\Delta_x^2}{\lambda} \right) \left( 1 + i \frac{\Delta_y^2}{\lambda} \right) e^{-\frac{i}{2}U\delta } \Psi_{jm}^{n} \end{equation}$ 이 표현은

n

$n$ 과

n + 1

$n+1$ 의 두 시점에 대해 대칭으로 표현되어 있다. 그러나 이 식에서 다음과 같이 몇 단계 조작과 근사를 거쳐야

Ψ_{j m}^{n + 1}

$\Psi_{jm}^{n+1}$ 을 합당하게 계산할 수 있다.

$\eqref{eq8}$ 의 좌측 항의 일부분을 다음과 같이 놓을 수 있게 하는 새로운 복소함수 $\Phi$ 를 도입하자.

\begin{matrix} (5) & (1 + i \frac{Δ_{x}^{2}}{λ}) e^{- \frac{i}{2} U δ} Φ_{j m}^{n} = (1 - i \frac{Δ_{y}^{2}}{λ}) e^{\frac{i}{2} U δ} Ψ_{j m}^{n + 1} \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq9} \left( 1 + i \frac{\Delta_x^2}{\lambda} \right) e^{-\frac{i}{2}U\delta } \Phi_{jm}^{n} = \left( 1 - i \frac{\Delta_y^2}{\lambda} \right) e^{\frac{i}{2}U\delta } \Psi_{jm}^{n+1} \end{equation}$

(4)

$\eqref{eq8}$ 식은,

\begin{matrix} (6) & (1 - i \frac{Δ_{x}^{2}}{λ}) Φ_{j m}^{n} = (1 + i \frac{Δ_{y}^{2}}{λ}) Ψ_{j m}^{n} \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq10} \left( 1 - i \frac{\Delta_x^2}{\lambda} \right) \Phi_{jm}^n = \left( 1 + i \frac{\Delta_y^2}{\lambda} \right) \Psi_{jm}^{n} \end{equation}$ 으로 분해된다. 이 전개에서

(1 - i \frac{Δ_{x}^{2}}{λ}) (1 + i \frac{Δ_{x}^{2}}{λ}) \approx 1,

$\left( 1 - i \frac{\Delta_x^2}{\lambda} \right) \left( 1 + i \frac{\Delta_x^2}{\lambda} \right) \approx 1,$

(1 + i \frac{Δ_{x}^{2}}{λ}) e^{- \frac{i}{2} U δ} \approx e^{- \frac{i}{2} U δ} (1 + i \frac{Δ_{x}^{2}}{λ})

$\left( 1 + i \frac{\Delta_x^2}{\lambda} \right) e^{-\frac{i}{2}U\delta } \approx e^{-\frac{i}{2}U\delta } \left( 1 + i \frac{\Delta_x^2}{\lambda} \right)$ 등의 근사관계를 이용하였다.

$\eqref{eq10}$ 식으로 $\Psi_{jm}^{n}$ 에서 $\Phi_{jm}^{n}$ 을 구할 때 앞서 1차원의 경우와 같이 LC분해법을 이용한다. 이렇게 구한 $\Phi_{jm}^{n}$ 을 다시 $\eqref{eq9}$ 식에 적용한다. 이때에도 다시 LU분해법을 이용하고, 최종적으로 $\Psi_{jm}^{n+1}$ 을 구할 수 있다. 이렇게 $x$ 와 $y$ 에 대해서 두 단계로 최종적인 해를 구할 수 있어서 2차원이라도 계산량이 극적으로 증가하지는 않는다. (계산량은 격자점의 수에 비례한다) 3차원이라면 LU분해법을 세 단계가 필요할 것이라고 예측할 수 있다. 이는 고전역학에서의 2차원, 3차원의 문제가 1차원의 운동이 2중, 3중으로 적용되는 것과 닮았다.

여기서 설명하는 근사법은 계산속도가 빠른 데다가 확률밀도가 보존되고, 오차의 수준이 적절해서 다음의 모의실험에서 이 방법을 채택한다. 그러나 분석하려는 계의 시간범위, 퍼텐셜의 종류, 결과의 정밀도 등 상황에 따라 보다 정교한 근사법이 필요할 수도 있다.

_ 해밀토니안 연산자_ 슈뢰딩거 방정식_ LU분해법_ 확률밀도_ 파동함수_ 격자