양자파동의 운동

이산형 슈뢰딩거 방정식의 풀이

이산형 1차원 슈뢰딩거 방정식은 다음의 점화식으로 표현된다. $$\begin{equation} \label{eq1} \Psi_{j+1}^{n+1} + c_j \Psi_{j}^{n+1} + \Psi_{j-1}^{n+1} = d_j^n. \end{equation}$$ 여기서 $$c_j = i \lambda - \varepsilon^2 U_j - 2,$$ $$d_j^n = - \Psi_{j+1}^{n} + \left( i\lambda + \varepsilon^2 U_j + 2 \right) \Psi_{j}^{n} - \Psi_{j-1}^{n}$$ 이다.

$\eqref{eq1}$ 식은 $(J+1)$원연립방정식으로 이를 행렬식으로 표현하고 이때 미지수 $\{\Psi_j^{n+1}\}$의 계수로 나타나는 행렬의 역행렬을 구해서 풀이할 수 있다. 그러나 보통 $(J+1)$이 수백 이상이므로 $(J+1)\times(J+1)$의 일반적인 행렬을 다루기로는 계산 시간이나 기억용량이 많이 필요해서 비효율적이다. 여기서처럼 이 행렬이 대각성분과 이의 인접한 요소만 가지고 있다면 보다 적은 기억용량으로 빠르게 계산할 수 있는 방법이 있다. 이를 일반적으로 LU분해법(LU decomposition method)이라 한다. 이를 위해 $\eqref{eq1}$ 식을 다음과 같이 행렬식으로 표현하자. $$\left\lgroup\matrix{ c_0 & 1 & 0 & 0 & \cdots \\ 1 & c_1 & 1 & 0 & \cdots \\ 0 & 1 & c_2 & 1 & \cdots \\ \vdots & & & & \ddots} \right\rgroup \left\lgroup\matrix{ \Psi_0^{n+1} \\ \Psi_1^{n+1} \\ \Psi_2^{n+1} \\ \vdots } \right\rgroup = \left\lgroup\matrix{ d_0^{n} \\ d_1^{n} \\ d_2^{n} \\ \vdots } \right\rgroup$$

이제 미지수 앞의 계수의 행렬을 다음 구조로 쉽게 분해된다. $$\left\lgroup\matrix{ c_0 & 1 & 0 & 0 & \cdots \\ 1 & c_1 & 1 & 0 & \cdots \\ 0 & 1 & c_2 & 1 & \cdots \\ \vdots & & &&\ddots } \right\rgroup = \left\lgroup\matrix{ a_0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 1 & a_1 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 1 & a_2 & 0 & \cdots \\ \vdots &&&&\ddots } \right\rgroup \left\lgroup\matrix{ 1 & b_0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & 1 & b_1 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & 1 & b_2 & \cdots \\ \vdots &&&&\ddots} \right\rgroup$$ 여기서 우변의 첫 행렬은 대각성분이 $\{a_0, a_1, \cdots, a_J \}$이고 그 아래(lower) 요소로 1의 값을 가지고 있고, 뒤 행렬은 대각성분이 1이고, 그 위(upper)에 $\{b_0, b_1, \cdots, b_{J-1} \}$의 요소를 가지고 있다. 이를 각각 $\mathbf{L}$, $\mathbf{U}$ 행렬로 두자. (이런 이유로 LU 분해법이라 한다) $$\begin{equation} \label{eq6} \boldsymbol{LU \Psi^{n+1}} = \boldsymbol{d^n} \end{equation}$$ 이로부터 우선 $\boldsymbol{U\Psi^{n+1}}$를 구하고 다시 $\boldsymbol{\Psi^{n+1}}$를 구하도록 한다. 여기서 퍼텐셜에너지가 시간에 따라 변하지 않으면 $\boldsymbol{L}$과 $\boldsymbol{U}$의 두 행렬은 일정하게 주어지므로 이를 미리 구해둘 수 있다. 따라서 $n$ 시점에서의 파동함수의 수열로부터 $\{ d_j^n \}$을 구하고, 이로부터 $\boldsymbol{L\Psi^{n+1}}$과 $\boldsymbol{\Psi^{n+1}}$를 순차적으로 구하면 $(n+1)$ 시점의 파동함수가 구해지는 것이다. $\eqref{eq6}$ 식을 $$\boldsymbol{Ly^{n+1}} = \boldsymbol{d^n}$$ 으로 놓고 우선 $\boldsymbol{y^{n+1}}$을 먼저 구한다. $$\begin{equation} \label{eq8} \eqalign{ a_0 y_0^{n+1} = d_0^n ~~~& \Rightarrow & ~~~ y_0^{n+1} = \frac{d_0^n}{a_0} \\ y_0 ^{n+1}+ a_1 y_1^{n+1} = d_1^n ~~~& \Rightarrow & ~~~y_1^{n+1} = \frac{(d_1^n-y_0^{n+1})}{a_1} \\ y_1^{n+1} + a_2 y_2^{n+1} = d_2^n ~~~& \Rightarrow & ~~~ y_2^{n+1} = \frac{(d_2^n-y_1^{n+1})}{a_2} \\ & \vdots & } \end{equation}$$

이제 $\boldsymbol{y^{n+1}}$의 요소가 모두 구해졌으므로 $$\boldsymbol{U \Psi^{n+1}} = \boldsymbol{y^{n+1}}$$ 에서 $\eqref{eq8}$의 과정과 비슷하게 $\boldsymbol{\Psi^{n+1}}$의 각 요소가 하나하나 구해진다.

_ 슈뢰딩거 방정식_ 파동함수

슈뢰딩거 방정식의 수치해석에서의 단위계

앞서 슈뢰딩거 방정식을 수치해석으로 풀이할 때 $m=\frac{1}{2}$, $\hbar = 1$의 단위계를 도입하였다. 여기서 이의 의미를 살펴보자.

원래의 물리법칙에서 나타나는 물리 상수들을 이 경우처럼 적절하게 차원이 없는 양으로 정의하면 식이 간결해지고, 또한 대칭성이 잘 드러나 보인다. 상대성이론에서 빛의 속도 $c$를 1로 두는 것이 하나의 좋은 예이다. $c=1$로 두면 거리의 차원과 시간의 차원이 같아져서 이들은 모두 m 나 sec 로 표기된다. 상대론의 변환관계가 간단하게 될 뿐만 아니라 거리와 시간이 통일성을 가진 것이 잘 나타난다. 이 단위에서의 속도는 빛의 속도를 단위로 하여 표기 되어 차원이 사라진 양이 된다. 이를 원래대로 환산하기 위해서는 MKS 단위계서 빛의 속도를 다시 곱해주어야 할 것이다.

$m=\frac{1}{2}$, $\hbar = 1$ 단위계는 우선 고려하는 입자의 질량의 2배인 $2m$을 질량을 매기는 기본 척도로 한다. 다른 질량은 이의 배수로서 차원이 없이 정해진다. 그러나 이와 다른 질량을 가진 입자에 대해 해석하려면 다시 질량값이 슈뢰딩거 방정식에 어떤 방식으로든지 들어가야 하고, 이를 해석하기가 까다롭다. 여기서는 다음과 같이 간편한 해석방식을 택한다. 즉, 보통의 MKS 단위에서 표현되는 $x, E, t$에 다음처럼 적당한 축척의 상수를 붙여서 해석하는 것이다. $$x \rightarrow ax, \quad t \rightarrow bt, \quad E \rightarrow dE$$ 새로운 양은 $m=\frac{1}{2}$, $\hbar = 1$로 둔 것과 같게 하는 축척에서의 것으로 한다. 이들 관계를 시간에 의존하지 않는 슈뢰딩거 방정식에 대입하여 정리하면, $$-\left[ \frac{\hbar^2}{2ma^2d} \right] \frac{\partial \Psi^2}{\partial x^2} + U(x) \Psi = i \left[ \frac{\hbar}{bd} \right] \frac{\partial \Psi}{\partial t}$$ 이 식의 좌우에 있는 $[\cdots]$의 양이 1 이되면 $m=\frac{1}{2}$, $\hbar = 1$과 같은 효과를 볼 수 있다. 따라서 이를 만족하는 $a, b, d$를 고르면 된다. 만일 질량 $m$을 전자 등 특정한 것으로 고정하는 경우, $a, b, d$ 셋중 하나는 마음대로 정할 수 있다.

예를 들어 길이단위를 원자의 규모에 맞게 0.1 nm로 정하고, 아울러 에너지의 단위를 1 eV로 택한다고 하자. 이런 선택에서는 기본질량이 3.48 x 10^-30 kg 이 되어 전자질량의 약 3.8배의 입자가 행동하는 것으로 이해할 수 있다. 즉,

길이의 단위 = 10^-10m = 0.1 nm

시간의 단위 = 6.59 x 10^-16 sec

에너지의 단위 = 1.602 x 10^-19 Joule = 1 eV

이 선택과 다른 선택도 할 수 있다. 그러나 어느 경우든지 우리가 일상생활에서 경험할 수 있는 정도로는 잘 되지 않는다. 즉 질량을 크게 Kg 정도로 놓으면 길이가 10^-16 nm 정도가 된다든지 아니면 에너지의 규모가 10^-30 eV 정도가 되어서 비현실적인 것이 된다. 위에서 잡아준 축척은 길이가 원자 규모 정도 되는 것이다. 양자효과가 극명하게 나타나는 상황은 그러한 극미세계에서라고 말할 수 있겠다.

[질문1] 이 단위계에서 수소원자의 정전퍼텐셜은 어떻게 표현해야 할까?

[질문2] 전자의 질량 9.109 x 10^-31 kg과 길이를 0.1 nm를 기준으로 하면 에너지와 시간의 단위는 어떻게 될까?

[질문3] 핵을 다룰 때에는 길이를 1.0 fm 로, 에너지 단위를 MeV로 하는 것이 그 규모에 적절하다. 이 경우 질량단위는 원자질량단위(amu)의 약 20.9 배 임을 보여라. 이 경우 시간의 기본단위는 어떻게 될까? 원자와 핵의 두 경우에 대해 양자역학적인 특성이 잘 나타나는 시간축척을 비교하고 그 의미를 생각해 보라.

_ 슈뢰딩거 방정식_ 원자질량단위_ 수치해석_ 양자역학

수치해석의 조건과 파동묶음

가우스 파동으로 고전적 입자를 나타낸다.

이 단원에서 여러 다른 상황에 놓인 입자의 양자상태를 수치해석하는 프로그램이 제시된다. 앞서 설명한 것처럼 에너지를 1 eV, 길이를 0.1 nm를 기본 단위로 하여 각각의 물리량을 표시하고 있다. 그리고 공간격자간격을 예를 들어 $\varepsilon=0.005$로, 시간격자간격 $\delta=0.000,025$로 하고 공간격자의 수를 400 정도로 하면 $x = 0 \sim 2$가 되어 0.2 nm의 규모에서 움직이는 파동함수를 살펴보는 것이 된다.

앞서 본 것처럼 특정시간의 파동함수 $\{\Psi_j^n\}$가 주어져 있을 때에는 다음 시점에서의 $\{\Psi_j^{n+1}\}$를 수치해석으로 구하는 과정에서 $j=-1$과 $j=J+1$에서 파동함수 값이 0 이 되는 것을 전제하였다. 즉 경계 가장자리에는 언제나 파동함수를 0 으로 억제하고 있다. 이는 결국은 계가 전체적으로 공간영역의 가장자리에서 무한히 높은 퍼텐셜 장벽에 구속되어 있는 것이다.

한편 처음에 주어지는 파동함수는 기본적으로 가우스 모양으로 하였다. 가우스 함수는 물질파에서 살펴본 것처럼 고전적인 입자와 잘 대응되는 파동묶음이다. 즉, 처음시간인 $t=0$에서 가우스 모양의 파동함수는 다음과 같다. $$\begin{equation} \label{eq12} \Psi(x,0)=A\exp \left( - \frac{(x-x_o)^2}{4\Delta x^2} \right) \exp [ik_o (x-x_0)] \end{equation}$$ 여기서 $x_o$는 파동묶음의 중심위치이고 $\Delta x$는 퍼짐의 정도를 나타낸다. 즉 $\Delta x$가 위치의 불확정도이다. 또한 $k_o$는 파수로서 양(+)의 값일 때는 파가 왼편에서 오른편으로 이동하는 것을 나타내고 또한 그 값이 크면 빠르게 이동한다. 여기서 플랑크 상수를 1로 놓았기 때문에 $k$값 자체가 바로 입자의 운동량이 된다. 그러나 이 식을 운동량 공간으로 푸리에 변환을 하더라도 역시 가우스 함수형이 되는 데 그 중심 위치가 $k_o$ 이라는 정도일 뿐 역시 $k$ 값 자체도 $1/\Delta x$ 정도의 폭을 가지고 있다. $k$ 값이 확정적으로 주어지지 못하므로 에너지도 역시 단일한 값으로 주어지지 않는다.

슈뢰딩거 방정식을 적용하는 예로서 가장 간단한 것은 1차원 상자 속에 속박된 경우가 있지만 이는 드브로이물질파 해석으로도 정확한 결과를 도출할 수 있기 때문에 1차원 조화진동자의 경우가 대표적이라 할 수 있다. 그 경우 파동함수는 파동의 정상파 경우와 같이 일정한 에너지, 즉 고유에너지를 띄엄띄엄한 값으로 갖고 있다. 대부분의 양자역학 교재가 설명하는 바는 어떤 상태에 있는 입자는 그 고유상태중의 한 단일상태인 것으로, 이것이 고전적인 조화진동자의 서술과 크게 차이나는 점으로 지적한다. 그러나 그러한 설명은 여러 가지 착각을 불러일으키게 하여 양자계를 마치 입자의 움직임이 없는 정체된 것으로 잘못 이해하게 하기도 한다. 그 설명이 완전히 틀렸다고는 말 할 수는 없지만 이는 극히 제한된 조건, 즉 유일한 값의 에너지를 갖는 경우에 맞는 이야기일 뿐이다. 임의의 상태의 양자계는 그러한 공명상태의 에너지 값을 갖는 여러 고유상태의 중첩된 상태이기 때문에 실제로 어떤 시간에서 파동함수의 모양은 아무렇게나 되어 있어도 관계없다. 단 어떤 이상적인 실험장치로서 에너지 값을 측정했을 때는 고유에너지들의 평균치가 측정되는 것이 아니고 그중 어떤 한 고유에너지 값만이 측정된다.

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