푸리에 해석

푸리에 적분

비주기함수는 연속적인 파수를 가진 조화함수의 합으로 나타낼 수 있다.

앞에서의 주기 $L$인 주기함수의 $L$을 계속 증가시켜 무한 대로 되게 하면 주기성이 없어진 임의의 함수가 되어 이것도 조화파의 합성으로 나타낼 수 있을 것이라는 생각을 쉽게 할 수 있다. 이때 $k = 2\pi/L$ 값은 무한히 줄어들어 0으로 접근한다. 그리고 $nk$값은 연속적인 값으로 되어 푸리에 합성은 푸리에 적분(Fourier integral)으로 바뀌게 된다. $$F(x) = \frac{1}{\pi} \left[ \int_0^\infty A(k) \cos kx dk + \int_0^\infty B(k) \sin kx dk \right]$$ $$A(k) = \int_{-\infty}^\infty F(x) \cos kx dx$$ $$B(k) = \int_{-\infty}^\infty F(x) \sin kx dx$$ 즉 함수 임의의 1차원 함수 $F(x)$를 대한 코사인함수와 사인함수의 성분의 합으로 나타낼 수 있고, 이를 푸리에 변환(Fourier transform)이라 한다. 만일 함수가 우함수이면 $A(k)$만, 기함수이면 $B(k)$만 나타난다. 이러한 우함수의 변환을 푸리에 코사인변환(Fourier cosine transform), 기함수의 변환을 푸리에 사인변환(Fourier sine transform)이라고 분별해서 일컫는다.

이제 이들 코사인함수와 사인함수로 나타낸 변환을 통합하기 위해 복소지수함수를 다음과 같이 도입하자. 마지막 두 식을 첫째 식에 다시 대입하면, $$F(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \cos kx \int_{-\infty}^\infty F(x') \cos kx' dx' dk + \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \sin kx \int_{-\infty}^\infty F(x') \sin kx' dx' dk$$ 여기서 코사인 합의 법칙을 이용하여 정리하면, $$F(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[ \int_{-\infty}^\infty F(x') \cos k(x'-x) dx' \right] dk$$ 여기서 $k$에 대한 적분을 $-\infty$로 확장하면서 $\frac{1}{2}$로 했는 데 이는 중괄호 속의 $k$에 대한 함수가 우함수이기 때문이다. 만일 이 적분에서 $\cos k(x'-x)$ 대신에 $\sin k(x'-x)$으로 대치한다면 중괄호 속의 적분이 $k$에 대해 기함수가 되기 때문에 그 결과는 0 이 된다. 따라서 $\cos k(x'-x)$항을 $\exp ik(x'-x)$나 $\exp ik(-x'+x)$로 바꾸어도 무방하다. 여기서는 후자를 택하면, $$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \left[ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty F(x') e^{-i kx'} dx' \right] e^{i kx} dk$$ 따라서 이 식의 중괄호 속의 $k$에 대한 함수를 $f(k)$라 한다면 다음과 같은 관계를 얻을 수 있다. $$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(k) e^{i kx} dk$$ $$f(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty F(x) e^{-i kx} dx$$ 여기서 파형함수 $F(x)$에 대한 성분함수 $f(k)$로 변환하는 것을 푸리에 변환(Fourier transformation)이라 하고, $f(k)$에 대해 $F(x)$로 변환하는 것을 역푸리에 변환(inverse Fourier transformation)이라 한다.

_ 주기