양자파동의 운동

퍼텐셜 계단에 진입하는 파동묶음의 운동

다음 프로그램은 가우스 파동묶음이 퍼텐셜이 0 인 곳에서부터 퍼텐셜이 높거나 낮은 영역으로 이동할 때의 행동을 보여준다. 고전적인 입자라면 퍼텐셜이 높은 영역으로 진입할 때는 입자가 가진 에너지가 그 보다 크면 계단을 통과하나 입자의 에너지가 그 보다 작으면 계산에서 되튀어 나오는 단순한 행동을 할 것이다. 물질파는 파동이므로 빛이 굴절률이 달라지는 공간에 진입할 때와 비슷한 행동을 하는 것을 관찰할 수 있을 것이다. 계단의 차이를 다양하게 바꿔가며 실험해 보자.

프로그램 설명

1. 수치해석의 조건은 공간격자간격 $\varepsilon=5.0 \times 10^{-3}$, 시간격자간격 $\delta=2.5 \times 10^{-5}$으로 했다. 따라 $\lambda=2\varepsilon^2/\delta=2.0$이다.

2. 공간격자점은 모두 $J+1=680$ 으로 중간의 'wave ftn' 그림에서는 한 격자점이 하나의 픽셀에, 아래의 'show plane'에서는 두 격자점이 하나의 픽셀에 대응된다. 전 공간영역은 $x=0 \sim 3.4$으로 볼 수 있다.

3. 화면에 나타나는 거리나 시간은 격자점의 지표값으로 $j$나 $n$이다. 예를 들어 $\Delta x$의 슬라이더를 20으로 설정하였다면 실제 $\Delta x = 20 \varepsilon = 0.1$이다. 오른쪽 버튼 위의 시간(t)로 표시된 값 또한 지표값으로 이 값이 1000이라면 $t = 1000 \delta = 0.025$으로 해석한다.

4. 슈뢰딩거 방정식을 $m=\frac{1}{2}$, $\hbar = 1$으로 두어서 수치해석을 하였으므로 실제 상황에 적용하려면 물리적인 단위로 다시 환산하여야 한다. 앞의 '슈뢰딩거 방정식의 수치해석에서의 단위계'를 참고하자.

5. 수치해석의 조건 때문에 공간영역의 경계에 무한히 높은 퍼텐셜 장벽이 설치된 것으로 볼 수 있다.

6. 파동묶음은 앞서 설명한 가우스 함수형으로서 프로그램에서는 $\Delta x$, $k_0$를 변경할 수 있다.

7. 맨 위의 퍼텐셜에너지 그래프에 나타낸 푸른 수평선은 입자의 에너지의 값을 나타낸 것이다. 에너지는 중심 위치에서의 퍼텐셜에너지와 중심 파수에 의한 운동에너지를 합한 것으로 이러한 값들이 확정된 것이 아니므로 추정치이다. 즉, $E \approx U(x_0) + k_0^2$이다.

8. 두 번째의 파동함수 그래프는 ▶ 를 클릭하면 복소수의 파동함수를 다양한 방법으로 다르게 표현한다. 또한 $x$눈금 아래에는 핑크색으로 입자의 평균위치와 불확정범위를 나타내고 있다.

9. 화면 아래 시공간 평면에 나타낸 그래프는 시간격자가 40 진행할 때마다 한 장면을 표시하고, 공간격자를 5의 간격으로 하여 하나의 막대그래프로 해서 보다 성기게 표현하고 있다. 또한 처음 2400 시간단위까지 그래프를 완성한다. 여기서 퍼텐셜 장벽의 범위를 두 줄의 붉은 선으로 표시하고 있다.

10. 'step position'에 퍼텐셜 계단이 위치한다. 그 지점 왼편에는 퍼텐셜이 0 이고 오른쪽에 'potential height'로 주어진 일정한 값의 퍼텐셜이 설정된다.

11. 화면 아래 시공간 평면에 나타낸 그래프에는 퍼텐셜 계단의 위치가 붉은 선으로 표시된다.

12. 'show plane'를 선택하면 아래의 그림이 세로가 $x$축, 가로가 $t$축의 평면그림으로 변한다. 이때 복소수 파동값은 HSV 색모형으로 표시되며, 입자의 평균위치가 흰 선의 궤적으로 나타난다. 이렇게 완성된 그림은 $x-t$의 평면에 마치 카펫같은 문양으로 그림이 완성되어 나타나므로 이를 양자 카펫(quantum carpet)이라 한다.

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