양자파동의 운동

슈뢰딩거 파동방정식의 수치해석

비록 슈뢰딩거 방정식은 특정한 퍼텐셜에 놓인 입자의 양자상태를 완전하게 기술하지만 대부분의 경우 대수적으로는 잘 풀리지 않는다. 우선 계가 가진 퍼텐셜에너지가 다양한 것도 하나의 이유이지만 고전론에서처럼 입자의 초기 상태가 위치와 운동량(혹은 속도)의 단 두 개의 값으로 단순하게 주어지는 것과 달리 양자론에서는 입자의 초기상태가 공간에 함수형태로 주어지는 것도 다른 이유이다. 즉 초기상태가 매우 다양하므로 각각의 경우에 대해 전 시간공간에 대한 파동함수를 표현한다는 것은 거의 불가능하다.

따라서 시간의존 슈뢰딩거 방정식을 풀이하는 데 주로 수치해석(numerical analysis)을 이용한다. 수치해석에서는 연속체로서의 시공간을 격자로 나누어서 파동함수를 이산값으로 표현하여 이들 수열의 집합을 구해내는 데 이러한 일을 능률적으로 수행하는 컴퓨터를 이용한다. 컴퓨터는 해석한 결과를 여러 측면으로 분석케 하고, 아울러 다양하게 시각화시켜 나타낼 수 있다. 여기서는 간단한 몇 가지 입자계에서 슈뢰딩거 방정식의 지배를 받는 입자의 행동을 수치해석한다. 차원은 1차원과 2차원으로 한정하였으나 대부분의 양자효과들을 이를 통해 확인할 수 있다. 여기서 실제 국소화된 입자를 그런대로 표현할 수 있는 가우스형태의 파동묶음이 여러 형태의 퍼텐셜에서 어떻게 행동하는가에 대한 역동적인 모습을 관찰하면서 양자역학의 묘상을 경험할 수 있다. (보통 양자역학의 기초과정에서는 시간에 종속되지 않는 상태, 즉 공명상태라고 할 수 있는 특수한 경우를 주로 다루기 때문에 이 새로운 역학체계를 이해하기는 충분하지 못하다. 초기의 입자상태가 주어질 경우 시간의 흐름에 따라 입자가 행동하는 양상이 어떻게 되는가에 대하여는 퍼텐셜이 없는 자유입자의 경우를 제외하고는 거의 다루지 않고 있다)

시공간을 격자로 나누어 각각의 파동함수를 수열로 나타낸다.

1차원 슈뢰딩거 방정식에서 $m=\frac{1}{2}$, $\hbar = 1$의 단위로 써서 다시 나타내면 \[ \begin{equation} \label{eq1} i \frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)= -\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t) + U(x)\Psi(x,t). \end{equation} \] 으로 단순화 된다. 이 식은 연속공간에서의 정의되는 것으로 일반적으로 이를 컴퓨터로 풀이하는 것은 불가능 하다. 따라서 컴퓨터가 해석할 수 있도록 공간과 시간을 띄엄띄엄한 값으로 제한하고, 아울러 이들 각 시공간의 지점에서의 함숫값도 컴퓨터가 취급할 수 있는 유한한 자리수의 값을 가진 것으로 근사해서 풀이한다.

이에 따라 공간을 $\varepsilon$으로의, 시간을 $\delta$로의 일정한 간격을 하게 한 시공간의 격자점에서 표현하자. 이제 파동함수는 각각의 격자점에서의 값의 집합으로 나타내어질 것이다. 즉, $x_j=\varepsilon j$, $t_n=\delta n$으로 되어 시공간의 격자점은 정수값 $(j,n)$으로 대표된다. 공간격자점 $j$는 아래 첨자로, 또한 시간격자점 $n$은 위 첨자로 나타내어 파동함수의 경우 $\Psi_j^n$처럼 표기한다. 이제 시간 $t=t_n$에서 $x = 0 \sim \varepsilon J$의 공간에서 정의되는 파동함수는 다음과 같이 $J+1$개의 요소를 가진 수열로 표현된다. \[ \Psi(x, t) \Rightarrow \{ \Psi(x_0, t_n), \Psi(x_1, t_n), \cdots , \Psi(x_j, t_n), \cdots , \Psi(x_{J}, t_n) \} \Rightarrow \{ \Psi_0^n, \Psi_1^n, \cdots , \Psi_j^n, \cdots , \Psi_{J}^n \} \] 퍼텐셜에너지 $U$는 시간에 무관하다고 가정하면 역시 $J+1$개의 요소를 가진 수열이 된다. \[ U(x) \Rightarrow \{ U(x_0), U(x_1), \cdots , U(x_j), \cdots , U(x_{J}) \} \Rightarrow \{ U_0, U_1, \cdots , U_j, \cdots , U_{J} \} \]

이제 슈뢰딩거 방정식을 이들 $\Psi_j^n$과 $U_j$ 의 관계로 바꾸어야 한다. 이를 위해 우선 공간좌표 $x$에 대한 미분을 이들 이산값으로 표시하자. \[ \frac{\partial}{\partial x}\Psi(x_j,t_n) = \frac{\Psi_{j+1}^n-\psi_{j}^n}{\varepsilon} + O(\varepsilon) = \frac{\Psi_{j}^n-\psi_{j-1}^n}{\varepsilon} + O(\varepsilon) \] 즉 공간에 대한 미분은 인접한 수열값의 차이로 나타낼 수 있고, 공간격자간격 $\varepsilon$을 0 으로 보내는 극한에서는 참값으로 접근한다. 그러나 유한한 $\varepsilon$ 일 때는 $\varepsilon$ 정도의 오차가 있다. 이제 파동함수의 $x$의 2차 미분은 \[ \frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x_j,t_n) = \frac{\Psi_{j+1}^n-2\Psi_{j}^n+\Psi_{j-1}^n}{\varepsilon^2} + O(\varepsilon^2) \] 이므로 \eqref{eq1} 식의 슈뢰딩거 방정식의 오른쪽 항은 \[ \begin{equation} \label{eq6} -\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x_j, t_n) + U(x_j)\Psi(x_j, t_n) \approx - \frac{\Psi_{j+1}^n-2\Psi_{j}^n+\Psi_{j-1}^n}{\varepsilon^2} + U_j \Psi_j^n \end{equation} \] 으로 근사된다.

\eqref{eq1}의 슈뢰딩거 방정식의 왼쪽 항을 전개하기 위해서 파동함수를 시간으로 1차 미분한 것을 다음과 같이 이산값으로 정리하자. \[ \begin{equation} \label{eq7} \frac{\partial}{\partial t}\Psi(x_j,t_n) = \frac{\Psi_j^{n+1}-\Psi_{j}^{n}}{\delta} + O(\delta) = \frac{\Psi_j^{n}-\Psi_{j}^{n-1}}{\delta} + O(\delta) \end{equation} \] 이의 가운데 식을 이용하면 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 된다. \[ \begin{equation} \label{eq8} i \frac{\Psi_j^{n+1}}{\delta} \approx i \frac{\Psi_{j}^{n}}{\delta} - \frac{\Psi_{j+1}^n-2\Psi_{j}^n+\psi_{j-1}^n}{\varepsilon^2} + U_j \Psi_j^n \end{equation} \] 이 식은 $t = \delta n$의 파동함수의 수열 $\{\Psi_j^{n}\}$으로부터 $t = \delta (n+1)$의 파동함수의 수열 $\{\Psi_j^{n+1}\}$이 하나하나 계산되게 한다. 즉 $\{\Psi_j^{n+1}\}$의 각 항이 $\{\Psi_j^{n}\}$으로 명시적(explicit)으로 나타나 있어서 시간격자 $n$에서 이후 시간 $n+1$의 파동함수가 바로 계산된다. 이 과정을 거듭하면 순차적으로 $\{\Psi_j^{n+2}\}$, $\{\Psi_j^{n+3}\}$을 계산할 수 있다.

그러나 이 방법은 실제의 적용에서는 심각한 약점을 가지고 있다. 근사식이 가지고 있는 오차 $O(\delta)$를 줄이기 위해서 $\delta$를 작게 하면 컴퓨터의 계산 자리수의 제한에 의한 반올림 오차가 커져서 적절한 값에서 타협할 수 밖에 없다. 더 근본적인 문제점은 \eqref{eq8} 식은 파동함수의 규격화가 유지되지 않는다는 것이다. 원래의 슈뢰딩거 방정식은 전체 공간에서 입자를 발견할 확률이 시간이 흘러도 변하지 않는다. 이는 입자가 그대로 보존되어야 한다는 자명한 요구이나 \eqref{eq8} 의 근사식은 이를 충족하지 못한다. 따라서 계산이 거듭되면서 오차가 누적되어 해가 불안정하게 된다.

보다 정교한 근사식

이제 \eqref{eq7} 식을 다시 검토해 보자. 가운데 식은 $n+\frac{1}{2}$ 시점에서의 시간의 1차 미분, 마지막 식은 $n-\frac{1}{2}$ 시점에서의 시간의 1차 미분으로 보는 것이 더욱 정교한 근사임을 알 수 있다. 달리 가운데 식은 $n$ 시점과 $n+1$ 시점의 1차 미분의 평균치, 마지막 식은 $n-1$ 시점과 $n$ 시점의 1차 미분의 평균치로 해석할 수도 있다. 따라서 \eqref{eq7}의 가운데 식을 \eqref{eq6} 식의 $n$ 시점과 $n+1$ 시점에서의 평균과 같다고 놓도록 한다. \[ i \frac{\Psi_j^{n+1}-\Psi_{j}^{n}}{\delta} \approx \frac{1}{2} \left\{ - \frac{\Psi_{j+1}^n-2\Psi_{j}^n+\Psi_{j-1}^n}{\varepsilon^2} + U_j \Psi_j^n - \frac{\Psi_{j+1}^{n+1}-2\Psi_{j}^{n+1}+\Psi_{j-1}^{n+1}}{\varepsilon^2} + U_j \Psi_j^{n+1} \right\} \] 이를 $n$과 $n+1$의 항으로 나누어 정리하면 \[ \begin{equation} \label{eq10} \Psi_{j+1}^{n+1} + \left(i \lambda - \varepsilon^2 U_j - 2 \right) \Psi_{j}^{n+1} + \Psi_{j-1}^{n+1} = - \Psi_{j+1}^{n} + \left( i \lambda + \varepsilon^2 U_j + 2 \right) \Psi_{j}^{n} - \Psi_{j-1}^{n} \end{equation} \] 여기서 \[ \lambda=\frac{2\varepsilon^2}{\delta} \] 이다. \eqref{eq10} 식은 기본적으로 시간격자에 대한 오차가 $O(\delta^2)$인 근사로서 \eqref{eq8}보다 정교할 뿐더러 규격화된 파동함수가 그 성질을 계속 유지하여 해가 안정적이다. 그러나 \eqref{eq8} 식에서는 $\{\Psi_j^{n+1}\}$의 각 항이 명시적으로 표현된 것과 달리 이 식은 각 항이 서로 연결되어 있다. 즉 $\{\Psi_j^{n+1}\}$를 미지수로 한 $J+1$원연립방정식이다. 이 연립방정식을 풀이하는 과정이 추가로 필요하다.

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