양자파동의 운동

슈뢰딩거 방정식과 양자상태

슈뢰딩거 방정식은 파동함수의 행동을 결정한다.

슈뢰딩거 방정식은 입자의 파동함수 $\Psi(x, t)$가 시간에 따라 어떻게 변화되는 지를 결정한다. 이때 공간에 분포된 퍼텐셜에너지 $U(x)$가 파동함수의 행동을 결정하는 주요한 역할을 한다. 하지만 퍼텐셜에너지가 없는 자유공간에서도 파동함수는 계속해서 그 모양이 달라진다. 특정한 시간 $t_0$에 공간에 펼쳐진 파동함수의 형태에는 아무런 제한이 없으므로 어떤 모양이든 할 수 있으나 시간에 따라 파동함수가 변하는 양상은 파동함수의 공간에 대한 2계미분값과 퍼텐셜에너지와 파동함수의 곱에 따라 결정된다. 따라서 처음에 주어진 파동함수로부터 그 이후의 파동함수는 슈뢰딩거 방정식에 입각해서 하나로 정해진다. 파동함수가 확률로 해석되고, 또한 불확정성원리가 성립되기 때문에 입자의 행동이 점차 모호해진다고 양자역학을 이해하는 것은 이런 의미로 볼 때 잘못이다. 즉 파동함수는 조금의 모호함 없이 확정적으로 행동한다.

양자역학에서도 고전역학과 마찬가지로 입자의 행동을 결정하는 것은 퍼텐셜에너지 뿐이다. 고전역학에서는 공간의 한 지점에 존재하는 입자는 그 지점의 퍼텐셜에너지의 기울기에 의해 속도가 변화되고 이에 따라 위치를 바꾸는 것으로 해석하지만 양자역학에서는 파동함수가 존재하는 모든 지점의 퍼텐셜에너지가 총체적으로 작용해서 파동함수를 변화시키는 것으로 해석한다. 고전역학에서 입자의 행동을 결정하는 운동방정식에 대한 양자역학적인 대응이 바로 슈뢰딩거 방정식인 것이다. 양자역학으로 어떤 물리계를 풀이한다는 것은 우선 그 계에 대한 퍼텐셜에너지를 도입하고, 입자의 처음 상태를 합당한 파동함수로 나타내고, 이에 대한 슈뢰딩거 방정식을 풀이하여 특정시간에 대한 파동함수를 계산하는 것이다. 물론 미래의 상태를 예측할 수 있을 뿐만 아니라 과거의 상태도 추정할 수 있다.

그러나 이처럼 근본적으로는 양자역학이 확정적인 이론이지만 실제의 계에 이를 적용할 때는 여전히 여러 모호한 점을 가지고 있다. 파동함수가 관측가능한 물리량이 아닐 뿐더러 계가 어떤 상태에 있는가를 측정하게 되면 그 계는 교란되어 버리는 것이 모호함을 가지게 된 주요한 이유이다. 즉 어떤 계에 놓여 있는 입자의 현재 상태를 측정해서 파동함수를 완벽하게 알아내는 것이 불가능하여 입자의 현재 상태가 모호하게 추정되므로 이로부터 예측되는 이후 시간의 상태 또한 모호해질 수 밖에 없다.

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슈뢰딩거 방정식의 구조와 해석

특정 시간의 파동함수의 분포로부터 전체 시간의 파동함수를 계산한다.

슈뢰딩거 방정식은 음파나 전자기파를 기술하는 파동방정식과 유사한 형태를 하고 있지만 본질적인 차이가 있다. 음파에서 음압이나 변위, 전자기파에서의 전기장과 자기장과 달리 입자의 파동함수는 그 자체로는 관측가능한 물리량이 아니다. 직접적으로 관측하지 못할 뿐만 아니라 간접적으로도 관측할 수 없다. 이 이유는 파동함수를 관측하려는 어떠한 시도도 계를 교란시켜버리기 때문이다. 이는 심오한 불확정성원리와 연관되어 있다. 또한 그 성질이 극명하게 나타나는 상황이 원자나 핵 등 극미세계의 적은 에너지를 가지고 있는 물리계이기 때문에 우리 일상생황에서 체험하기도 어렵다.

슈뢰딩거 방정식을 역학적인 파동을 서술하는 음파의 방정식과 비교해 보자. 음파의 파동함수는 음파의 매질, 즉 공기 분자의 운동을 나타낸다. 공기 분자는 이에 작용하는 힘에 의해 운동이 변화되는 힘과 운동의 법칙인 운동방정식의 지배를 받는다. 따라서 공기 분자의 현재의 운동상태는 위치와 속도로 표현되며, 이 둘이 정해지면 시시각각의 운동상태가 계산될 수 있다. 이러한 사정은 공기 분자의 집단적인 움직임을 묘사하는 파동함수에서도 마찬가지다. 즉 파동함수 그 자체뿐만 아니라 파동함수의 시간에 대한 변화율이 주어질 때 시시각각의 파동함수가 결정되는 것이다. 따라서 음파의 파동방정식은 시간에 대한 2계 미분으로 표현된다. 이와 달리 슈뢰딩거 방정식은 시간에 대한 1차 미분으로 표현되어 있다. 즉 현재의 파동함수의 분포만 알고 있으면 시시각각의 파동함수는 유일하게 결정되는 것이다.

그러나 물질파가 음파나 전자기파와는 그 행동양식에서는 차이가 있다 하더라도 모두 파동으로서의 공통점을 가지고 있다. 우선 두 경우 모두 파동방정식이 선형이다. 즉 수학에서 말하는 선형미분방정식(linear differential equation)으로 이 방정식의 각각의 해를 선형결합하더라도 방정식의 해가 된다. 이는 물리적으로 중첩의 원리가 만족되는 것을 뜻한다. 파동의 중첩의 원리로부터 설명되는 여러 현상들인 간섭, 회절, 정상파 등을 물질파도 역시 가진다.

수치해석으로 양자상태를 분석한다.

비록 물질파의 운동을 슈뢰딩거 방정식으로 완벽하게 기술할 수 있기는 하지만 이를 제대로 이해하는 데는 몇 가지 어려움이 있다. 그중 하나는 양자역학의 효과가 초미소 에너지, 초미세 규모로 나타나기 때문에 일상생활에서 경험하기 어렵다는 점이다. 주어진 시간에 공간의 한 지점에 놓인 입자와 달리 물질파는 공간에 퍼져서 존재하는 파동으로서 이를 총체적으로 파악하기 어렵다는 것도 또다른 어려운 점이다. 더구나 일부 단순한 경우를 제외하고 슈뢰딩거 방정식이 해석적으로 풀리지 않는다. 따라서 실제의 물리계의 해석에는 대부분 컴퓨터를 이용한다. 컴퓨터의 연산능력을 이용해서 수치적으로 슈뢰딩거 방정식을 풀이하여 시시각각의 파동함수를 알게 되고, 이로부터 계에 대한 완전한 물리적인 정보를 계산할 수 있게 된다.

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