물질파의 운동

'파동의 입자' 단원에서 파동묶음(wave packet)을 고전적인 입자에 대응시켰다. 그렇다면 파동묶음은 시간에 따라 어떻게 움직일까?

'파동'의 '파동묶음' 단원에서 파동묶음의 속도, 즉 군속도는 (각)진동수

$\omega$ 를 파수

$k$ 에 대한 미분한 것임을 알았다. 즉,

$v_g = \frac{d\omega}{dk}$ 이다.

'파동묶음' 단원에서는 단지 두 파동을 합성한 관계로부터 군속도를 정할 수 있었지만 더 많은 파동을 합성하여 공간적으로 더 좁은 영역에 파동이 밀집되게 하더라도 이 관계가 그대로 성립한다.

파동묶음의 운동 모의실험

우선 다음 프로그램을 운용해 보자.

$k=20$ 주변의 파동을 9개 섞어서 그런대로 공간에 밀집된 파동묶음이 만들어져 있다. 처음에 나타나는 그림은

$t=0$ 의 경우로

$x=0$ 주변에 밀집되어있다. 단,

$x=6.3$ 부근에도 파동묶음이 보이는 것은

$k$ 의 간격을 유한하게 하였기 때문으로 긴 주기로 파동묶음이 거듭되어 나타난 것이다. '운동' 버튼을 눌러서 시간을 흐르게 해 보자. (단위는 모두 mks로 파수는 m^-1, 파장은 m 인 데 화면에 1 m 가 표시되어 있다)

exp

파동묶음의 형성과 운동 모의실험_ $k=20$ 을 중심으로 하여 9개의 조화파동이 가우스 형의 진폭으로 합성하여 파동묶음이 만들어져 있다. 각각의 성분을 왼쪽의 그래프로, 합성 결과를 아래에 나타내었다. 각 성분의 진행 속도는 왼쪽의 9개의 슬라이더로 조절할 수 있으며 맨 오른쪽의 체크박스들을 선택하여 미리 주어진 설정으로 맞출 수도 있다. '운동' 버튼을 누르면 시간의 흐름에 따른 각각의 파동과 합성파동의 파형을 살펴볼 수 있다.

동일속도

각각의 성분파동이 모두 동일한 속력으로 이동한다. 진공에서 빛이 진행하는 경우가 한 예이다. 이 때에는 파동묶음도 당연히 성분과 같은 속도로 이동할 것이다. 즉,

$v = C$ 로서

$\omega = C k$ 이므로

$v_g = v$ 이다.

물질파

이 경우 파동의 속도를 파수에 비례하게 하였다. 실제로 물질파가 이러한 상황으로 뒤에 가서 알아본다.

'운동'시켜보면 파동묶음은 세부적인 파동의 이동속도 보다 더 빠르게 움직이는 것을 알 수 있다. 중심 성분파동, 즉

$k=20$ 의 속도에 비하여 몇 배 빠른가? 이를 측정해 보고 결과와

$v = Ck$ 의 관계로 부터 군속도의 계산한 결과를 비교해 보자.

수면파

파장보다 깊은 액체의 수면파에서 파장이 긴 파동으로 이를 중력파라고도 한다. 이때에는

$v= \sqrt{g/k}$ 로 움직여서 파수가 커질수록 속도가 줄어든다. 그리고 파동묶음의 속력은 성분파동보다 더 느리게 움직이는 것을 확인할 수 있을 것이다. 군속도를 정확하게 측정해 보고, 아울러 이를 군속도 관계식으로부터 검증해 보자.

표면장력파

액체의 표면장력을 탄성력으로 한 수면파의 일종을 표면장력파라 한다. 이 파는 파장이 짧고

$v = C \sqrt{k}$ 로 움직여서 파수가 커지면 속도도 늘어난다. 파동묶음의 속력은 성분파동보다 더 빠르게 움직이는 것을 확인할 수 있다. 이 속력을 측정해 보자. 이것이

$k=20$ 인 중심의 성분파동의 속도의 3/2 배가 되는가? 이를 군속도 관계식으로부터 검증해 보자.

기타

그 외 물리적으로 의미는 없지만 '멈춘 파', '뒤로 가는 파', '볼록 형', '오목 형' 등은 파동묶음의 행동이 극적으로 달리하는 경우이다. '멈춘 파'의 경우 성분파동이 이동하더라도 파동묶음은 그대로 멈쳐 있고, '뒤로 가는 파'는 심지어 반대로 움직이는 경우이다.