물질파의 운동

물질파의 분산관계

파수와 진동수의 관계

입자의 본질이 파동이라는 물질파의 개념이 양자역학에서의 주된 아이디어인 데 단일 진동수와 파장의 파를 입자에 대응시키는 데에는 문제점이 있었다. 이에 따라 여러 파장의 파동을 중첩시켜 공간에 밀집된 파동을 만들고 이를 고전입자에 대응시켜 파동묶음이라 하였다.

우리 눈 앞에 덩어리 형태로 나타나는 고전적인 입자는 파동의 덩어리인 파동묶음으로 대응시킨다면 입자의 속력은 바로 파동묶음의 속도인 군속도에 대응될 것이다. 군속도는 $\omega$의 $k$의 의존성, 즉 분산관계로부터 정해지므로 우선 물질파의 분산관계를 알아보자.

입자가 아무런 힘을 받지 않는 경우 에너지와 운동량 관계는 다음과 같다. $$E= \frac{p^2}{2m}$$

한편 입자의 운동량과 에너지는 물질파의 파수와 각진동수와 다음과 같이 관련된다. $$p = \frac{h}{\lambda}= \hbar k$$ $$E = h\nu = \hbar \omega$$

이제 에너지와 운동량의 관계는 다음의 분산관계식으로 정리된다. $$\omega = \frac{\hbar}{2m} k^2$$ 이로부터 파동묶음이 움직이는 속도, 즉 군속도는 $$v_g = \frac{d\omega}{dk} = \frac{\hbar k}{m} = \frac{p}{m} = v$$ 이고, 이는 고전적인 입자의 속도 $v$와 같아져서 파동묶음으로 고전입자를 대응시킨 발상이 그럴듯하다는 것을 다시 확인시켜준다.

참고로 파의 속도, 즉 위상속도는 $\omega/k = E/p = p/2m$ 으로 군속도의 반이다! 이를 '파동묶음의 운동 모의실험'에서도 확인할 수 있는 데 이 결과는 약간 당혹스럽다. 물질파는 이 물질파가 설명하는 입자의 속도를 따라잡을 수 없는 것처럼 보이기 때문이다. 그러나 고전입자는 개개 파동의 속도가 아닌 군속도와 같이 움직기 때문에 위상속도와 관련시킬 이유가 없다.

(이미 '물질파 파동묶음의 성질'에서 상대론으로 군속도를 고전적 속도와 대응시키는 동일한 계산을 한 적이 있다. 그러나 양자역학은 비상대론역학으로부터 출발하였고, 여기서도 이를 따른다)

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물질파의 파동방정식

방정식이 물질파의 행동을 결정한다.

물질파는 줄의 파동이나 음파와 같은 파동이기는 하지만 파동방정식의 형태는 다르다. 보통의 파동에 대한 파동방정식은 다음과 같이 시간이나 공간에 대해 2차 미분으로 주어진다. $$\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2}$$ 여기서 $\Phi$는 보통의 역학적인 파동의 파동함수이다. 이 방정식을 만족하는 일반해는 파동의 형태와 관계없이 동일한 속도 $v$로 이동한다.

그러나 물질파의 경우에는 파장이 운동량과 관련되어 있고, 또한 운동량은 입자의 속력과 관련되어 있으므로 파장에 따라 진행속도가 다르게 주어져야 한다. 그렇다면 물질파의 행동을 지배하는 파동방정식은 어떠해야 할까?

우선 다음의 평면파를 고려하자. 물질파의 파동함수 $\Psi$는 역학적 파동함수 $\Phi$와 달리 일반적으로 복소수이므로 복소수의 평면파를 도입하는 것이 자연스럽다. $$\Psi(x, t) = \Psi_0 e^{i(kx-\omega t)}$$ 이 파에 대해 물질파의 분산관계식과 $\hbar$를 곱해보면, $$\left[ \omega = \frac{\hbar}{2m} k^2 \right] \times \hbar \times \Psi(x, t) ~ \longrightarrow ~ \omega \hbar \Psi(x, t) = \frac{\hbar^2}{2m} k^2 \Psi(x, t)$$

한편 $$i \hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} = \omega \hbar \Psi(x, t)$$ $$- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} = \frac{\hbar^2}{2m} k^2 \Psi(x, t)$$ 따라서 다음 등식이 성립한다. $$i \hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}$$ 이 방정식은 이를 유도하는 과정에서 도입한 평면파의 $\omega$나 $k$에 무관한 꼴이므로 모든 평면파에 대해 성립한다. 따라서 이들 평면파의 적절한 중첩으로 표현할 수 있는 일반적인 파동이 이 방정식을 역시 만족하게 된다. 즉, 파동의 행동을 결정짓는 파동방정식이 유도된 것이다.

이제 역으로 공간에 대해 $e^{ikx}$의 꼴을 하고 있는 파동함수가 시간에 따라 어떻게 변해야 하는지를 알아보자. 이 파동함수가 다음과 같이 시간항을 독립적으로 가진다고 가정하면 $$\Psi(x,t) = Ag(t) e^{ikx}$$ 으로 놓을 수 있고, 이를 앞에서 구한 파동방정식에 대입하여 $g(t)$에 대한 식을 구하면 $$\frac{dg(t)}{dt}= i \frac{\hbar k^2}{2m} g(t)$$ 이다. 그러므로 $$g(t) = \exp \left(-i \frac{\hbar k^2}{2m}t \right)$$ 이고, 파수 $k$의 평면파의 파동함수를 시간에 의존하는 형태를 포함하여 온전하게 표현하면 $$\Psi(x,t)=A \exp \left[i \left( kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t \right) \right]$$ 이다. 이 평면파는 파수 $k$에 비례하는 속도 $\frac{\hbar k}{2m}$로 움직인다. 이 위상속도(파동속도)는 고전입자의 속도(즉 군속도)의 반이라는 앞서의 결과로 되돌아 간다.

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